【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2016年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）.docx，共(17)页，944.729 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核

对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有

14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设xR，则不等式31x−的解集为_______.2．设32iiz+=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于______________________.3．已知平行直线012:

,012:21=++=−+yxlyxl，则12ll与的距离是_______________.[来4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）.5．若函数()4

sincosfxxax=+的最大值为5，则常数a=______.6．已知点(3,9)在函数xaxf+=1)(的图像上，则________)()(1=−xfxf的反函数.7．若,xy满足0,0,1,xyyx+则2xy−的最大值为_____

__.8．方程3sin1cos2xx=+在区间[0,2]上的解为___________.[来9．在nxx−23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.10．已

知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.[12．如图，已

知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OPBA×uuuruur的取值范围是.13．设a>0,b>0.若关于x,y的方程组11axyxby，ì+=ïïíï+=ïî无解，则ab+的取值范围是.1

4．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意*nÎN，{23}nSÎ，，则k的最大值为.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．

设aR，则“1a”是“12a”的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）

.(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C117．设aÎR，[0,2π]bÎ.若对任意实数x都有πsin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）.(A)1(B)2(C)3(D)418．设()fx、()gx、

()hx是定义域为R的三个函数．对于命题：①若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是增函数，则()fx、()gx、()hx均是增函数；②若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，则()fx、()gx、()hx均是以T为周期

的函数，下列判断正确的是（）.(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，

第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56，11AB长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20

．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边

与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另

一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的“经验值”.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)yxbb−=的左、右焦点分别为F

1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为2，1FAB△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列

{na}与{nb}，记A={x|x=na，*nN}，B={x|x=nb，*nN}，若同时满足条件：①{na}，{nb}均单调递增；②AB=且*AB=N，则称{na}与{nb}是无穷互补数列.（1）若na=21n−，nb=42n−，判

断{na}与{nb}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且{na}与{nb}是无穷互补数列，求数列{nb}的前16项的和；（3）若{na}与{nb}是无穷互补数列，{na}为等差数列且16a=36，求{na}与{nb}的通

项公式.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知aR，函数()fx=21log()ax+.（1）当1a=时，解不等式()fx>1；（2）若关于x的方程()fx+22l

og()x=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a>0，若对任意t1[,1]2，函数()fx在区间[,1]tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.考生注意：1.本试卷共4页，23道

试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的条形码贴在指

定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设xR，则不等式31x−的解集为_______.【答案

】(24)，【解析】试题分析：421311|3|−−−xxx，故不等式1|3|−x的解集为)4,2(.考点：绝对值不等式的基本解法.2．设32iiz+=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于______________________.【答案】−3【解

析】试题分析：32i23i,3.izz+==−−的虚部等于考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3．已知平行直线012:,012:21=++=−+yxlyxl，则12ll与的距离是_______________.【答案】255【解析】试题分析：利用两平行线间

的距离公式得122222|cc||11|25d5ab21−−−===++.考点：两平行线间距离公式.4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米

）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76.考点：中位数的概念.5．若函数()4sincosfxxax=+的最大值为5，

则常数a=______.【答案】3【解析】试题分析：)sin(16)(2++=xaxf，其中4tana=，故函数)(xf的最大值为216a+，由已知得，5162=+a，解得3=a.考点：三角函数sin()yAx=+的图象和性质.6．已知点(3,9)在函数xaxf+=1)(的图

像上，则________)()(1=−xfxf的反函数.【答案】2log(1)x−考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.7．若,xy满足0,0,1,xyyx+则2xy−的最大值为_______.【答案】2−【解析】试题分析：由不等式组画出可行域

如图中阴影部分所示，令yxz2−=，当直线zxy2121−=经过点)1,0(P时，z取得最大值2−.xOP考点：线性规划及其图解法.8．方程3sin1cos2xx=+在区间[0,2]上的解为___________.【答案】566，【解析】试题分析：化简3sinx1

cos2x=+得：23sinx22sinx=−，所以22sinx3sinx20+−=，解得1sinx2=或sinx2=−（舍去），又[0,2]x，所以566x=或.考点：二倍角公式及三角函数求值.9．在nxx−23的二项展开式中，所有项的二

项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n2256=，所以n8=，又二项展开式的通项为84rr8rrrr333r1882TC(x)()(2)Cxx−−+=−=−，令84r033−=，所以r

2=，所以3T112=，即常数项为112.考点：二项式定理.10．已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【答案】733【解析】试题分析：y利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为2223

5712352+−=−，所以此角的正弦值为32，由正弦定理得72R32=,所以73R3=.考点：正弦、余弦定理.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为__

____.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：古典概型12．如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OPBA×uuur

uur的取值范围是.【答案】[1,2]−【解析】试题分析：由题意，设(cos,sin)P,[0,π]，则(cos,sin)OP=，又(1,1)BA=,所以cossin2sin()[1,2]4OPBA

=+=+−.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13．设a>0,b>0.若关于x,y的方程组11axyxby，ì+=ïïíï+=ïî无解，则ab+的取值范围是.【答案】(2,)+【解析

