【文档说明】专题22.3 相似三角形的判定-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）.docx，共(20)页，560.974 KB，由envi的店铺上传

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专题22.3相似三角形的判定-重难点题型【沪科版】【知识点1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果'AA=，'BB=，则△∽△ABCABC．判

定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果ABBCACABBCAC==，则△∽△ABCABC．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角

形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果ABACABAC=，'AA=，则△∽△ABCABC．【题型1相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形DBFE是

平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似．【解答过程】证明：∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．【变式1-1】（2021•越秀区校级二模）如图，在

△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．【解题思路】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠AP

C，再根据相似三角形的判定推出即可．【解答过程】证明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．【变式1-2】（2020秋•宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点

E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．【解题思路】利用“两角法”证得结论．【解答过程】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°．∴∠ACB+∠ACD＝90°．

又∵AC⊥DE，∴∠CDE+∠ACD＝90°．∴∠ACB＝∠CDE．∴△ABC∽△ECD．【变式1-3】（2020秋•淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：

△AEF∽△DCE．【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF和△DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°

，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE．【题型2相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′

＝25，B′C′＝40，C′A′＝20（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，A′B′＝12，B′C′＝16，C′A′＝20【解题思路】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，

即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵𝐴𝐵𝐶′𝐴′=1220=35，𝐵𝐶𝐴′𝐵′=1525=35，𝐴𝐶𝐵′𝐶′=2440=35，∴△ABC∽△A′B′C′（2）∵𝐴𝐵𝐴′𝐵′=312=14，𝐵𝐶𝐵′𝐶′=416=14，𝐴𝐶𝐴′𝐶′=

520=14∴△ABC∽△A′B′C′．【变式2-1】（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴′𝐷′𝐴′𝐵′．当𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐵𝐴′

𝐵′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．【解答过程】解：相似，理由如下：∵𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴′𝐷′𝐴′𝐵′．∴𝐴𝐷𝐴′𝐷′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′，又∵

𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′，∴𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐷𝐴′𝐷′，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，又∵𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′，∴△ABC∽△A′B′C′．【变式2-

2】（2020秋•肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由．【解题思路】设小正方形的边长为1，分别求得两个三角形各边的长，再根据各边

是否对应成比例来判定两三角形是否相似．【解答过程】解：结论：相似．理由：设正方形的边长为1，则AC=√2，CD＝1，AD=√5，EC＝2，EA=√10，∵𝐴𝐶𝐸𝐶=𝐶𝐷𝐶𝐴=𝐴𝐷𝐸𝐴=√22∴△ACD∽△ECA．【变式2-

3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）直接写出一个与△A

BC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；（3）先根据勾股定

理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可．【解答过程】（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，AC2＝22+12＝5，BC2＝32+42＝25，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形；（2）解：相似，理由是：由勾股定理得：DF=√22+22

=2√2，DE=√42+42=4√2，EF=√22+62=2√10，由（1）知：AB＝2√5，AC=√5，BC＝5，所以𝐷𝐹𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐴𝐵=𝐸𝐹𝐵𝐶=2√105，所以△△ABC和△DEF相似；（3）解：和△ABC相似的三角

形是△P2P4P5，理由是：∵由勾股定理得：P5P2=√12+32=√10，P2P4=√12+12=√2，P4P5＝2√2，又∵AB＝2√5，AC=√5，BC＝5，∴𝐴𝐶𝑃2𝑃4=𝐴𝐵𝑃5𝑃4=𝐵𝐶𝑃5𝑃2，∴△ABC∽△P4P5P

2．【题型3相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（2020秋•浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB．【解题思路】根据相似三角形的判定得出△ABE与△ACD相似，利用相似三角形的性质得出

∠B＝∠C，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．【解答过程】证明：∵AD•AB＝AE•AC，∴𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐵，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽∠ACD，∴∠B＝∠C，∵DF∥AC，∴∠C＝∠ODF，∴∠B＝∠ODF，∵∠DOF＝∠BOD，∴△DOF∽△DO

B【变式3-1】（2021春•肇州县期末）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可．【解

答过程】证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．∴AE＝5，AD＝6，∴𝐴𝐶𝐴𝐷=36=12，𝐴𝐵𝐴𝐸=2.55=12，∴𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐸，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．【变式3-2】（202

1春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．【解题思路】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【解答过程】证明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC2＝CD•BC，∴𝐴𝐶𝐶𝐷=𝐵𝐶�

�𝐶，∴△ABC∽△DAC．【变式3-3】（2020秋•蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．【解题思路】

根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．【解答过程】证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴𝐸𝐹𝐵𝐹=𝐶𝐹𝐷𝐹，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△D

AE．【题型4相似三角形的判定（多结论问题）】【例4】（（2021•阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠

FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即

可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE

和△ECH不相似，即可判断④．【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，则HC＜EC，∴CD﹣CH

＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵{𝐴

𝐺=𝐶𝐸∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐶𝐸𝐹𝐴𝐸=𝐸𝐹∴△GAE≌△CEF（SAS），∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°

，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；故选：C．【变式4-1】（2020春•淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其

中能得到△ABP与△ECP相似的是（）A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③【解题思路】根据正方形的性质求出∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，再逐个判断即可．【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠APB＝∠

EPC，∴△ABP和△ECP相似，故①正确；∵AB•PC＝EC•BP，∴𝐴𝐵𝐸𝐶=𝐵𝑃𝐶𝑃，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△ECP，故②正确，∵P为BC的中点，E为DC的中点，∴BP＝CP=12BC，CE=12CD，∵四边形ABCD是

