【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2017年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.docx，共(13)页，749.693 KB，由envi的店铺上传

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2017年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题

卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷

共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.·球的体积公式34

3VR=.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}ABCxx===−R，则()ABC=（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2

,4,6}（D）{|15}xx−R（2）设变量,xy满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy++−则目标函数zxy=+的最大值为（A）23（B）1（C）32（D）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（A）

0（B）1（C）2（D）3（4）设R，则“ππ||1212−”是“1sin2”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(

0,0)xyabab−=的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144xy−=（B）22188xy−=（C）22148xy−=（D

）22184xy−=（6）已知奇函数()fx在R上是增函数，()()gxxfx=.若2(log5.1)ag=−，0.8(2)bg=，(3)cg=，则a，b，c的大小关系为（A）abc（B）cba（C）bac（D）bc

a（7）设函数()2sin()fxx=+，xR，其中0，||.若5()28f=，()08f=，且()fx的最小正周期大于2，则（A）23=，12=（B）23=，12=−（C）13=，24=−（D）13=

，24=（8）已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx−+=+设aR，若关于x的不等式()||2xfxa+在R上恒成立，则a的取值范围是（A）47[,2]16−（B）4739[,]

1616−（C）[23,2]−（D）39[23,]16−第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知aR，i为虚数

单位，若i2ia−+为实数，则a的值为.（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.（11）在极坐标系中，直线4cos()106−+=与圆2sin=的公共点的

个数为___________.（12）若,abR，0ab，则4441abab++的最小值为___________.（13）在ABC△中，60A=∠，3AB=，2AC=.若2BDDC=，()AEACAB=−R，且4ADAE=−，则的值为___________.（14）用数字1，2

，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤．15.（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ab，5,6ac==，3sin5B=.（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A+的值.16.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独

立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥

P-ABC中，PA⊥底面ABC，90BAC=.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长.18

.（本小题满分13分）已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb+=,3412baa=−，11411Sb=.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}nnab

−的前n项和()nN.（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypxp=的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关

于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△的面积为62，求直线AP的方程.（20）（本小题满分14分）设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa=+−−+在区间(1,2

)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数.（Ⅰ）求()gx的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxgxmxfm=−−，求证：0()()0hmhx；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数,pq

，且00[1,)(,2],pxxq满足041||pxqAq−.天津理数答案1-4BDCA5-8BCAA9.−2；10.9π2；11.2；12.4；13.311；14.108015.（Ⅰ）解：在ABC△中，因为ab，故由3sin5B=，可得4cos

5B=.由已知及余弦定理，有2222cos13bacacB=+−=，所以13b=.由正弦定理sinsinabAB=,得sin313sin13aBAb==.所以，b的值为13，sinA的值为31313.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ac，得

213cos13A=，所以12sin22sincos13AAA==，25cos212sin13AA=−=−.故πππ72sin(2)sin2coscos2sin44426AAA+=+=.16.（Ⅰ）解：随机变量

X的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344PX==−−−=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424PX==−−+−−+−−=，1111

111111(2)(1)(1)(1)2342342344PX==−+−+−=，1111(3)23424PX===.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342

442412EX=+++=.（Ⅱ）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)PYZPYZPYZPYPZPYPZ+====+=====+==1111111142424448=+=.所以，这

2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴正

方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（Ⅰ）证明：DE=（0，2，0），DB=（2，0，2−）.设(,,)xyz=n，为平面BD

E的法向量，则00DEDB==nn，即20220yxz=−=.不妨设1z=，可得(1,0,1)=n.又MN=（1，2，1−），可得0MN=n.因为MN平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅱ）解：易知1(1,0,0)=n为平面CEM的一个法向量.设2(,,)xyz=n为平面EMN的法向量，则2200EMMN==nn，因为(0,2,1)EM=−−，(1,2,1)MN=−，所以2020yzxyz−

−=+−=.不妨设1y=，可得2(4,1,2)=−−n.因此有1212124cos,|||21==−nnnn|nn，于是12105sin,21=nn.所以，二面角C—EM—N的正弦值为1052

1.（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（04h），则H（0，0，h），进而可得(1,2,)NHh=−−，(2,2,2)BE=−.由已知，得2|||22|7|cos,|21||||523NHBEhNHBENHBEh−===

