【文档说明】浙江省义乌市第二中学2024-2025学年高二上学期11月阶段性考试数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.391 MB，由envi的店铺上传

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义乌二中高二上学期数学阶段性考试一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24xy=−的准线方程是（）A.1y=B.1y=−C.2y=D.=2y−【答案】A【解析】【分析】结合抛物线的准线方程求解即可.【详解】由题知

抛物线224xpyy=−=−,所以2p=，故抛物线24xy=−的准线方程为12py==.故选：A.2.直线20xy−=是双曲线()222104xyaa−=的一条渐近线，则a=（）A.1B.2C.4D.16【答案】A【解析】分析】根据渐近

线方程求解即可.【详解】直线20xy−=是双曲线()222104xyaa−=的一条渐近线，由直线20xy−=的斜率为2，得22a=，所以1a=．故选：A．3.直线310xy+−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120

D.150【答案】D【解析】【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角.【详解】由题意得，直线的斜率33k=−，故直线的倾斜角为150.故选：D.【4.已知数列na满足112a=，111nnaa+=−，则2024a=（）A.1−B.

2C.3D.12【答案】A【解析】【分析】利用递推公式可验证出数列na为周期为3的周期数列，进而可得结果.【详解】因为112a=，111nnaa+=−，令1n=，则2111121aa=−=−=−；令2n=，则3211112aa=−=+=；

令3n=，则431111122aa=−=−=；可知数列na为周期为3的周期数列，所以20246743221aaa+===−.故选：A.5.已知,xyR，向量(),1,1ax=，()1,,1by=，()2,

2,2c=−，且ac⊥，//bc，则xy+的值为（）A.1−B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解.【详解】因为向量(),1,1ax=，()1,,1by=，()2,2,2c=−，由ac⊥，则2220

x−+=，解得0x=，由//bc，则11222y==−，解得1y=−，则1xy+=−．故选：A．6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必

进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→……．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列na满足：1am=（m

为正整数），1,231,nnnnnaaaaa+=+当为偶数时当为奇数时．当23m=时，使得1na=的最小正整数n值是（）A.17B.16C.15D.10【答案】B【解析】【分析】利用定义依次计算即可

.【详解】23m=时即123456232331703510653160aaaaaa==+=====78910111213148040201051684aaaaaaaa========151

621aa==.故选：B7.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点()2,4A，点P满足3POPA=．过点P总可以向以点()5,6C为圆心､r为半径的圆作两条切线，则半径r的取值范围为（）A.()0,2B.()0,22C.()0,32D

.()0,42【答案】B【解析】【分析】设𝑃(𝑥,𝑦)，由3POPA=，得圆22(1)(2)8xy−+−=，再根据点()5,6与圆心()1,2的距离可判断两圆相离，进而可得r的取值范围.【详解】设𝑃(𝑥,𝑦)，由3POPA=，则()(),2,43xyxy−−−

−=，故()()243xxyy−+−=，得圆22(1)(2)8xy−+−=，圆心为()1,2，半径为22.又点()5,6与圆心()1,2的距离为()()22516242d=−+−=，由于过点P总可以向以点()5,6C为圆心的圆作两条切线

，故两圆相离，所以04222r−，故r的取值范围为(0,22)．故选：B8.已知圆()22114xy−+=的一条切线ykx=与双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）有两个交点，则双曲线C离心率的取值范围是（）A.23,3+B.()3,+C.()2,+

D.231,3【答案】A【解析】【分析】由已知结合点到直线的距离公式，求出圆切线斜率的值，可得出双曲线渐近线的斜率范围，即可求解.【详解】由()22114xy−+=可得圆心()1,0，半径12r=，则圆心()1,0到切线ykx=的距离2121kdk==+

，解得：33k=，所以切线方程为33yx=，因为33yx=与双曲线有两个交点，所以33ba，所以222313cbeaa==+，即双曲线的离心率的取值范围为23,3+.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知各项均为正数的等差数列na单调递增，且52a=，则（）A.公差d的取值范围是10,2B.7922aa−=C.3746aaaaD.1911aa+的最小值为1【答案】A

