【文档说明】专题1.3一元二次方程的解法：公式法-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【苏科版】.docx，共(10)页，33.211 KB，由envi的店铺上传

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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.3一元二次方程的解法：公式法姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题

，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•盐城期末

）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，8【分析】整理为一般式即可得出答案．【解析】∵3x2

﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．2．（2020春•广陵区校级期中）用公式法解方程√2x2+4√3x＝2√2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16B．±4C．32D．64【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可．【

解析】∵√2x2+4√3x＝2√2，∴√2x2+4√3x﹣2√2=0，∴a=√2，b＝4√3，c＝﹣2√2，∴b2﹣4ac＝（4√3）2﹣4×√2×（﹣2√2）＝64；故选：D．3．（2021•锡山区一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A．x2＝xB．x2﹣1＝0C．x2+x+14=0D．x2﹣2x+4＝0【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式△＝b2﹣4ac的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．【解析】A、△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，此方程有两个不相等的实数根；B、

△＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根；C、△＝12﹣4×1×14=0，此方程有两个相等的实数根；D、△＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，此方程没有实数根．故选：C．4．（2021•射阳县模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有两个相等实数

根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣1【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+4＝0有两个相等实数根，∴{𝑎≠0△=(−4)2−4×𝑎×4=0，∴a＝1．故选：C．5

．（2019春•西湖区期末）方程x2+x﹣1＝0的一个根是（）A．1−√5B．1−√52C．﹣1+√5D．√5−12【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．【解析】∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x=−1±√52×1，所以x1=−1+√5

2，x2=−1−√52．故选：D．6．（2019秋•连城县期中）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（）A．2＜α＜3B．1.5＜α＜2C．1＜α＜1.5D．0＜α＜1【分析】先求出方程的解，再估算出√5的范围，求出1

+√52的范围，即可得出选项．【解析】解方程x2﹣x﹣1＝0得：x1=1+√52，x2=1−√52，即a=1+√52，∵2＜√5＜3，∴3＜1+√5＜4，∴32＜1+√52＜2，即1.5＜a＜2，故选：B．7．（2020•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实

数根，则m的值可以为（）A．﹣1B．−14C．0D．1【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，∴△＝

（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，解得：𝑚＜−14，故选：A．8．（2021春•龙口市期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2﹣x0.11

0.240.390.560.750.961.191.441.71A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.2＜√5.4＜2.4，依此即可求出一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围．【

解析】x2﹣x＝1.1，x2﹣x﹣1.1＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，x=1±√5.42，x1=1+√5.42，x2=1−√5.42，∵2.2＜√5.4＜2.4，∴3.2＜1+√5.4＜3.4，∴1.6＜1+√5.4

2＜1.7，即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．故选：B．9．（2020秋•遂宁期末）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞−14B．a≥−14C．a≥−14且a≠0D

．a＞−14且a≠0【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴{𝑎≠0△=12−4×𝑎×(−1)＞0，∴a＞−14且a≠0．故选

：D．10．（2021春•中原区校级月考）定义新运算“a*b”对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的

情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解析】∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+

k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2018秋•泰兴市校级月考

）方程√2x2−√3x﹣1＝0的解为x1=√6+√3√2+84，x2=√6−√3√2+84．【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac＝3+4√2，根据公式即可求出答案．【解析】∵√2x2−√3x﹣1＝0，a=√2，b=−√3，c＝﹣1，b2﹣4ac＝（−√3）2﹣4×

√2×（﹣1）＝3+4√2，∴x=√3±√3+4√22√2=√6±√3√2+84，∴x1=√6+√3√2+84，x2=√6−√3√2+84．故答案为：x1=√6+√3√2+84，x2=√6−√3√2+84．12．（2019春•太仓市期末）对任意的两实数a，b，用min（a，b）表示其中较小的

数，如min（2，﹣4）＝﹣4，则方程x•min（2，2x﹣1）＝x+1的解是x=1+√32或x=1−√32．【分析】分2＜2x﹣1和2x﹣1≤2两种情况，分别列出方程，解之可得．【解析】①若2＜2x﹣1，即x＞1.5时，x+1＝2x，解得x＝1（舍）；②若2

x﹣1≤2，即x≤1.5时，x（2x﹣1）＝x+1，解得x=1+√32或x=1−√32，故答案为：x=1+√32或x=1−√32．13．（2021•淮安模拟）关于x的一元二次方程𝑥2+√2𝑥+𝑘=0有两个相等的实数根

