【文档说明】《黑龙江中考真题数学》《精准解析》黑龙江省绥化市2021年中考数学真题试卷（解析版）.pdf，共(44)页，1.081 MB，由envi的店铺上传

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二○二一年绥化市初中毕业学业考试数学试题一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1.现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具

有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．【详解】解：A、“美”是轴对称图形，故本选项符合题意；B、“丽”不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、“绥”不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、“化

”不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，属于基础题，熟练掌握对称图形的概念即可求解．2.据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．把70400000

0这个数用科学记数法表示为（）A.77.0410B.97.0410C.90.70410D.87.0410【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点

移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】704000000=7.04×108，故选：D．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜1

0，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看

到的图形判定则可．【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：3，1，1．故选B．【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确把握观察方向是解题关键．4.若式子01xx在实数范围内有意义，则x的取值范围

是（）A.–1xB.1x且0xC.1x且0xD.0x【答案】C【解析】【分析】要使式子01xx在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．【详解】解：式子01xx在实数范围内有意义，必须同时满足下列条件：

10x，10x，0x，综上：1x且0x，故选：C．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．5.定义一种新的运算：如果0a．则有2||abaabb▲，那么1()22▲的值是（）A

.3B.5C.34D.32【答案】B【解析】【分析】根据题意列出算式，求解即可【详解】2||abaabb▲2111()2=()()2|2|222▲412=5．故选B．【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的

计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．6.下列命题是假命题的是（）A.任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B.三角

形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【答案】C【解析】【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．【详解】解：选项A：三角形的两边之

差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题

意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．7.下列运算正确的是（）A.257aaB.448xxxC.93

D.327323【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．【详解】A、(a5)2=a10，故A错，B、x4⋅x4=x8，故B正确，C、93，故C

错，D、327−3=-3-3，故D错，故选：B【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．8.已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A.八边形

B.九边形C.十边形D.十二边形【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.【详解】设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10

，故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2)×180°，n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．9.近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业

为了解员工某月,AB两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中AB、两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如下表：支付金额a（元）01000a

10002000a2000a仅使用A36人18人6人仅使用B20人28人2人下面有四个推断：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用,AB两种支付方式的为800人；②本次调查抽取的样本容量为200人；③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1

000元；④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．其中正确的是（）A.①③B.③④C.①②D.②④【答案】A【解析】【分析】①用样本估计总体的思想；②根据表可以直接算出样本容量；③利用中位数的定义可以直接判断；④根据众数的定义

可以直接判断．【详解】解：根据题目中的条件知：①从企业2000名员工中随机抽取了200人，同时使用,AB两种支付方式的人为：20010(362018+28+6+2)=80（人），样本中同时使用,AB两种支付方式的比例为：8022005，企业2000名

员工中，同时使用,AB两种支付方式的为：220008005（人），故①正确；②本次调查抽取的样本容量为200；故②错误；③样本中仅使用A种支付方式的员工共有：60人，其中支付金额在01000a之间的有，

36人，超过了仅使用A种支付方式的员工数的一半，由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元，故③是正确；④样本中仅使用B种支付方式的员工，从表中知月支付金额在10002000a之间的最多，但不能判断众数一定为1500元，故④错误；综上：①③正确，故

选：A．【点睛】本题考查了概率公式、运用样本估计总体的思想、中位数和众数的定义，解题的关键是：熟练掌握公式及相关的定义，根据图表信息解答．10.根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药

品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（）A.60004500500xxB.60004500500xxC.60004500500xx

D.60004500500xx【答案】D【解析】【分析】设原计划平均每天可生产x箱药品，则实际每天生产(500)x箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．【详解】解：设原计划平均每

天可生产x箱药品，则实际每天生产(500)x箱药品，原计划生产4500箱所需要的时间为：4500x，现在生产6000箱所需要的时间为：6000500x，由题意得：60004500500xx；故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题

意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．11.已知在RtACB中，90,75CABC，5AB．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FEEB的最小值是（）A.532B.52C.