+，整理得2102180hh−+=，解得85h=，或12h=.所以，线段AH的长为85或12.18.【解析】（I）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q.由已知2312bb+=，得21()12bqq+

=，而12b=，所以260qq+−=.又因为0q，解得2q=.所以，2nnb=.由3412baa=−，可得138da−=①.由114=11Sb，可得1516ad+=②，联立①②，解得11a=，3d=，由此可得32nan=−.所以，数列{}n

a的通项公式为32nan=−，数列{}nb的通项公式为2nnb=.（II）解：设数列221{}nnab−的前n项和为nT，由262nan=−，12124nnb−−=，有221(31)4nnnabn−=−，故23245484(31)4n

nTn=++++−，23414245484(34)4(31)4nnnTnn+=++++−+−，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn+−=++++−−1112(14)4(31)414(32)

48.nnnnn++−=−−−−=−−−得1328433nnnT+−=+.所以，数列221{}nnab−的前n项和为1328433nn+−+.19.（Ⅰ）解：设F的坐标为(,0)c−.依题意，12ca=，2

pa=，12ac−=，解得1a=，12c=，2p=，于是22234bac=−=.所以，椭圆的方程为22413yx+=，抛物线的方程为24yx=.（Ⅱ）解：设直线AP的方程为1(0)xmym=+，与直线l的方程1x=−联

立，可得点2(1,)Pm−−，故2(1,)Qm−.将1xmy=+与22413yx+=联立，消去x，整理得22(34)60mymy++=，解得0y=，或2634mym−=+.由点B异于点A，可得点222346(,)3434mmBmm

−+−++.由2(1,)Qm−，可学*科.网得直线BQ的方程为22262342()(1)(1)()03434mmxymmmm−−+−+−+−=++，令0y=，解得222332mxm−=+，故2223(,0)32mDm−+.所以222223

6||13232mmADmm−=−=++.又因为APD△的面积为62，故221626232||2mmm=+，整理得2326||20mm−+=，解得6||3m=，所以63m=.所以，直线AP的方程为3630xy+−=，或3630

xy−−=.20.（Ⅰ）解：由432()2336fxxxxxa=+−−+，可得32()()8966gxfxxxx==+−−，进而可得2()24186gxxx=+−.令()0gx=，解得1x=−，或14x=.当x变化时，(),()gxgx的变化情况如下表：x(,1)−−1(1,)4−1(,

)4+()gx+-+()gx↗↘↗所以，()gx的单调递增区间是(,1)−−，1(,)4+，单调递减区间是1(1,)4−.（Ⅱ）证明：由0()()()()hxgxmxfm=−−，得0()()()()hmgmmxfm=−−，0

00()()()()hxgxmxfm=−−.令函数10()()()()Hxgxxxfx=−−，则10()()()Hxgxxx=−.由（Ⅰ）知，当[1,2]x时，()0gx，故当0[1,)xx时，1()0Hx，1()Hx单

调递减；当0(,2]xx时，1()0Hx，1()Hx单调递增.因此，当00[1,)(,2]xxx时，1100()()()0HxHxfx=−=，可得1()0,()0Hmhm即.令函数200()()()()Hxgxxxf

x=−−，则20()()()Hxgxgx=−.由（Ⅰ）知，()gx在[1,2]上单调递增，故当0[1,)xx时，2()0Hx，2()Hx单调递增；当0(,2]xx时，2()0Hx，2()Hx单调递减.因此，当00[1,)(,2]xxx时，

220()()0HxHx=，可得20()0,()0Hmhx即.所以，0()()0hmhx.（III）证明：对于任意的正整数p，q，且00[1)(,],2pxxq，令pmq=，函数0()()()()hgmx

xxmf=−−.由（II）知，当0[1),mx时，()hx在区间0(,)mx内有零点；当0(,2]mx时，()hx在区间0(),xm内有零点.所以()hx在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x，则110()()()()0

pphgxfqxqx=−−=.由（I）知()gx在[1,2]上单调递增，故10()()12()gxgg，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2ppffpppqpqpqaqqqxqgxggq+−

