【文档说明】2009年高考试题——数学理（山东卷）Word版.doc，共(14)页，1.504 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对

应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。考公式：柱体的体积公式：V=Sh.其中S是柱体的底

面积，h是柱体的高。锥体的体积公式：V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB+=+如果事件AB，相互独立，那么()()()PABPAPB=如果

事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn−=−=，，，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。（1）集合A=｛0，2，a｝,B=｛1,a2｝.若AB=｛0，1，2，4，16｝，则a的值为（A）0（B）1（C）2（D）4（2）复数31ii−−等于（A）1+2i（B）1-2i（C）2+i（D）2–i(3)将函数y=sin2x

的图像向左平移4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（A）y=cos2x（B）y=22cosx（C）y=1+sin24x+（D）y=22sinx（4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）223+（B）423+（C）2

323+（D）2343+（5）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“┸”是“m┸”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）函数xxeye－x－x＋e＝－e的图象大致为（7）设p是ABC所在平面内

的一点，2BCBABP＋＝，则（A）PAPB＋＝0（B）PCPA＋＝0（C）PBPC＋＝0（D）PAPBPC＋＋＝0（8）某工厂对一批产品进行了抽样检测。右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96106，，样本数据分组为))

)))969898100100102102104104106，，，，，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（A）90（B）75（C）60（D）45（9）设双曲

线22221xyab−=的一条渐近线与抛物线21yx=+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A）54(B)5(C)52(D)5(10)定义在R上的函数()fx满足2log(1),0()(1)(2),0xxfxfxfxx−=−−−，则(2009)f的值为（A）-1(B)0(

C)1(D)2（11）在区间1,1−上随机取一个数x,cos2x的值介于0到12之间的概率为（A）13(B)2(C)12(D)23w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（12）设,xy满足约束条件360,20,0,0,xyxyxy

−−−+若目标函数(0,zaxbyab=+＞＞0)的最大值为12，则23ab+的最小值为（A）256(B)83(C)113(D)4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（注意

：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）(13)不等式2120xx−−−＜的解集为.(14)若函数()(0a1)xfxaxaa=−−＞），且有两个零点,则实数a的取值范围是.(15)执行右边的程序框图,输出的T=

.(16)已知定义在R上的奇函数()fx满足(4)()fxfx−=−，且在区间[0，2]上是增函数.若方程()(0fxmm=＞）在区间[-8，8]上有四个不同的根1,234,,,xxxx则1234xxxx+++=.三、解答题：本大题共6小题，共74分。（17）（

本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()2cos(2)sin3fxxx=++。（Ⅰ）求函数()fx的最大值和最小正周期；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）设A，B，C为ABC的三个内角，若11cos,()324c

Bf==−，且C为锐角，求sinA。（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=

2,1AA,AB的中点。（Ⅰ）证明：直线1EE∥平面1FCC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）求二面角1BFCC−−的弦值。(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处

每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率1q为0.25，在B处的命中率为2q.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为()求2q的值；()求随机变量的数学期量E

；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）等比数列na的前n项和为，已知对任意的

,nN，点(.)nnS均在函数(01,,ybxrbbbr==且均为常数的图象上。（Ⅰ）求r的值。（Ⅱ）当b=2时，记22(log1)()nbnann==w.w.w.k.s.5.u.c.o.m证明：对任意的，不等式成立12121111nnbb

bnbbb+++••+…（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所

选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离xKm，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为Y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比

例系数为K，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065（Ⅰ）将Y表示成X的函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在

，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设椭圆E：22221(,0)xyabab+=(2.2),(6,1)MN，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E

恒在两个交点A，B且OAOB⎯⎯→⊥⎯⎯→？若存在，写出该圆的方程，关求AB的取值范围；若不存在，说明理由。2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学（参考答案）一、选择题1-12DCBCBABADCAA1.【解析】:∵0,2,Aa=,21,Ba=,0,1,2,4,

16AB=∴2164aa==∴4a=,故选D.答案:D2.【解析】:223(3)(1)324221(1)(1)12iiiiiiiiiii−−++−+====+−−+−,故选C.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:C3.【解析】:将函数si

n2yx=的图象向左平移4个单位,得到函数sin2()4yx=+即sin(2)cos22yxx=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cosyxx=+=,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知

识和基本技能,学会公式的变形.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4.【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为()21232333=所以该几何体的体积为2323+.答案:C

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.5.【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,m⊥,则⊥,反过来则不一定.所以“⊥”是“m⊥”的必要不充分条件.w.w.w.k.s.5.u.c.o

