【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2019年上海高考数学真题试卷（word解析版）.docx，共(11)页，541.932 KB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-80f53199f357678a0f019a165a69aa7c.html

以下为本文档部分文字说明：

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答

题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5

分，共54分）1.已知集合()(),32,AB=−=+、，则=BA________.2.已知Cz且满足iz=−51，求=z________.3.已知向量)2,0,1(=a，)0,1,2(=b，则a与b的夹角为________.4.已

知二项式()521x+，则展开式中含2x项的系数为________.5.已知x、y满足002xyxy+，求23zxy=−的最小值为________.6.已知函数()fx周期为1，且当01

x，()2logfxx=−，则=)23(f________.7.若xyR+、，且123yx+=，则yx的最大值为________.8.已知数列na前n项和为nS，且满足2nnSa+=，则5S=______.9.过

24yx=的焦点F并垂直于x轴的直线分别与24yx=交于AB、，A在B上方，M为抛物线上一点，OMOA=+()2OB−，则=______.10.某三位数密码锁，每位数字在90−数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.

11.已知数列na满足1nnaa+（Nn），(),nnPna在双曲线12622=−yx上，则1limnnnPP+→=_______.12.已知()()21,01fxaxax=−−，若0a

a=，()fx与x轴交点为A，()fx为曲线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得APAQ⊥且APAQ=，则0a=__________.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线方程02=+−cyx的一

个方向向量d可以是（）A.)1,2(−B.)1,2(C.)2,1(−D.)2,1(14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.1B.2C.4D.815.已知R，函数()()()26sinfxxx=−

，存在常数Ra，使得()fxa+为偶函数，则可能的值为（）A.2B.3C.4D.516.已知)tan(tantan+=.①存在在第一象限，角在第三象限；②存在在第二象限，角在第四象限；A.①②均正确；B.①②均错误；

C.①对，②错；D.①错，②对；三.解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，M为1BB上一点，已知2BM=，4AD=，3CD=，15AA=.（1）求直线1AC与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面1AMC的距离.18.（本题满分14分

）已知()11fxaxx=++)(Ra.（1）当1a=时，求不等式()()11fxfx++的解集；（2）若1,2x时，()fx有零点，求a的范围.19.（本题满分14分）如图，ABC−−为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，39.

2BDkm=，22BDC=，68CBD=，58BDA=.（1）求BC长度；（2）若40ABkm=，求D到海岸线ABC−−的最短距离.（精确到0.001km）20.（本题满分16分）已知椭圆22184xy+=，12,FF为左、右焦点，直线l过2F交椭圆于A、B两点.

（1）若AB垂直于x轴时，求AB；（2）当190FAB=时，A在x轴上方时，求,AB的坐标；（3）若直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N，是否存在直线l，使MNFABFSS11△△=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分

18分）数列na有100项，1aa=，对任意2,100n，存在,1,1niaadin=+−，若ka与前n项中某一项相等，则称ka具有性质P.（1）若11a=，求4a可能的值；（2）若na不为等差数列，求证：na中存在满足性质P；（3）若na中恰有三项具有性

质P，这三项和为C，使用,,adc表示12100aaa+++.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1.已知集合()

(),32,AB=−=+、，则=BA________.【思路分析】然后根据交集定义得结果．【解析】：根据交集概念，得出：)3,2(.【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.已知Cz且满足iz=−51，求=z_______

_.【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】：iz+=51，iiiiiz261265)5)(5(551−=−+−=+=.【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3.已知向量)2,0,1(=a，)0,1,2(=b，则a与b的夹角为

________.【思路分析】根据夹角运算公式baba=cos求解．【解析】：52552cos===baba.【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4.已知二项式()521x+，则展开式中含2x

项的系数为________.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含2x项的的项，再求系数．【解析】：rrrrrrrxCxCT−−−+==55555121)2(令25=−r，则3=r，2x系数

为402235=C.【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．5.已知x、y满足002xyxy+，求23zxy=−的最小值为________.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得

答案．【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当0=x，2=y时，6min−=z.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知函数()fx周期为1，且当01x，()2logfxx=−，则=)23(f________.【思路分析

】直接利用函数周期为1，将转23到已知范围01x内，代入函数解析式即可．【解析】：121log)21()23(2=−==ff.【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7.若xyR+、，且123yx+=，则yx的最大值为________

.【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有yx的式子求解【解析】：法一：yxyx212213+=，∴892232=xy；法二：由yx231−=，yyyyxy32)23(2+−=−=（230y），求二次最值89max=xy.【归纳与总

