【文档说明】江苏省南京师大附中2022届高三下学期开学考试数学试题含答案.docx，共(12)页，565.112 KB，由envi的店铺上传

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南京师大附中2021-2022学年度第2学期高三年级阶段性考试数学试卷2022．02第I卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，

则A∩B＝A．∅B．{－3，－2，2，3}C．{－2，0，2}D．{－2，2}2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，

＋∞)D．(－∞，1)3．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为A．2B．2C．4D．84．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的A．充分条件B．必要条件C．充分

必要条件D．既不充分也不必要条件5．设函数y＝f(x)的图象与axy+=2的图象关于直线y＝x对称，且f(2)＋f(4)＝1，则a＝A．－1B．1C．2D．46．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上(不含端点)，延长AD到P，使得

AP＝9．若PA→＝mPB→＋)23(m−PC→(m为常数)，则CD的长度是A．125B．3C．185D．77．在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则

数列{Tn}A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项8．已知a∈R，则函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)零点的个数为A．1B．2C．3D．与a有关二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝sinx＋1sinx，则A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的图象关于直线x＝π2对称D．f(x)的最小值为210．当2

10x时，xaxlog4，则a的值可以为A．22B．32C．63D．211．设函数f(x)＝)5sin(+x(ω＞0)，已知f(x)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则A．f(x)在区间(0，2π)有且仅有3个极大值点B．f(x)在区间(0，2π)有且仅有2个极小值点C．f(x

)在区间)100(，上单调递增D．ω的取值范围是1029512，12．已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上B．圆M的面积可以是

50πC．圆M的半径可以为1D．满足条件的所有圆M的半径之积为10第II卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_________．14．8))((yxyx+−的展开

式中72yx的系数为_________．(用数字填写答案)15．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有___

______个．16．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉

格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()MMMRrRrrR+=++．设rR=，由于的值很小，因此在近似计算中345323

33(1)+++，则r的近似值为_________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设数列{}na满足123(21)2naanan++

+−=．（1）求{}na的通项公式；（2）求数列{}21nan+的前n项和．18．（本小题满分12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的

方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==，2011200iiy=

=，2021)80iixx=−=（，2021)9000iiyy=−=（，201))800iiixyxy=−−=（（．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)

的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r=12211))))niiiiinniixyxxyy

yx===−−−−（（（（，21.41419．（本小题满分12分）已知在ABC中，Bbccos2=，32=C．（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确

定，并求出BC边上的中线的长度．①2cb=；②周长为423+；③面积为334ABCS=．20．（本小题满分12分）已知直三棱柱111ABCABC−中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFA

B⊥．（1）证明：BFDE⊥；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？21．（本小题满分12分）设椭圆:C22221(0)xyabab+=，已知椭圆的短轴长为22，离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）点P为直线4x=上的动点，过点P的动直

线l与椭圆C相交于不同的,AB两点，在线段AB上取点Q，满足||||||||APQBAQPB=，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点．22．（本小题满分12分）已知实数0a，设函数1ln)(++=xxaxf，0x．（1）当1a=−

时，求函数()fx的单调区间；（2）对任意)91[+，x均有axxf2)(，求实数a的取值范围．南京师大附中2021-2022学年度第2学期高三年级阶段性考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．D2．A3．C4．B5．C6．C7．B8．A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．BC10．ABC11．AC

D12．ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．3214．-2015．1416．RMM3123四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)【解析】（1）数列{}na满足123(21)2n

aanan+++−=．2n…时，1213(23)2(1)naanan−+++−=−．(21)2nna−=．221nan=−．当1n=时，12a=，上式也成立．221nan=−．（2）21121(21)(21)2121nannnnn==−+−+−+．数列

{}21nan+的前n项和1111112(1)()()133521212121nnnnn=−+−++−=−=−+++．18．(本题满分12分)【解析】（1）样区野生动物平均数为201111200602020iiy===，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为20

06012000=（2）样本(,)iixy(i=1，2，…，20)的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iiiiiiixxyyrxxyy===−−===−−（3）由（

2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.19．(本题满分12分)【解析

】（1）2coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=，23sin2sin32B==，23C=，0,3B，220,3B，23B=，解得6B=；（2）若选择

①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB===，与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A=，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6abRR===，22sin33cRR==，则周长23423a

bcRR++=+=+，解得2R=，则2,23ac==，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：()222312231cos76+−=；若选择③：由（1）可得6A=，即ab=，则211333sin2224ABCSabCa===，解得

3a=，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb+−=++=.20．(本题满分12分)【解答】（1）证明：连接AF，E，F分别为直三棱柱111ABCABC−的棱AC和1CC的中点，且2ABBC==，1CF=，5BF=