.m答案:B.6.【解析】:函数有意义,需使0xxee−−,其定义域为0|xx,排除C,D,又因为22212111xxxxxxxeeeyeeee−−++===+−−−,所以当0x时函数为减函数,故选A.w.w.w.k.

s.5.u.c.o.m答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.【解析】:因为2BCBABP+=

，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。8.【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,则300.036

=n,所以120=n,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.答案:A9.【解析】:双曲线12222=−byax的一条渐近线为xa

by=,由方程组21byxayx==+,消去y,得210bxxa−+=有唯一解,所以△=2()40ba−=,所以2ba=,2221()5cabbeaaa+===+=,故选D.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案:D.10.【解析】:由已知得2(1)log21f−==,(0

)0f=,(1)(0)(1)1fff=−−=−,(2)(1)(0)1fff=−=−,(3)(2)(1)1(1)0fff=−=−−−=,(4)(3)(2)0(1)1fff=−=−−=,(5)(4)(3)1fff=−=,(6)(5)(4)0fff=−=,所以函数f(x)的值

以6为周期重复性出现.,所以f（2009）=f（5）=1,故选C.答案:C.11.【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x−时,要使cos2x的值介于0到21之间,需使223x−−或322x∴213x−−或213x，区间长度为32，由几何概型知

cos2x的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.12.【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>

0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而23ab+=2323131325()()26666abbaabab++=+++=,故选A.答案:A二、填空题13.{|11}xx−14.1a15.3016.

-8三、解答题17.解:（1）f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1cos213cos2cossin2sinsin233222xxxx−−+=−所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）()2cf=

13sin22C−=－41,所以3sin2C=,因为C为锐角,所以3C=,又因为在ABC中,cosB=31,所以2sin33B=,所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m21133sinsin()sincoscossin

332322ABCBCBC=+=+=+=.18.解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CD=//A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1

D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为1EE平面FCC1，1CF平面FCC1，所以直线EE1//平面FCC1.（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,

则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC1-C的一

个平面角,在△BCF为正三角形中,3OB=,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵11OPOFCCCF=∴22122222OP==+,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m在Rt△OPF中,22114322BPOPOB=+=+=,27

2cos7142OPOPBBP===,所以二EABCFE1A1B1C1D1DF1OP面角B-FC1-C的余弦值为77.解法二:（1）因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,因为AB

CD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A（3,-1,0）,F（3,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（32,12−,0）,E1

（3,-1,1）,所以131(,,1)22EE=−,(3,1,0)CF=−,1(0,0,2)CC=1(3,1,2)FC=−设平面CC1F的法向量为(,,)nxyz=则100nCFnCC==所以300xyz−=

=取(1,3,0)n=,则1311310022nEE=−+=,所以1nEE⊥,所以直线EE1//平面FCC1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）(0,2,0)FB=,设平面BFC1的法向量为1

111(,,)nxyz=,则11100nFBnFC==所以11110320yxyz=−++=,取1(2,0,3)n=,则12130032nn=−+=,2||1(3)2n=+=,221||20(3)7n=++=,w.w.w.k.s.

5.u.c.o.m所以11127cos,7||||27nnnnnn===,由图可知二面角B-FC1-C为锐角,所以二面角B-FC1-C的余弦值为77.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m19.解:（1）设该同学在A处

投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,()0.75PA=,P(B)=q2,2()1PBq=−.根据分布列知:=0时22()()()()0.75(1)PABBPAPBPBq==−=0.03,所以210.2q−=，q2=0.8.

（2）当=2时,P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP+=+w.w.w.k.s.5.u.c.o.mEABCFE1A1B1C1D1DxyzM)()()()()()(BPBPAPBPBPAP+==0.7

5q2(21q−)×2=1.5q2(21q−)=0.24当=3时,P2=22()()()()0.25(1)PABBPAPBPBq==−=0.01,当=4时,P3=22()()()()0.75PABBPAPBPBq===0.48,当=5时,P4=()()()PABBABPABBPAB+=+22

2()()()()()0.25(1)0.25PAPBPBPAPBqqq=+=−+=0.24所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.243.63E=++++

=（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为()PBBBBBBBB++()()()PBBBPBBBPBB=++222222(1)0.896qqq=−+=;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同

学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.20.解:因为对任意的nN+,点(,)nnS，均在函数(0xybrb=+且1,,bbr均为常数的图像上.所以得nnSbr=+,当1n=时,11aSbr==+,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb−−−