B【解析】【分析】由0d,10a,且52a=，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式可判断D.【详解】由题意得0d,10a,而52a=，240d−，解得12d，∴10,2d，故A正确；由()79599522aaaaaa−=+

−==，故B正确；由23746(22)(22)(2)(2)30aaaaddddd−=−+−−+=−，可知3746aaaa，故C错误；由19524aaa+==，所以()19114aa+=有()911919191911111111214244216aaaaaa

aaaa+=++=+++=，当且仅当19aa=时取到等号，但19aa，故不能取“=”，所以D错.故选：AB10.下列说法正确的是（）A.在长方体1111ABCDABCD−中，11}{,,ABACAC可以构成空间的一个基底B.已知,,ABC三点不共线，对平面ABC

外的任一点O，若点M满足1()3OMOAOBOC=++，则M在平面ABC内C.若向量pmxnykz=++，则称(,,)mnk为p在基底{,,}xyz下的坐标，已知向量p在基底{,,}abc下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{,,}ababc−+下的坐标为

13(,,3)22−D.已知PAPBPC､､是从点P出发的三条线段，每两条线段夹角均为60,1PAPBPC===，若M满足23PMPAPBPC=++，则19cos,19AMAB=【答案】BCD【解析】【分

析】根据给定条件，结合空间基底的意义、空间向量运算逐项分析判断即可.【详解】对于A，在长方体1111ABCDABCD−中，11,,ABACAC共面，则11}{,,ABACAC不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，111333OMOAOBOC=++，而1111333++=，则,,,MABC四点共面

，从而M在平面ABC内，B正确；对于C，依题意，23pabc=++，设()()(,,)pxabyabzcxyz=−+++R，即()()23xyayxbzcabc++−+=++，则123xyyxz+=

−==，解得13,,322xyz=−==，因此向量p在基底,,ababc−+下的坐标为13{,,3}22−，C正确；对于D，23AMPMPAPBPC=−=+，111122PAPBPBPCPCPA====，则2221(

23)41294129192AMPBPCPBPBPCPC=+=++=++=，2(23)()2233AMABPBPCPBPAPBPBPAPCPBPCPA=+−=−+−11122331222=−+−=，

()2221211212ABPBPAPBPAPBPA=−=+−=+−=，119cos,19|||191|AMABAMABAMAB===，D正确.故选：BCD11.已知椭圆()221112211:10xyCabab+=和双曲线()222222222:10,0xyC

abab−=有公共焦点，左，右焦点分别为12,FF，设两曲线在第一象限的交点为,MMP为12FMF的角平分线，MQMP⊥，点,PQ均在x轴上，设椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，则下列说法正确的是（）A.221221MFMFbb=−B.以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形

的面积的最大值为112abC.若1226FFMF=，则12ee的取值范围为33,42D.若1260FMF=，则221212PFQFMFMF+的最小值为312+【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆和双曲线定义有122,2mnamna+=−=，将

两式平方相加后由余弦定理和向量的数量积计算可得A错误；由对称性得到四边形的顶点的坐标，再结合基本不等式求出面积可得B正确；由离心率的定义和边长关系得到112133,1,43eeee=−，再结合对勾函数的单调性可得C正

确；由角平分线的定理将问题转化为求2212ee+的最小值，再由椭圆和双曲线的性质结合余弦定理得到2221314ee+=，再用基本不等式的乘“1”法分析可得D正确；【详解】对于A，设1212122,,,FFcMFmMFnFMF====，由椭圆和双曲线定义有122,2mnamna+=−=，

将两式平方得()()2222221222,22mnmnamnmna++=+−=，相加整理得22221222mnaa+=+，又在12FMF△中，由余弦定理有2222cos(2)mnmnc+−=，则22212co

s2mnaac=+−，即2212cosmnbb=−，则221212cosMFMFmnbb==−，故A选项错误；对于B，椭圆和双曲线一个交点()00,Mxy，由椭圆和双曲线的对称性可知，另外三个点的坐标为()()0000,,,xyxy−−，(