，11BFAB⊥，11//ABAB，BFAB⊥，2222253AFABBF=+=+=，22223122ACAFCF=−=−=，222ACABBC=+，即BABC⊥，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为

x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，1，0)，(0F，2，1)，设1BDm=，则(Dm，0，2)，(0BF=，2，1)，(1DEm=−，1，2)−，0BFDE=，即BFDE⊥．

解法二：取BC中点M,连接EMMB,1,可证11//EMAB，因为11BFAB⊥，所以EMBF⊥.易证1BFBM⊥，所以1BFDBEM⊥平面，从而BFDE⊥.（2）解：AB⊥平面11BBCC，平面11BBCC的一个法向量为(1m=，0，0)，由（

1）知，(1DEm=−，1，2)−，(1EF=−，1，1)，设平面DEF的法向量为(nx=，y，)z，则00nDEnEF==，即(1)200mxyzxyz−+−=−++=，令3x=，则1ym=+，

2zm=−，(3n=，1m+，2)m−，cosm，2222333||||12719(1)(2)22142()22mnnmnmmmmm===+++−−+−+，当12m=时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的余弦值最大为63，此时正弦值最小为3

3．21．(本题满分12分)【解析】（1）由题意可知22222bca==，解得2,2ab==，则椭圆的方程：22142xy+=（2）设1122(,),(,)AxyBxy，(,)Qxy，(4,)Pt，直线AB的斜率显然存在设为k，则AB的方程为(4)ykxt=−+。因为

,,,APBQ四点共线，不妨设214xxx，21||1(4)APkx=+−，21||1()AQkxx=+−，22||1()QBkxx=+−，22||1(4)PBkx=+−，由||||||||APQBAQPB=可得1212(4)()()(4)xxxx

xx−−=−−，化简可得12122()(4)80xxxxxx−+++=.（*）联立直线(4)ykxt=−+和椭圆的方程消去y：22142(4)xyykxt+==−+，即222(21)4(4)2(4)40kxktkxtk++−+−−=，有韦达定理，1224(4)

21ktkxxk−+=−+，21222(4)421tkxxk−−=+.代入（*）化简得22426422ktttxktkt+−+==−++，即2642txkt+=−+又4ytkx−=−代入上式：26424txyttx+=−−+−，化简：220xty+−=，所以点Q总在一条动直线

220xty+−=上，且该直线过定点(1,0)22．(本题满分12分)【解析】（1）当1a=−时，()ln1,0fxxxx=−++．1(21)(121))(112))()2121121xxxxf'xxx

xxxx−+++−+−−=−+==+++，所以，函数()fx的单调递减区间为(0,222)+，单调递增区间为(222,)++．（2）由1(1)2fa，得204a．当204a时，()2xfxa等价于2212ln0xxxaa+−−．令1ta=

，则22t．设2()212ln,22gttxtxxt=−+−，则211()(1)2lnxgtxtxxx+=−+−−．（i）当1,7x+时，1122x+，则()(22)84212lngtgxxx=−+−．记1()

4221ln,7pxxxxx=−+−，则2212121()1112111(12)1(1)1(1)(1)11211xxxxp'xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+−−+=−−=+++−

++−+=++−++−=+−−+++++=+(1)[1(221)]1(1)(12)1(1)[]1211xxxxxxxxxxxxxxxx=++−−−+−=++++++++=+.故x171(,1)71(1,)+()p'x−0+()p

x1()7p单调递减极小值(1)p单调递增所以，()(1)0pxp=．因此，()(22)2()0gtgpx=．（ii）当11,79x时，12ln(1)()12xxxgtgxx−−++=…．令11()2ln(1)10,,7qxxxxx=++

，则ln2()10xq'xx+=+，（因为11()0ln20ln2093q'xxx++++，而111ln22(1ln3)0.30.20.10933++=+−−=）故()qx在191,7上单调递增，所以1()7qxq„．解法1：

由（i）得，127127(1)07777qpp=−−=．（回代中间函数()px）（因为1247(7ln7)777q=−，147ln777p=−+，所以1271777qp

=−）解法2：也可以直接证明1247(7ln7)0777q=−：(放缩法)因为25ln7ln21ln2133e=++=，且572，所以557ln7423即47ln707−，即107q.所以，()<0

qx．因此1()()102qxgtgxx+=−…．由（i）（ii）知对任意,91x+，[22,),()0tgt+…，即对任意1,9x+，均有()2xfxa„．综上所述，所求a的取值范围是20,4

．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com