−+−==.因为当[12],x时，()0gx，故()fx在[1,2]上单调递增，所以()fx在区间[1,2]上除0x外没有其他的零点，而0pxq，故()0pfq.又因为p，q，a均为整数，所以432234|2336|ppqpqpqaq+−−+是正整数，从而

432234|2336|1ppqpqpqaq+−−+.所以041|2|()pxqgq−.所以，只要取()2Ag=，就有041||pxqAq−.选择填空解析第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【20

17年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}ABCxx===−R，则()ABC=（）（A）2（B）1,2,4（C）1,2,4,6（D）|15xx−R【答案】B【解析】()1,2,4,61

,51,2,4ABC=−=，故选B．（2）【2017年天津，理2，5分】设变量,xy满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy++−则目标函数zxy=+的最大值为（）（A）23（B）1（C）32（D

）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233ABCD−−，所以直线zxy=+过点B时取最大值3，故选D．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）（A）0（B）1

（C）2（D）3【答案】C【解析】依次为8N=，7,6,2NNN===，输出2N=，故选C．（4）【2017年天津，理4，5分】设R，则“ππ||1212−”是“1sin2”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（

C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】10sin121262−，0=，1sin2，不满足1212−，所以是充分不必要条件，故选A．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)xyabab−=

的左焦点为F，离心率为2．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）（A）22144xy−=（B）22188xy−=（C）22148xy−=（D）22184xy−=【答案】B【解析】由题意得224,

14,22188xyabcabc==−===−=−，故选B．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()fx在R上是增函数，()()gxxfx=．若2(log5.1)ag=−，0.8(2)bg=，(3)cg=，则a，b，c的大小关系为（）（A

）abc（B）cba（C）bac（D）bca【答案】C【解析】因为()fx是奇函数且在R上是增函数，所以在0x时，()0fx，从而()()gxxfx=是R上的偶函数，且在)0,+上是增函数，()()5.15.122loglogagg=−=，0.8

22，又45.18，5.122log3，所以即0.85.1202log3，()()()0.85.122log3ggg，所以bac，故选C．（7）【2017年天津，理7，5分】设函数

()2sin()fxx=+，xR，其中0，||．若5()28f=，()08f=，且()fx的最小正周期大于2，则（）（A）23=，12=（B）23=，12=−（C）13=，24=−（D）13=，24=【答案】

A【解析】由题意125282118kk+=++=，其中12,kkZ，所以2142(2)33kk=−−，又22T=，所以01，所以23=，11212k=+，由得12

=，故选A．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx−+=+设aR，若关于x的不等式()||2xfxa+在R上恒成立，则a的取值范围是（）（A）47[,2]16−（B）4739[,]1616−（C）[2

3,2]−（D）39[23,]16−【答案】A【解析】不等式()2xfxa+为()()()*2xfxafx−+，当1x时，()*式即为22332xxxaxx−+−+−+，2233322xxaxx−+−−+，又2214732416xxx−+−=−−−（14x=

时取等号），223339393241616xxx−+=−+（34x=时取等号），所以47391616a−，当1x，()*式为222xxaxxx−−++，322222xxxaxx−−++，又32322322xxxx−−=−+−（当2

33x=时取等号），222222xxxx+=（当2x=时取等号），所以232a−，综上47216a−，故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，理9，5分】已知aR，i为虚数

单位，若i2ia−+为实数，则a的值为．【答案】2−【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555aiaiiaaiaaiiii−−−−−+−+===−++−为实数，则20,25aa+==−．（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面

积为18，则这个球的体积为．【答案】92【解析】设正方体边长为a，则226183aa==，外接球直径为344279233,πππ3382RaVR=====．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4cos()106

−+=与圆2sin=的公共点的个数为．【答案】2【解析】直线为23210xy++=，圆为22(1)1xy+−=，因为314d=，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,

abR，0ab，则4441abab++的最小值为．【答案】4【解析】442241414abababab+++，当且仅当2,1ab==时取等号．（13）【2017年天津，理13，5分】在ABC△中，60A=∠，3AB=，2AC=．若2BDDC=，()AEACAB

=−R，且4ADAE=−，则的值为．【答案】311【解析】32cos603ABAC==，1233ADABAC=+，则()1233ADAEABACACAB=+−212334934333311=+−−=−=．（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1

，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080ACCA+=．