)00,xy−−，以它们为顶点的四边形为矩形，面积004Sxy=，又点()00,Mxy在椭圆上，所以满足220022111xyab+=，则有2200000011111122111142222xyxySxyababababab

==+=，当且仅当0011xyab=时等式成立，故B选项正确；对于C，1226FFMF=即26cn=，所以3cn=，则11223cmana=−=−，又2122223camnac=−=−，所以143ac，即134e，又11e，所

以13,14e，112211132221232133eeccecaeae====−−−，则2112133eeee=−．令1193,2,,34tetet=−=−，则22123(3)969336ttteetttt−

+−===+−，函数9ytt=+在92,4上单调递减，所以1233,42ee，故C选项正确；对于D，由MP为12FMF的角平分线，MQMP⊥，易知MQ为12FMF△的外角平分线，则由角平分线性质定理

有1122MFPFMFPF=即121211212122PFPFPFPFceMFMFMFMFa+====+，由外角平分线性质定理有1122MFQFMFQF=，即211222112222QFQFQFQFceMFMFMFMFa−====−，求221212PFQFMFMF+

最小值即求2212ee+的最小值；由122,2mnamna+=−=可得1212,maanaa=+=−，代入2222cos(2)mnmnc+−=即222(2)mnmnc+−=，整理可得2221243caa=+，所以22213

14ee+=，则()()222222121212222212213113113423414442eeeeeeeeee+=++=+++=+，当且仅当22213ee=时取等号，所以221212P

FQFMFMF+的最小值为312+，故D选项正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于利用角平分定理将所求221212PFQFMFMF+转换成求2212ee+的最小值，再结合基本不等式的

乘“1”法分析.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列na满足21110mmmaaa−++−−=，且1m，则121maa−+=_____________．【答案】2【解析】【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解即可.【详解】因为数列na

为等差数列，且112mmmaaa−++=，可得2210mmaa−−=，解得1ma=，所以12122mmaaa−+==．的故答案为：213.已知直线1l的一个方向向量为(),ba，直线2l的一个方向向量为(1,2)a−，其中,ab为正数，若12ll⊥，则32ab

+的最小值为__________．【答案】743+【解析】【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可.【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒可得()120baa−+=，

即2abab+=，所以211ba+=，由0,0ab得()122632327743baabababab+=++=+++．当且仅当26baab=取等号.故答案为：743+.14.已知长方体1111ABCDABCD−中，124ABADAA==

=，点P为平面11AADD内任一点，且点P到点1A的距离与到面ABCD的距离相等，点,EF分别为,BCCD的中点，则三棱锥1PEFC−的体积的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】以长方体中的顶点A为原点建立空间直角坐标系

，设点P坐标，根据抛物线的定义可得未知数间的关系，由已知点坐标得到平面1EFC法向量和向量FP，从而求得点到面1EFC的距离关系式得到最小值，从而得到三棱锥1PEFC−的体积的最小值.【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设()0,,Pyz

，∵平面11AADD⊥平面ABCD，∴点P到面ABCD的距离为点P到直线AD的距离∴由抛物线的定义可知：2114zy=+，易知()()()14,2,0,2,4,0,4,4,2EFC，∴()2,2,0EF=−，()10,2,

2EC=,设(),,nxyz=是平面1EFC的其中一个法向量，则1220220EFnxyECnyz=−+==+=，令1z=，得111xyz=−=−=，平面1EFC的法向量为()1,1,1n=−−，又()2,4,FPyz=−−，则P到平

面1EFC的距离22716424223333yyyFPnyzdn−+−+−+++====，所以d的最小值为23，∵点,EF分别为,BCCD的中点且4ABAD==，12CC=，∴22112222CFCEEF=

==+=，所以三棱锥1PEFC−的体积的最小值：11111323222243322PEFCEFCVdS−===．故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明