】试题分析：方程组无解等价于直线1axy+=与直线1xby+=平行，所以1ab=且1ab.又a，b为正数，所以22abab+=（1ab），即ab+的取值范围是(2,)+.[考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.14．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的

前n项和.若对任意*nÎN，{23}nSÎ，，则k的最大值为.【答案】4考点：数列的项与和.三、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的

小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．设aR，则“1a”是“12a”的（）.（B）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111aaaaa−或，所以“

1a”是“12a”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）.(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有1

1BC与EF在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与EF都是异面直线，故选D．考点：异面直线17．设aÎR，[0,2π]bÎ.若对任意实数x都有πsin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）.(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】

试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333πππxxπx−=−+=+，5(,)(3,)3πab=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππxπxx−=−−=−+，4(,)(3,)3πab=−，注意到[0,2)b

π，只有这两组．故选B．考点：三角函数18．设()fx、()gx、()hx是定义域为R的三个函数．对于命题：①若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是增函数，则()fx、()gx、()hx均是增函数；②若()()fxgx+、

()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，则()fx、()gx、()hx均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）.(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题【答案】D【

解析】试题分析：考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.

将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56，11AB长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【答案】（1）V=，2S=；（2）π

2．【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h=，底面半径1r=．由此计算即得.（2）由11//得C或其补角为11与C所成的角，再结合题设条件计算即得．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l=，底面半径1r=．圆柱的体积2211Vrl===，圆柱

的侧面积22112Srl===．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则11//OBOB，所以COB或其补角为11OB与OC所成的角．由11AB长为3，可知1113AOBAOB==，由AC长为56，可知5π

6AOC=，2COBAOCAOB=−=，所以异面直线11OB与OC所成的角的大小为2．考点：1.几何体的体积；2.空间角.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到

F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图.（3）

求菜地内的分界线C的方程；（4）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMG

H的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的“经验值”.【答案】（1）24yx=（02y）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．【解析】所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为58123

6−=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312−=，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”．考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)

yxbb−=的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为2，1FAB△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.【答案】（1）2yx=；（2）15

5.【解析】试题分析：（1）设(),AAAxy，根据题设条件可以得到()24413bb+=，从而解得2b的值．（2）设()11,Axy，()22,Bxy，直线:l()2ykx=−与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l与双曲线交于两点，可得230k−，且()23610k=+

．由|AB|=4构建关于k的方程进行求解．试题解析：（1）设(),AAAxy．由题意，()2,0Fc，21cb=+，()22241ybcb=−=，因为1FAB△是等边三角形，所以23cy=，即()24413bb+=，解得22b

=．故双曲线的渐近线方程为2yx=．（2）由已知，()22,0F．设()11,Axy，()22,Bxy，直线:l()2ykx=−．由()22132yxykx−==−，得()222234430

kxkxk−−++=．因为l与双曲线交于两点，所以230k−，且()23610k=+．由212243kxxk+=−，2122433kxxk+=−，得()()()2212223613kxxk+−=−，故()()()2222121212261143kABxxyyk

xxk+=−+−=+−==−，解得235k=，故l的斜率为155．考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分6分.对于无穷数列{na}与{nb}，记A={x|x=na，*nN}，B={x|x=nb，*nN}，若同时满足条件：①{na}，{nb}均单调递增；②AB=且*AB=N，则称{na}与{nb}是无穷互补数列.（1）若na=21n−，nb=42n−，判断{na}与

{nb}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且{na}与{nb}是无穷互补数列，求数列{nb}的前16项的和；（3）若{na}与{nb}是无穷互补数列，{na}为等差数列且16a=36，求{na

}与{nb}的通项公式.【答案】（1）na与nb不是无穷互补数列，理由见解析；（2）180；（3）24nan=+，,525,5nnnbnn=−．【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3

）先求等差数列{na}的通项公式，再求{nb}的通项公式.试题解析：（1）因为4A，4B，所以4AB，从而na与nb不是无穷互补数列．（2）因为416a=，所以1616420b=+=．考点：等差数列、等比数列、新定义问题23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小

题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知aR，函数()fx=21log()ax+.（1）当1a=时，解不等式()fx>1；（2）若关于x的方程()fx+22log()x=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a>0，若对任意

t1[,1]2，函数()fx在区间[,1]tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【答案】（1）(0,1)x；（2）0或14−；（3）2,3+．【解析】试题分析：（1）由21log

11x+，得112x+，从而得解．（2）转化得到2221log()log()0axx++=，讨论当0a=、0a时的情况即可．（3）讨论()fx在()0,+上的单调性，再确定函数()fx在区间,1tt+上的最大值

与最小值之差，由此得到()2110atat++−，对任意1,12t成立．试题解析：（1）由21log11x+，得112x+，解得(0,1)x．（2）()2221loglog0axx++=有且仅有一解，函

数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值分别为()ft，()1ft+．()()22111loglog11ftftaatt−+=+−++即()2110atat++−，对任意1,12t

成立．因为0a，所以函数()211yatat=++−在区间1,12上单调递增，所以12t=时，y有最小值3142a−，由31042a−，得23a．故a的取值范围为2,3+．考点：1.对数函数的性质；2

.函数与方程；3.二次函数的性质.