结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8.已知数列na前n项和为nS，且满足2nnSa+=，则5S=______.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.【解析】：由=+=+−−)2(2211naSaSn

nnn得：121−=nnaa（2n）∴na为等比数列，且11=a，21=q，∴1631211])21(1[155=−−=S.9.过24yx=的焦点F并垂直于x轴的直线分别与24yx=交于AB、，A在B上方，M为抛物线上一点，OMOA

=+()2OB−，则=______.【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得：)2,1(A，)2,1(−B，设M坐标),(yxM有：)4,22()2,1()2()2,1(),(−=−−+=yx，代入xy42=有：)22(416−=

即：3=.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10某三位数密码锁，每位数字在90−数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.【解析】：法一：100271

031923110==CCCP（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）法二：100271013310110=+−=PCP（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11.已知数列na满足1nnaa+（Nn），(),nnP

na在双曲线12622=−yx上，则1limnnnPP+→=_______.【思路分析】利用点在曲线上得到1nnPP+关于n的表达式，再求极限.【解析】：法一：由12822=−nan得：)16(22−=nan，∴))16(2,

(2−nnPn，))16)1((2,1(21−+++nnPn，利用两点间距离公式求解极限。1limnnnPP+→=332法二（极限法）：当→n时，nP1+nP与渐近线平行，1+nnPP在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：33tan=，所

以3326cos11==+nnPP.【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．12.已知()()21,01fxaxax=−−，若0aa=，()fx与x轴交点为A，()fx为曲线L，在L上任意一点P，总存在一点Q（P异于A）使得APAQ⊥且APAQ

=，则0a=__________.【思路分析】【解析】：【归纳与总结】二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线方程02=+−cyx的一个方向向量d可以是（）B.)1,2(−B.)1,2(C.)2,1(−D

.)2,1(【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：)1,2(−为直线的一个法向量，∴方向向量为)2,1(，选D.【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）B

.1B.2C.4D.8【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：34123121==V，32213122==V，选B.15.已知R，函数()()()26sinfxxx=−，存在常数Ra，使得()fxa+为偶函数，则可能的值为（）B.2B.3C.4D.5

【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验()fxa+的奇偶性，选C；法二：)](sin[)6()(2axaxaxf+−+=+，若)(axf+为偶函

数，则6=a，且)]6(sin[+xw也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴k+=26，当1=k时，4=，选C.16.已知)tan(tantan+=.①存在在第一象限，角在第三象限；②存在在第二象限，角在第

四象限；B.①②均正确；B.①②均错误；C.①对，②错；D.①错，②对；【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令31tan=和31tan−=，求tan看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解

，则可认为不存在)，选D.法二：解：tantantantan1tantan+=−……①设tan,tanxy==，则原式可化为1xyxyxy+=−，整理得()2210xyyxx+−+=，以y为主元，则要使方程有解，需使()233

2144210xxxxx=−−=−+−+有解，令()32421fxxxx=−+−+，则()212220fxxx=−+−恒成立∴函数()32421fxxxx=−+−+在R上单调递减，又∵()()010,140ff==

−∴存在()00,1x使()00fx=，当0xx时()0fx=设方程()2210xyyxx+−+=的两根分别为12,yy，当0x时，12122110,0xyyyyxx−+==，故必有一负根，②对；当00xx时，12122110,0xyyyyxx−+=

=，故两根均为负根，①错；选D.三.解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，M为1BB上一点，已知2BM=，4AD=，3CD=，15AA=.（1）求直线1AC与平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面1AMC的距离.【思路分析】根

据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解..【解析】：（1）依题意：ABCDAA面⊥1，连接AC，则CA1与平面ABCD所成夹角为CAA1；∵51=AA，54322=+=AC，∴CAA1△为等腰直角△，41=CAA；∴直线1AC与平面ABCD的夹角为4.（

2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：则：)0,0,0(A，)0,4,3(C，)5,0,0(1A，)2,0,3(M)0,4,3(=AC，)5,4,3(1−=CA，)2,4,0(−=MC∴求平面MCA1的法向量),,(zyxn=：=

−==−+=02405431zyMCnzyxCAn，得：)2,1,2(=nA到平面MCA1的距离为：3102121423222=+++==nnACd法二（等体积法）：利用AMACMCAAVV11−−=求解，求MCAS1△时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用CabSsi

n21=△求解.【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.（本题满分14分）已知()11fxaxx=++)(Ra.（1）当1a=时，求不等

式()()11fxfx++的解集；（2）若1,2x时，()fx有零点，求a的范围.【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.【解析】：（1）当1=a时，11)(++=xxxf；代入原不等式：211111++++++xxx

x；即：2111++xx移项通分：0)2)(1(1++xx，得：12−−x；（2）依题意：011)(=++=xaxxf在]2,1[x上有解参编分离：)1(1+−=xxa，即求)1(1)(+−=xxxg在]2,1[x值域，