5D.3【答案】B【解析】【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB=EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：由对称性可知，EF=EF’，此时EF+EB=EF’+EB，

由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，∴∠BAF0=30°，由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，BF0=12AB=15522，故选：B．

【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．12.如图所示，在矩形纸片ABCD中，3,6ABBC，点EF、分别是矩形的边ADBC、上的动点，将该纸片沿直

线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接,EFBGBEEF、、与BG交于点N．则下列结论成立的是（）①BNAB；②当点G与点D重合时352EF；③GNF△的面积S的取值范围是9742S；④当52C

F时，3134MEGS．A.①③B.③④C.②③D.②④【答案】D【解析】【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD

边上的动点，所以3<BG<35．从而判断①不正确；②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；③当点E与点A重合时，GNF△的面积S有最小值94，当点G与点D重合时GNF△的面积S有最大值4516．故94<S<4516．④因为52C

F，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=227613222，从而可求出△MEG的面积．【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，∴EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又∵点E是AD边上的动

点，∴3<BG<35．故①错误；②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，在Rt△ABE中222AEABADAE即22236AEAE解得：AE=94，∴BF=DE=6-94=154．∴HF=154-94=32．在Rt△EFH中

22EFEHFH=352；故②正确；③当点E与点A重合时，如图所示，GNF△的面积S有最小值=113344ABFGS正方形=94，当点G与点D重合时GNF△的面积S有最大值=11153444B

FGS菱形E=4516．故94<S<4516．故③错误．④因为52CF，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=227613222，∴1133133224MEGS△．故④正确

．故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内13.在单词mathematics（数学）中任

意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是________．【答案】211【解析】【分析】直接由概率公式求解即可．【详解】解：单词mathematics中共有11个字母，其中t出现了2次，故任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率为：211．故答案为：211．【点睛】本题主要考查运用概

率公式求概率，根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数是解题关键．14.在实数范围内分解因式：22aba_________．【答案】(2)(2)abb．【解析】【分析】利用平方差公式22()()ababab-=+-分

解因式得出即可．【详解】解：22aba=2(2)ab=(2)(2)abb故答案为：(2)(2)abb．【点睛】此题主要考查了利用平方差公式22()()ababab-=+-分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．15.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm

的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．【答案】40【解析】【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，135253180r，解得

，r=40cm．16.当20213x时，代数式22319()369xxxxxxxx的值是____．【答案】12021【解析】【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．【详解】解：由题意可知：原式231()9(

33)xxxxxxx22(3)(3)((1)(3))93xxxxxxxxxx222993xxxxxxx2(3)99xxxxx21(3)x，当20213x时，原式212021

(202133)1，故答案为：12021．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．17.某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4

个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买,AB两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是_____元．【答案】330【解析】【分析】设A种

奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品

的数量不少于B种奖品数量的25，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意，得：2410052130xyxy，解得：2

015xy∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20)m-个，根据题意得到不等式：m≥25(20-m)，解得：m≥407，∴407≤m≤20，设总费用为W，根据题意

得：W=20m+15(20-m)=5m+300，∵k=5>0，∴W随m的减小而减小，∴当m=6时，W有最小值，∴W=5×6+300=330元则在购买方案中最少费用是330元．故答案为：330．【点睛】本题考

查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．18.已知,mn是一元二次方程2320xx的两个根，则11mn__________．【答

案】32【解析】【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵,mn是一元二次方程2320xx的两个根，根据根与系数的关系得：3bmna，2cmna，∴211=3mnmnmn

，故答案为：32．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知1212axcxaxxb，是解题关键．19.边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．【答案】233【解析】【分析】依题意作出图形，找出直角三角形

，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形AOB的两条边，根据三角函数值即可求出．【详解】如图：正六边形中，过O作,BOAB1=(62)1801206CABRtABO中，1=602OABCAB,301它的外接圆与内切圆半

径的比值是1123cos1332AOBO．故答案为233．【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作出图形是解决本题的关键．20.如图，在平面直角

坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在(0,0)kykxx的双曲线上．点OE、的对应点分别是点CA、．若点A为OE的中点，且1AEFS△，则k的值为____．【答案】24【解析

】【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG和EO之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG和OD之间的关系，设EG=x，FG=y，用它们表示出D点坐标，接着得到B点坐标，利用1AEFS△，得到1xy，再利用反比

例函数的定义，计算出B点横纵坐标的积，即为所求k的值．【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，∵点A为OE的中点，∴AE=OA，∴1244EGEGEGOEAEEG,∵MN∥y轴，∴14FGEGOD

EO，∴=4ODFG，∵1AEFS△，∴112AEFG,∴1212EGFG，∴1EGFG，设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，∴0,4Dy，因为D点和B点关于MN对称，∴

6,4Bxy∵1EGFG，∴1xy∴6424xy,∵点B恰好落在(0,0)kykxx的双曲线上，∴24k，故答案为：24．【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义

与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．21.在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线ACBD、，点P是正方形边上或对角线上的一点，若3PBPC，则PC=____

