【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2009年江苏高考数学试卷及答案.docx，共(12)页，604.755 KB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差221111(),nniiiisxxxxnn===−=其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。1.若复数1242

9,69zizi=+=+，其中i是虚数单位，则复数12()zzi−的实部为______2.已知向量a和向量b的夹角为30，||2,||3==ab，则向量a和向量b的数量积=ab__________.3.函数32()15336fxxxx=−−+的单调减区间为__

___4.函数sin()(,,yAxA=+为常数，0,0)A在闭区间[,0]−上的图象如图所示，则=_______.5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则

它们的长度恰好相差0.3m的概率为________.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班6767911−23−3−Oxy则以上两组数据的方差中较小的一个为2s=

________.7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W=________.8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________.9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cy

xx=−+上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.10.已知512a−=，函数()xfxa=，若实数,mn满足()()fmfn，则,mn的大小关系为_______.1

1.已知集合2|log2Axx=，(,)Ba=−，若AB则实数a的取值范围是(,)c+，其中c=________.12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于

；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.13．如图，在平面直角坐标系xoy

中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab+=的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________.14．设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)n

nban=+=若数列nb有连续四项在集合xyA1B2A2OTM开始0S1T2STS−10S2TT+WST+输出W结束YN53,23,19,37,82−−中，则6q=________二、解答题：本大题共6小

题，共计90分。15．（本小题满分14分）设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)===−abc（1）若a与2−bc垂直，求tan()+的值；（2）求||

+bc的最大值;（3）若tantan16=，求证：a∥b.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，E,F分别是11AB,AC的中点，点D在11BC上，11ADBC⊥求证：(1)EF∥ABC平面（2）111AFDBBCC⊥平面平面17．（本小题满分14分）

设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足2222234577aaaa,S+=+=（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa++为数列na中的

项.18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy++−=和圆222:(4)(5)4Cxy−+−=（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线12l

l和，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.xyO11..19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma+；如果他买进该产品

的单价为n元，则他的满意度为nna+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的

单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm=时，求证：h甲=h乙；设35ABmm=，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大

？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm=时，求证：h甲=h乙；设35ABmm=，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综

合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。20．(本小题满分16分)设a为实数，函数2()2()||fxxxaxa=+−−.若(0)1f

，求a的取值范围；求()fx的最小值；设函数()(),(,)hxfxxa=+，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1hx的解集.数学Ⅱ（附加题）参考公式：2222(1)(21)123.6nnnn+++

+++=21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.选修4-1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，△ABC≌

△BAD.求证：AB∥CD.[解析]本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠D

BA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。B.选修4-2：矩阵与变换求矩阵3221A=的逆矩阵.[解析]本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。解：设矩阵A的逆矩阵为,xyzw则3210,2101xyzw=

即323210,2201xzywxzyw++=++故321,320,20,21,xzywxzyw+=+=+=+=解得：1,2,2,3xzyw=−===−

，从而A的逆矩阵为11223A−−=−.C.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为1,13()xttytt=−=+（t为参数，0t）.求曲线C的普通方程。[解析]本小题主要考查参数方程

和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。解：因为212,xtt=+−所以212,3yxtt+=+=故曲线C的普通方程为：2360xy−+=.D.选修4-5：不等式选讲设a≥b＞0,求证：3332a

b+≥2232abab+.[解析]本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。证明：3322222232(32)3()2()(32)().abababaabbbaabab+−+=−+−=−−因为a≥b＞0,所以ab−

≥0，2232ab−＞0，从而22(32)()abab−−≥0，即3332ab+≥2232abab+.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)Mmm的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点

间的距离为()fm，求()fm关于m的表达式。[解析][必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。23.（本题满分10分）对于正整数n≥2，用nT表示关于x的一元二次

方程220xaxb++=有实数根的有序数组(,)ab的组数，其中,1,2,,abn（a和b可以相等）；对于随机选取的,1,2,,abn（a和b可以相等），记nP为关于x的一元二次方程220xaxb++=有实数根的概率。（1）求2nT和2nP；（

2）求证：对任意正整数n≥2，有11nPn−.[解析][必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。参考答案1.【答案】20−【解析】略2.【答案】3【解析】32332==ab3.【答案】(1,11)−【解析】2()330333(11)(1)fxx

xxx=−−=−+，由(11)(1)0xx−+得单调减区间为(1,11)−。4.【答案】3【解析】32T=，23T=，所以3=，5.【答案】0.2【解析】略6.【答案】25【解析】略7.【答案】22【解析】略8

.【答案】1：8【解析】略9.【答案】(2,15)−【解析】略10.【答案】mn【解析】略11.【答案】4【解析】由2log2x得04x，(0,4]A=；由AB知4a，所以c=4。12.【答案】（1）（2）【解析】略13.【答案】275e=−【解析】用,,abc表示交点T

，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14.【答案】9−【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.15.【解析】由a与2−bc垂直，(2)20−=−=abcabac，

即4sin()8cos()0+−+=，tan()2+=；(sincos,4cos4sin)+=+−bc222||sin2sincoscos+=+++bc2216cos32cossin16sin

−+1730sincos=−1715sin2=−，最大值为32，所以||+bc的最大值为42。由tantan16=得sinsin16coscos=，即4cos4cossinsin0−=，所

以a∥b.16.【解析】证明：（1）因为E,F分别是11AB,AC的中点，所以EF//BC，又EF面ABC，BC面ABC，所以EF∥ABC平面；（2）因为直三棱柱111ABCABC−，所以1111BBABC⊥面，11BBAD⊥，又11ADBC⊥，所以111ADBCC

⊥面B，又11ADAFD面，所以xyA1B2A2OTMABCA1B1C1EFD111AFDBBCC⊥平面平面。17.（1）设公差为d，则22222543aaaa−=−，由性质得43433()()daadaa−+=

+，因为0d，所【解析】以430aa+=，即1250ad+=，又由77S=得176772ad+=，解得15a=−，2d=所以na的通项公式为27nan=−，前n项和26nSnn=−。（2）12272523mmmaa(m)(m)a(m)++−−=−，令23mt−=，1

242mmmaa(t)(t)at++−−=86tt=+−，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因为t是奇数，所以t可取的值为1，当1t=，2m=时，863tt+−=，2573−=，是数列na中的项；1t=−，1m=时，8615tt+−=−，数列na中的最小项是5−，不

符合。所以满足条件的正整数2m=。18.【解析】(1)0y=或7(4)24yx=−−，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为313(,)22−或51(,)22−。19.【解析】(1)=,=,125320

ABABABABmmmmhhmmmm++++乙甲([3,12],[5,20])ABmm当35ABmm=时，235=,35(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm=++++甲235=,320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm=++++乙显然=hh乙甲(

2)当35ABmm=时，2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm==++++++甲由111[5,20][,]205BBmm得，故当1120Bm=即20,12BAmm==时，甲乙两人同时取到最

大的综合满意度为10520.【解析】（1）若(0)1f，则20||111aaaaa−−（2）当xa时，22()32,fxxaxa=−+22min(),02,0()2(),0,033faaaafxaafaa

==当xa时，22()2,fxxaxa=+−2min2(),02,0()(),02,0faaaafxfaaaa−−==综上22min2,0()2,03aafxaa−

=(3)(,)xa+时，()1hx得223210xaxa−+−，222412(1)128aaa=−−=−当6622aa−或时，0,(,)xa+；当6622a−时，0,得223232()()033aaaaxxxa−−+−−−1）26(,)

22a时，(,)xa+2）22[,]22a−时，232[,)3aax+−+3）62(,]22a−−时，223232(,][,)33aaaaxa−−+−+