，则这两个相等的根是x1＝x2＝−√22．【分析】根据根的判别式，令△＝0，建立关于k的不等式，据此求出k的值，再将函数值代入解析式，求出x的值．【解析】∵关于x的一元二次方程𝑥2+√2𝑥+𝑘=0有两个相等的实数根，∴△＝0，即（√2）2﹣4k＝0，解得，k=12，原方程可化

为x2+√2x+12=0，解得x1＝x2=−√22，故答案为−√22．14．（2021•广陵区校级二模）已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜13．【分析】先把方程化为一般

式，再根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，然后解不等式即可．【解析】方程化为x2﹣2x+3m＝0，根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×3m＞0，解得m＜13．故答案为m＜13．15．（2021•盐田区模拟）若关于x的一元二次方

程x2﹣x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围为k≤54．【分析】根据判别式的意义得到△＝12﹣4（﹣k﹣1）≥0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝（﹣1）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤54．故答案为：k≤54．16．（2021•青浦区二模

）如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＞−94．【分析】利用判别式的意义得到△＝32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．【解析】根据题意得△＝32﹣4（﹣k）＞0，解得k＞−94．故答案为k＞−94．17．（2020•浙江自主招生）关于

x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，则整数a＝0或1或﹣1或2或3．【分析】分两种情况讨论：当a＝1时，x＝1；当a≠1时，△＝4a2≥0，x1+x2=21−𝑎，再由已知，可得1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，求出a的值即可．【

解析】当a＝1时，2x﹣2＝0，解得x＝1；当a≠1时，（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0，△＝4a2≥0，x1+x2=21−𝑎，x1•x2=𝑎+11−𝑎=−1−2𝑎−1，∵根都是整数，∴1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，∴a＝0或a＝2或a＝﹣1或a＝3，故答案为0或1或﹣1或2或3．

18．（2021•海城市模拟）关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤2．【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当k﹣1＝0时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即k＝1符合题意；

当k﹣1≠0时，由根的判别式△≥0，可求出k的取值范围．综上即可得出结论．【解析】当k﹣1＝0，即k＝1时，原方程为2x﹣2＝0，解得：x＝1，∴k＝1符合题意；当k﹣1≠0，即k≠1时，有△＝22﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得：k≤2且k≠1．综上所

述：k的取值范围是k≤2．故答案为：k≤2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•冠县期末）根据要求解下列一元二次方程：（1）x2+2x﹣3＝0（配方法）；（2）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）．【分析】（1）利用配方法解出

方程；（2）利用公式法解出方程．【解析】（1）x2+2x﹣3＝0，移项，得x2+2x＝3，配方，得x2+2x+1＝3+1，则（x+1）2＝4，x+1＝±2，x＝±2﹣1，x1＝1，x2＝﹣3；（2）（x+1）（x﹣2）＝4，整理得，x2﹣x﹣6＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，△＝b2﹣

4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎=−(−1)±52，x1＝3，x2＝﹣2．20．（2020春•文登区期中）解下列方程：（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．

【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）利用公式法求解即可．【解析】（1）3x2﹣5x+1＝0，方程整理得：x2−53x=−13，配方得：x2−53x+2536=−13+2536，即（x−56）2=1336，开方得：x−56=±√136，∴x1=5+√1

36，x2=5−√136；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，方程整理得：x2+2x﹣8＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，∴x=−2±√362，∴x1＝﹣4，x2＝2．21．（2020秋•临清市

期末）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程k2+mk+1＝0的根，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式

的意义得到k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）满足条件的k的值为3，然后把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，然后解关于m的方程即可．【解析】（

1）根据题意得k﹣2≠0且△＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2＞0，解得k＜4且k≠2；（2）符合条件的最大整数k＝3，把k＝3代入k2+mk+1＝0得9+3m+1＝0，解得m=−103．22．（2021•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．（1）求证：方程总有两个实

数根；（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．【分析】（1）先计算出判别式的值得到△＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先解方程得到x1＝﹣3，x2＝﹣k，则根据题意得到﹣k＞1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵△＝（k+3）2﹣4×

3k＝k2+6k+9﹣12k＝（k﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵（x+3）（x+k）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣k，∵该方程有一个根大于1，∴﹣k＞1，解得k＜﹣1，即k的范围为k＜﹣1．23．（2020春•玄武区期末）已知关于x的一元二

次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞

0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化为x2﹣（2

m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1

＝4，m2＝6．故m的值为4或6．24．（2020秋•宝应县期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值；（

2）根据k＞﹣1，且k是最小整数，那么可知k＝0，再把k＝0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可．【解析】（1）∵方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴△＝4﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＞0，解得k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k是最小整数，∴k＝0，把k＝0代入原方程，可得x

2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．