__．【答案】1或2或3424【解析】【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可．【详解】解：∵PB=3PC，∴P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论：情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示：∵PB=3PC，∴PC=14BC=1；情况二：当P位于正方形边CD上时，

如下图2所示：设PC=x，则BP=3PC=3x，在Rt△BPC中，由勾股定理可知：4²+x²=(3x)²，解得x=2(负值舍去)，∴PC=2；情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示：设AP=x，则DP=4-x，Rt△ABP

中，BP²=AP²+AB²=x²+16，Rt△CPD中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32，∵BP=3PC，∴x²+16=9(x²-8x+32)，整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解，故P点不可能位于边AD上；情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PH⊥BC于H点

，如下图所示：设PC=x，则BP=3PC=3x，∵∠DBC=45°，∴△BPH为等腰直角三角形，其三边之比为1:1:2，∴BH=PH=322x，CH=BC-BH=3242x-，在Rt△PHC中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²，∴2223232()(4)22xxx=+-，整理得：2

23240xx-+=，此方程无解，故P点不可能在对角线BD上；情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：设PC=2x，则BP=3PC=32x，∵∠PCB=45°，∴△PCH为等腰

直角三角形，其三边之比为1:1:2，∴PH=CH=x，BH=BC-CH=4-x，在Rt△PHB中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²，∴222(32)(4)xxx=+-，整理得：2220xx，解得：1174x-+=(负值舍去)，∴34224PCx-==；综上所述，1PC或2或342

4．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用及分类讨论的思想，本题中由于P点的位置未定，故需要分多种情况讨论．22.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角

形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．【答案】21nn【解析】【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将

题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n2，∴上下两部分统一规律为：21nn．故答案为：21nn．【点睛】本题主要考查的图形的变化

规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内23.（1）如图，已知,ABCP为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E．使AEEP

AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在上图中，如果6cm,3cmACAP，则APEV的周长是_______cm．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；（2）根据（1）中可知AEEPAC，即可求得APEV的周长．【详解】

（1）作法：如图所示，①连接PC（用虚线），②作PC的垂直平分线交AC于E，③标出点E即为所求，（2）∵PECE，∴AEEPAC，∴APEV的周长＝36APAEPEAPAC9．【点

睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．24.如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角

线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与OAB的相似比等于12；（2）将OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90，得到11OAB，作出11OAB，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．【答案】（1）见

详解；（2）见详解；弧长是41313【解析】【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）（2）根据图形旋转的方法

：将顶点与旋转中心的连线旋转90即可得旋转后的图形11OAB；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．【详解】（1）位似图形如图所示（2）作出旋

转后图形11OAB，2264213OB，周长是90213221341313180．【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．25.一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的

侧面结构如图实线所示，底座为ABC，点BCD、、在同一条直线上，测得90,60,32cmACBABCAB，75BDE，其中一段支撑杆84cmCD，另一段支撑杆70cmDE，求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin

150.26,cos150.97,tan150.27,31.732）【答案】点E到水平地面的距离EF约为105cm．【解析】【分析】过D作DMEF交于M，过D作DNBA交BA延长线于N，证明四边形FMDN为矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出D

N的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得到答案．【详解】解：过D作DMEF交于M，过D作DNBA交BA延长线于N，如下图所示：在RtABC中，60,32ABCAB，由30°所对直角边等于斜边的一半可知，16BC

，84DC，100BDBCDC，90,90FDMF，//DMFN，60MDBABC，在RtBDN中：sinsin60DNDBNBD，代入数据：310050

32DN，90FNDMF，∴四边形MFND是矩形，503DNMF，7560BDEMDB，，756015EDM，又已知70DE，在RtDME中：sinEDMMEDE，sinsin150.267018.2MEEDMDEDE

，50318.2104.8105(cm)EFMEMF，故点E到水平地面的距离EF约为105cm．【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．26.