−=−=+−+=−=−,又因为{na}为等比数列,所以1r=−,公比为b,1(1)nnabb−=−（2）当b=2时，11(1)2nnnabb−−=−=,1222(log1)2(log21)2nnnban−=+=+=则1212nnbnbn++=,所以121211135721·······24

62nnbbbnbbbn++++=下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462nnbbbnnbbbn++++=+成立.①当1n=时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立.②假设当nk=时不等式成立,即121211135721··

·····12462kkbbbkkbbbk++++=+成立.则当1nk=+时,左边=11212111113572123·······246222kkkkbbbbkkbbbbkk++++++++=+2223(23)4(1)4(1

)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk+++++++===+++++++++所以当1nk=+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.21.解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,22400BCx=−,

224(020)400kyxxx=+−其中当102x=时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为2249(020)400yxxx=+−（2）2249400yxx=+−,42232232289(2)188(400)'(400)(

400)xxxyxxxx−−−=−−=−−,令'0y=得422188(400)xx=−,所以2160x=,即410x=,当0410x时,422188(400)xx−,即'0y所以函数为单调减

函数,当4620x时,422188(400)xx−,即'0y所以函数为单调增函数.所以当410x=时,即当C点到城A的距离为410时,函数2249(020)400yxxx=+−有最小值.解法二:（1）同上.（2）设22,400mxn

x==−,则400mn+=,49ymn=+,所以494914911()[13()](1312)40040040016mnnmymnmnmn+=+=+=+++=当且仅当49nmmn=即240160nm==时取”=”.下面证明函

数49400ymm=+−在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.设0<m1<m2<160,则1211224949()400400yymmmm−=+−+−−12124499()()400400mmmm=−+−−−211212124()9(

)(400)(400)mmmmmmmm−−=+−−ABCx21121249()[](400)(400)mmmmmm=−−−−12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmmmmmmmmm−−−=−−−,

因为0<m1<m2<160,所以412(400)(400)mm−−>4×240×2409m1m2<9×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmmmmmmm−−−−−,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(40

0)mmmmmmmmmm−−−−−−即12yy函数49400ymm=+−在(0,160)上为减函数.同理,函数49400ymm=+−在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则1211224949()400400yymm

mm−=+−+−−12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmmmmmmmmm−−−=−−−因为1600<m1<m2<400,所以412(400)(400)mm−−<4×240×240,9m1m2

>9×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmmmmmmm−−−−−,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmmmmmmmmm−−−−−−即12yy函

数49400ymm=+−在(160,400)上为增函数.所以当m=160即410x=时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当410x=时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.22.解:（1）因为椭圆E:22221x

yab+=（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab+=+=解得22118114ab==所以2284ab==椭圆E的方程为22184xy+=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E

恒有两个交点A,B,且OAOB⊥,设该圆的切线方程为ykxm=+解方程组22184xyykxm+==+得222()8xkxm++=,即222(12)4280kxkmxm+++−=,则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm−+−=−+

,即22840km−+12221224122812kmxxkmxxk+=−+−=+,22222222212121212222(28)48()()()121212kmkmmkyykxmkxmkxxkmxxmm

kkk−−=++=+++=−+=+++要使OAOB⊥,需使12120xxyy+=,即2222228801212mmkkk−−+=++,所以223880mk−−=,所以223808mk−=又22840km−+,所以22238mm,所以283m,即263

m或263m−,因为直线ykxm=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk=+,222228381318mmrmk===−++,263r=,所求的圆为2283xy+=,此时圆的切线ykxm=+都满足263m或263m−,而当切线的斜率不存在时切线为263x=

与椭圆22184xy+=的两个交点为2626(,)33或2626(,)33−满足OAOB⊥,综上,存在圆心在原点的圆2283xy+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB⊥.因为12221224122812kmxxkm

xxk+=−+−=+,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxxxkkk−−+−=+−=−−=+++,()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)kmABx

xyykxxkk−+=−+−=+−=++42242423245132[1]34413441kkkkkkk++==+++++,①当0k时22321||[1]1344ABkk=+++因为221448kk++所以221101844kk++,所以2232321[1]12

13344kk+++,所以46||233AB当且仅当22k=时取”=”.②当0k=时,46||3AB=.③当AB的斜率不存在时,两个交点为2626(,)33或2626(,)33−,所以此时46||3AB=,综上,|AB|的取值范围为46||233AB即:4||[6,23]3AB