)1(+xx在]2,1[x单调递增，]6,2[)1(+xx；]21,61[)1(1−−+−xx，故：]21,61[−−a.【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用．19.（本

题满分14分）如图，ABC−−为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，39.2BDkm=，22BDC=，68CBD=，58BDA=.（1）求BC长度；（2）若40ABkm=，求D到海岸线ABC−−的最短距离.（精确到0.001km）【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形

.【解析】：（1）依题意：22sin=BDBC，弧BC所在圆的半径4sin=BCR弧BC长度为：310.1622sin2.39141.3422222===BCRkm（2）根据正弦定理：58sinsinABABD=，求得：831.058sin402.39sin==A，

2.56=A∴8.65582.56180=−−=ABD752.35sin==ABDBDDHkm<CD=36.346km∴D到海岸线最短距离为35.752km.【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦

定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想的应用．20.（本题满分16分）已知椭圆22184xy+=，12,FF为左、右焦点，直线l过2F交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于x轴时，求AB；（2）当190FAB=时，A在x轴上方时，求,AB的坐

标；（3）若直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N，是否存在直线l，使MNFABFSS11△△=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【思路分析】直接求出A,B坐标；利用三角形面积公式和点

在曲线上建立方程；.根据面积关系MNFABFSS11△△=转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.【解析】：（1）依题意：)0,2(2F，当AB⊥x轴，则坐标)2,2(A，)2,2(−B，∴22=AB

（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：44tan42tan221===bSAFF△；又：4221==cFF，4222121===AAAFFyycS△，即2=Ay所以A在短轴端点，即)2,0(A直线AFl（即ABl）方程为：2+−=xy，联立：=++−=1

48222yxxy，得)32,38(−B.法二（常规）：依题意：设坐标),(11yxA，∵221=AFF（注意：用点2F更方便计算）则有：21211111214),2(),2(yxyxyxAFAF+−

=−+=又A在椭圆上，满足：1482121=+yx，即：)81(42121xy−=∴0)81(44212121=−+−=xxAFAF，解出：01=x，)2,0(AB点坐标求解方法同法一，)32,38(−B.（3）设坐标),(11yxA，),(22yxB，),0(3yM，),0(4

yN，直线l：2+=myx（k不存在时不满足题意）则：2121212211yyyyFFSABF−=−=△；43431211yyyyOFSMNF−=−=△；联立方程：=++=148222yxmyx，044)2(22=−++myym，

韦达定理：+−=+−=+2424221221myymmyy由直线1AF方程：)2(211++=xxyy得M纵坐标：22113+=xyy；由直线1BF方程：)2(222++=xxyy得N纵坐标：22224+=x

yy；若MNFABFSS11△△=，即43212yyyy−=−21212122112211432)4)(4()(842422222yymymyyymyymyyxyxyyy−=++−=+−+=+−+=−∴4)4)(4(21=++mymy，416)(421212=+++yymyym，代

入韦达定理：得：41624424222=++−++−mmmmm，解出：3=m∴存在直线023=−+yx或023=−−yx满足题意.【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.（本题满分18分）

数列na有100项，1aa=，对任意2,100n，存在,1,1niaadin=+−，若ka与前n项中某一项相等，则称ka具有性质P.（1）若11a=，求4a可能的值；（2）若na不

为等差数列，求证：na中存在满足性质P；（3）若na中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用,,adc表示12100aaa+++.【思路分析】根据定义式子代入即可求解4a；通过证明逆否命题证明；去掉具有P性质三项，求和【

解析】：（1）4a可能的值为3,5,7；（2）要证明na中存在满足性质P，即证明：若数列na中不存在满足性质P的项，则na为等差数列（原命题的逆否命题）显然123,,,(1,2)iaaaadaadi==+=+

=1i=时，312aada=+=，满足性质P，不成立；2i=时，322aadad=+=+，4,1,2,3iaadi=+=，同理1i=时，42aa=不成立；2i=时，43aa=所以433aadad=+=+

以此类推,[1,1]niaadin=+−，其中,[1,2]niaadin=+−时不成立只有1in=−，即1nnaad−=+成立，即na为等差数列，即得证明：na不为等差数列，na中存在满足性质P（3）将数列中

具有性质P的三项去掉，形成一个新数列nb11,[2,97]baan==时，,[1,1]nibadin=+−，且nb中元素满足性质P的项，根据（2）nb为等差数列，所以129719796972bbbbd+++=+

即1297974656bbbad+++=+又因为三项去掉和为c，所以12100974656aaaadc+++=++【归纳与总结】本题考查新定义“性质P”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．声明：试

题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布