，证明过程或演算步骤.15.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．【答案】（1）an＝2n；（2）bn＝4

n.【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程，可得答案；（2）由（1）可得出{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．由等差数列的通项公式可得答案.【详解】解：（1）∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4．

∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n．（2）a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n．当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，∴{bn}是以4为首项，

4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n．16.已知双曲线()22:0Cxymm−=的左右焦点与点()0,6构成等边三角形．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线l过定点()0,1且与双曲线C交于,PQ两点，当22PQ=时，求直线l的方程．【答

案】（1）221xy−=（2）151,13yyx==+或1513yx=−+．【解析】【分析】（1）由条件直接得出焦距，结合双曲线222cab=+表示出c，建立方程解得m的值，便可以写出双曲线方程的标准方程；（2

）设直线方程，联立方程组，由韦达定理表示出焦点弦长，解得斜率k的值，从而得出直线l的方程.【小问1详解】由等边三角形可知双曲线焦距为22，∵221xymm−=，即22abm==，∴22cm=，∴22(2)m=，∴1m=，双曲线C的标准方程为：221xy−=．【小

问2详解】显然当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线不相交，∴设直线l的方程为1ykx=+，联立方程组221,1,ykxxy=+−=得()221220kxkx−−−=，()()222Δ(2)412480kkk=−−−

−=−+，解得()2,2k−，由韦达定理可知，()()222212122224814122,11kPQkxxxxkkk=++−=++=−−即()22350kk−=，解得0k=或153．所以直线l的方程为151,13yyx==

+或1513yx=−+．17.一个小岛（点)O的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为1km的圆形区域内，轮船在小岛正东方2km的B点处．以小岛中心为原点O，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，取1km为单位长度．（1）若轮船沿北

偏西45的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；（2）若直线l过点B，且其倾斜角为直线12yx=的倾斜角的2倍，求l的一般式方程，并求暗礁边界上动点P到直线l的距离的最小值．【答案】（1）轮船没有触礁风险，理由见解析．（2）4380xy−

−=；3km5【解析】【分析】（1）由点到直线的距离求得小岛中心为原点O与轮船航线的距离，从而判断直线与圆的位置关系，得到轮船航线是否穿过暗礁区域；（2）由题意可求出lk得到直线方程，由圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系，从而知道最短距离为

圆心到直线距离减去半径.【小问1详解】由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆O的方程为：221xy+=．轮船航线所在直线过点()2,0，所在直线的倾斜角为135，斜率为1−，直线方程为()2yx=

−−，即20xy+−=．原点到轮船航线所在直线的距离为2222111d==+，所以，轮船没有触礁风险．小问2详解】记直线l的倾斜角为，直线12yx=的倾斜角为，则14tan,tantan223k====，直线l方程为：()423yx

=−，其一般式方程为：4380xy−−=．易知原点到直线l的距离为22881534d==+，直线l与圆O相离，圆上动点P到直线l的距离的最小值为：()831km55−=．18.如图，在四棱锥PABCD

−中，底面ABCD是正方形，PD⊥面,4,ABCDPDABE==为棱PA上的动点．【的（1）若E为棱PA中点，证明：PC∥面EBD；（2）在棱PA上是否存在点E，使得二面角BDEA−−的余弦值为2?3若存在，求出PEPA的值；若不存在，请说明理由；（3）,

,EFQ分别在棱,,PAPCPD上，1EQFQ==，求三棱锥FEDP−的体积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）存在满足条件的点E，13PEPA=；（3）23【解析】【分析】（1）运用中位线性质得到线线平行，进而得

到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角得向量法求解即可；（3）在PEQ中，由余弦定理，设PQx=，则22210xPExPE−+−=，得到2PE，在用等体积法计算即可.【小问1详解】连接AC

交BD于O，则EO为三角形中位线，易知//PCEO，又因为EOEDB平面上，PC面EBD，所以PC∥面EBD；【小问2详解】以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,4,4,0,0,0,4,4,0,4DABPPA=−，由E为棱PA上一点，设()4,0,4,01PEPA==−，()()4,0,44,4,4,0DEDPPEDB=+=−=．设平面E