小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速

，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m_______，n______；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距

30米．【答案】（1）160163，；（2）80(4880)CDStt；40057201443EFStt；（3）t为46，50，110，138时，两人相距30米．【解析】【分析】（1）依次分析A、B、C、D、E、F各点坐标的实际意义：A点

是小刚先走了4秒，B点小亮追上小刚，相遇，C点是小刚开始加速，D点是小刚追上小亮，E点是小刚到达乙地，F点是小亮到达乙地，则根据A点的意义，可以求出m的值，根据E点的意义可以求出n的值；（2）根据题意分别求得C、D、E、F各点坐标，代入直线解析式，用待定系数法求得解析式；（3）根据题意分别

求出写出,,,BCCDDEEF四条直线的解析式，令S=30，即可求解．【详解】（1）∵小刚原来的速度1644米/秒，小亮的速度7201445米/秒B点小亮追上小刚，相遇4165mm=16mE点是小刚到达乙地720805160[(80)80](65)423

1603n．（2）由题意可知点C横坐标为801616482∵小刚原来的速度1644米/秒，小亮的速度7201445米/秒∴纵坐标为5448163248,32C设11(48,32)(80,0)CDSktbCD

，，11114832800kbkb解得：11180kb80(4880)CDSttE的横坐标为7208054008063E的纵坐标为40016080(65)

33400160(,)33E(144,0)F设22EFSktb代入可得2222400160331440kbkb解得：225720kb40057201443EFStt．（3）(1

6,0)B,48,32C，(80,0)D，400160(,)33E，(144,0)F设33(48,32)(16,0)BCSktbCB，，33334832160kbkb解得：33=16kb=1，

161648BCStt设44400160(80,0),(,)33DESktbDE，444440016033800kbkb解得：441,80kb40083008DESt

t当S=30时1630,46BCStt，8030,50CDStt，80=30,110DEStt，5720=30,138EFSttt为46，50，110，138时，两人相距30米．【点睛】本题考

查了对一次函数的图像的理解和运用，对路程问题的分析，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合理解函数图像的意义，理解图像的各拐点的意义是解题的关键．27.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与BC相交于点,D

DEAC，垂足为E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为1,,34AGGMNAB，求O的半径；（3）在（2）的条件下，当36BAC时，求线段CE的长．【答案】（1）见解析；（2）O的半径为1；（3）354CE．【解析】【分析】（1）连接

OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是O的切线；（2）连接OD，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设

AC与O交于点H，连接OH，分别求解S△OAH，S扇形OAH，S△OBD，S扇形OOD，然后根据S阴影=S扇形OAH+S扇形OBD–S△OAH–S△OBD求解即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）证明：方法一：连接,ADODABQ为直径

90ADBADBCABAC，D∴为BC中点O为AB中点ODAC∥DEACDEODOD是O的半径DE是O的切线方法二：连接ODOBODOBDODBDEAC90EDCCABACABCCODBC90EDCODB

90ODE．ODDEOD是O的半径DE是O的切线方法三：连接ODOBODOBDODBABACABCACBODBACBODAC∥DEACDEODOD是O的半径DE是O的切线（2）解：方法一：连

接OM，MNAB90OGMABQ是直径3MN32MGNG14AGAB13AGGB12AGOGOM在RtMGO中2222223()()22OMOGMGOMOM1OM即O的半径为1方法二：连接AMMB、ABQ是O的直径90AMBMNAB

90AMGMAGAMGBMGMAGBMGAMGMBG∽MGAGBGMG2MGAGBG:1:4AGAB:1:3AGBG12AOBOABG为OA中点3MNABMN3

2MG2MGAGBG12AG1AO即O的半径为1（3）作ABC的平分线BF交AC于F连接AD36BACABAC72ABCACBBF平分ABC36ABFCBP

72BFC即,BAFABFBFCACBBCBFAFCBFBACCCCBFCAB∽2BCCFAC设BCx则AFx2CFx222xx解得：51x51BCAB是O的直径90ADBABAC

12CDBDBC512CDDEACADBC90ADCDECCCCDECAD∽△△2CDCEAC2251()35224CDCEAC【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添加辅助线将不规则图形转

换为规则图形的面积表示是解题关键．28.如图所示，四边形ABCD为正方形，在ECH中，90,,ECHCECHHE的延长线与CD的延长线交于点F，点DBH、、在同一条直线上．（1）求证：CDECBH≌；（2）当15HBHD时，求FDFC的值；（3）当3,4HBHG时，

求sinCFE的值．【答案】（1）见解析；（2）513FDFC；（3）32sin8CFE．【解析】【分析】（1）已知正方形和90,ECHCECH，用“边角边”证明两三角形全等即可；（2）方法一：过C作CMEH交于M点，过D作DNFH交于N点

，则//DNCM，从而求的FDDNFCCM，方法二：连接AC交BD于O，交FH于M，构造相似三角形，从而求得FDDEFCMC；（3）CFE不在直角三角形中，过点E作//PEDH交CF于P点，过点E

作EQCF交CF于点Q，sinEQCFEEF求得结果．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形BCCD90DCB90ECHDCEECBECBBCHDCEBCH在CDE△和CBH中CDCBDCEBCHCECH

DCEBCH≌(SAS)．（2）方法一：DCEBCH≌CDECBH，DEBHBDQ为正方形对角线4545CDBDBC，135CBHCDE90EDH:1:5BHDH设BH

a，则5DHaDEa在RtHDEV三角形中22(5)26EHaaa过C作CMEH交于M点，过D作DNFH交于N点11522aaEDNH52626DNaCEH是等腰直角三角形12622CMEHa//DNCM∴FDNFCM，52652613262aF

DDNFCCMa．方法二：连接AC交BD于O，交FH于M∵正方形ABCDACBD，12OAOCOBBD，45CBD90AOB∴CDECBH≌135CDECBH45CDB90EDH//DEAC，∴F

DEFCM，HOMHDEFDDEFCMC，OMHODEHD，15BHDH14BHBDO为BD中点35HOOMHDDE，设BHaDEa35OMa313255CMaaa513FDDEFCMC

（3）过点E作//PEDH交CF于P点，过点E作EQCF交CF于点Q//PEDHBHGPEF，135FPEFDH//ABCDQ135HBGFDH135HBGEPF135CDE45EDQ，45EPQPED为等腰直角三角形D

EPEBHGPEF≌GHEF，BHPE3BH，4GH3PEDE4EF322QE，在RtFEQ中32324sin48EQCFEEF．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握相似三角形的

判定与性质，按要求作出辅助线是解决本题的关键．29.如图，已知抛物线25(0)yaxbxa与x轴交于点5,0A，点10B,，（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，

连接BD．直线1522yx经过点A，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H

（点H在第一象限）．当3EFGBAE且2HGFG时，求出点F的坐标．【答案】（1）245yxx；（2）1(5,0)N；21318171181,618N，31318171181,618N

；（3）15172,5959F【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出a、b的值即可得出抛物线解析式；（2）当DBDN=时，根据抛物线对称性可求得N的坐标；当DNBN时，N在BD的垂直平分线上，与抛物线产生两个交点，将

两点坐标求出即可；（3）在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AMMF，在AO上M点的右侧作FGMF，移动F点，当2HGFG时，点F为所求，过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，则FPGHRG∽，设15(,)22Fmm

，根据相似三角形性质列比例求解，解出点F的坐标即可．【详解】（1）将5,01,0,代入25(0)yaxbxa得：2555050abab解得：14ab∴

抛物线的解析式245yxx（2）顶点2,9D①当DBDN=时，根据抛物线对称性，A与N重合1(5,0)N②方法一：如图一当DNBN时，N在BD的垂直平分线上如图BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于Q点，BD与y轴交点为K9090KBOOKBKBOIQB

，IQBOKB，在RtOKB中，10sin10OKB，10sin10BIIQBBQ，I是BD的中点，310BD，3102BI，15BQ，19(14,0),22QI，，设QIykxb，代入得1401922kbkb

，解得：13143kb，11433QIyx，联立得，21143345yxyxx，解得131816x，11411318114711813336318x

，2313181711811318171181,,618618NN，方法二：如图二，过N作x轴垂线交x轴于T，过D作DSNT交NT于S，设2,45(2,9)

NaaaD，DNDB，2222DSSNNTTB，222222(2)(945)(45)(1)aaaaaa，22222(2)(1)(245)(945)aaaaa，2222(21)(21)(4544)(4544)aaaaaaaaaa

aa，解得：131816a，把131816a代入，2213181131817118145456618aa，2313181711811318171181,,618618NN

，综上121318171181(5,0),,618NN，31318171181,618N，（3）如图一，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接M

F，则AMMF，在AO上M点的右侧作FGMF，FGMFMG，23EFGBAEFGMBAEFMGBAEBAEBAE，移动F点，当2HGFG时，点F为所求．过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，FPGHR

G∽，12PFPGFGHRRGGH，22GRPGHRPF，，设15(,)22Fmm，1522OPmPFm，25HRPFm，5APm，2APPF，2AMAPMPPFMP，MFAM，∴在RtPM

F中，222222(2)PMPFMFPMPFPFMP，，33531544288mPMPFm，31588GPm，315244GRPGm，33PRPGPM，31

717853234488ARAPPRAPPMPFPFPFm，1785174558888ORmm，1745(,5)88Hmm，代入33BDyx，解得15159m

代入1522yx得，7259y，15172,5959F．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形综合，二次函数与一次函数综合，解直角三角形，相似三角形等知识点，题型难度大，属于中考压轴题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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