BD的法向量为(),,nabc=，由0,0nDEnDB==可得()4440,440,acab+−=+=令c=，则1a=−，则()1,1,n=−−．取平面ADE的法向量为()0,1,0m=，则二面角BDEA−−的平面角满足：22212co

s3(1)(1)mnmn−===−+−+，化简得：23210+−=，解得：13=或1=−（舍去），故存在满足条件的点E，此时13PEPA=．【小问3详解】因为FPEDDPEFVV−−=，

可知三棱锥DPEF−体积最大时，即PEFS△最大，在PEQ中，由余弦定理有：2222cos,EQPEPQPEPQEPQ=+−可得22210PQPEPQPE−+−=，设PQx=，则22210xPExPE−+−=，由题可知：该方程有实根，则

()22Δ2410PEPE=−−，解得2PE，同理可得2PF．设点D到平面PEF的距离为d，则由等体积法得到：DPACPACDVV−−=，11311424244432232d=，解得：433d=．当PEFS△最大时三棱锥DPEF−体积最大，即

三棱锥FPED−体积最大，最大体积为：1134322232233V==．19.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22且过点61,2，过点()4,2P作椭圆C两条切线，切点分别为AB､．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线AB的方程；（3）过点()

4,2P作直线l交椭圆C于,DE两点，其中点D在x轴上方，直线l交直线AB于点F．试证明：0PDFEFDPE+=恒成立．【答案】（1）22142xy+=（2）10xy+−=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由离心率，点在椭

圆上列出等式求解即可；（2）由判别式求出直线,PAPB的方程，即可求解；（3）设()()3344,,,DxyExy，将问题转化成334444FFxxxxxx−−=−−，结合韦达定理即可求证.【小问1详解】由题意可得222222,2

131,2caabcab==++=解得2224,2,2,abc===所以，椭圆C的方程为22142xy+=．【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，下证：切线PA的方程为1

1142xxyy+=；直线PA的斜率存在，10y，设直线PA的方程为：()11yykxx−=−，与22:142xyC+=联立整理得：()()()2221111124240kxkykxxykx++−+−−=

，由已知得：()()()22221111Δ16412240kykxkykx=−−+−−=，化简得：()22211114220xkxyky−++−=．因为221124xy+=，则2221111440ykxykx++=，即()21120+=ykx，所以112xky=−，所以直线PA的方程为：

()11112xyyxxy−=−−，即22111122xxyyxy+=+，则1142xxyy+=，故直线PA的方程为11142xxyy+=．同理可得直线PB的方程为22142xxyy+=，由点P的坐标为()4,2，则

112242421,14242xyxy+=+=，则()()1122,,,AxyBxy两点都在直线42142xy+=上，由于两点确定一条直线，故直线AB的方程为10xy+−=；【小问3详解】设()()3344,,,DxyExy，由题意易得直线l的斜率存在，故可设为()24ykx−=−，

联立()221,4224,xyykx+=−=−得()()()2222182148810kxkkxkk+−−+−+=，由韦达定理可得()()23434224881821,2121kkkkxxxxkk−+−+==++，联立()10,24,xyykx

+−=−=−得4123,11kkFkk−−++．要证0PDFEFDPE+=，即证PDFEFDPE=，等价于证明PDFDPEFE=，所以只需证明334444FFxxxxxx−−=−−，化简可得()()34344280FF

xxxxxx++−−=，将韦达定理及4123,11kkFkk−−++代入可得：()()222488182141414280121211kkkkkkkkkk−+−−−+−−=++++，化简得()()()()()()228321881141210kkkkkkk

k+−−−++−−+=，即()()32232232168638888184210kkkkkkkkkkkk−+−−+−−++−+−−=，上式显然可以判断出是恒成立的．故0PDFEFDPE+=恒成立．【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy，()22,xy，（2）联立直线与圆锥曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+

、21xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.的