正方形，∴AB＝BC＝CD，∴BP＝CP＝CE，∴𝐴𝐵𝐵𝑃=21=2，𝑃𝐶𝐶𝐸=1，即𝐴𝐵𝐵𝑃≠𝑃𝐶𝐶𝐸，即△ABP和△ECP不相似，故③错误；设PB＝2x，BC＝3x，

则PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CE=12BC=32x，∴𝐴𝐵𝐵𝑃=3𝑥2𝑥=32，𝑃𝐶𝐶𝐸=𝑥32𝑥=23，即𝐴𝐵𝐵𝑃=𝐶𝐸𝑃𝐶，∴𝐴𝐵𝐶𝐸=𝐵𝑃𝑃𝐶，∵∠B＝∠C＝90°，即△ABP和△ECP相似，故④

正确；所以正确的为①②④，故选：C．【变式4-2】（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（）①BC＝4；②𝐴𝐸𝐸𝐶=12；③𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=14；④△ADE∽△ABC．A．①②③④B

．①②③C．①②④D．②④【解题思路】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【解答过程】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶=13

，𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=（𝐷𝐸𝐵𝐶）2=19，∴𝐴𝐸𝐸𝐶=12，∵DE＝2，∴BC＝6，∴②④正确，故选：D．【变式4-3】（2020秋•天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件

中能判断△ABC∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐵；④𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【解题思路】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答过程】解：∵∠A＝

∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵𝐴𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐵，∴𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．【题型5相似三角形的判定

（网格问题）】【例5】（2021春•芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解题思路】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析

即可得出答案．【解答过程】解：已知给出的三角形的各边分别为√2、2、√10、只有选项A的各边为1、√2、√5与它的各边对应成比例．故选：A．【变式5-1】（2021•龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3

对D．4对【解题思路】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答过程】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：√5，第二个三角形的三边的三边之比为：√2：√5：√5，第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：√5，第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：

√2，只有第一和第三个三角形的三边成比例，所以只有第一和第三个三角形相似，故选：A．【变式5-2】（2020秋•鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（）A．H或NB．G或HC

．M或ND．G或M【解题思路】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答过程】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、√13、√10，只能F是M或N时，其各边是6、2√13，2√

10．与△ABC各边对应成比例，故选：C．【变式5-3】（2020秋•成华区期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知Rt△ABC是网格中的格点三角形，则该网格中与Rt△ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是10，符合条件的格点三角形共有16

个．【解题思路】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，进而解答即可．【解答过程】解：在Rt△ABC

中，AC＝1，BC＝2，∴AB=√5，AC：BC＝1：2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6√2，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故

最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=√10，EF＝2√10，DF＝5√2的三角形，∵√101=2√102=5√2√5=√10，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积为：√10×2√10÷2＝1

0，△DEF为面积最大的三角形，Rt△ABC的三边为1：2：√5的直角三角形，∵相似，直角边为1：2，∴直角边最长应为√10与2√10，如图中4个，每旋转90°又有4个，∴共4×4＝16（个）．故答案为：10；16．【题型6相似三角形的判定（动点问题）】【例

6】（2021春•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即

停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的25？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？【解题思路】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的25，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求

出t即可．【解答过程】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的25．12×2x（8﹣x）=12×8×10×25．解得x1＝x2＝4．答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的25；（2）设经过t秒，△MCN与△AB

C相似．∵∠C＝∠C，∴可分为两种情况：①𝑀𝐶𝐵𝐶=𝑁𝐶𝐴𝐶，即2𝑡8=8−𝑡10，解得t=167；②𝑀𝐶𝐴𝐶=𝑁𝐶𝐵𝐶，即2𝑡10=8−𝑡8．解得t=4013．

答：经过167或4013秒，△MCN与△ABC相似．【变式6-1】（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动32或187s时

，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．【解题思路】分两种情形①当𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶时，②当𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵时，分别构建方程求解即可．【解答过程】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，∴A

D＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当𝐴𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶时，即2𝑡6=6−𝑡9，解得：t=32；②当𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵时，即2𝑡9=6−𝑡6，解得：t=187；综上所述：当t=32或187时，△ADE与△ABC相似．【变式6-2】（2020秋•渭滨区期

末）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时

间为ts，解答下列问题：（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）由已知条件易证四边形ABC

D是矩形，所以∠A＝∠B＝∠C＝90°，若△BEF为等腰直角三角形，则BE＝BF，进而可求出t的值；（2）若△EFB∽△FDC，则BE：CF＝BF：DC，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值．【解答过程】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，∴四

边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°．当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE＝BF，AE＝t，则BE＝AB﹣AE＝6﹣t，BF＝2t，∴2t＝6﹣t．解得：t＝2．∴当t＝2时，△BEF为等腰直角三角形．（

2）存在，理由如下：∵△EFB∽△FDC，∴BF：DC＝BE：CF．∵BE＝6﹣t，BF＝2t，CF＝12﹣2t，∴6−𝑡12−2𝑡=2𝑡6．解得：t=32或t＝6．又∵t＝6时，B与E重合，所以不符合题意，舍去，综上所述

，当t=32时，△EFB∽△FDC．【变式6-3】（2020秋•舒城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度

移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【解题思路】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）

cm，CQ＝2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【解答过程】解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，则12（6﹣x）•2x＝

8，整理得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．当△PCQ∽△ACB时，𝑃𝐶𝐴𝐶=𝑄𝐶𝐵𝐶，即6−𝑡6=2𝑡8，

解得：t=125．当△PCQ∽△BCA时，𝑃𝐶𝐵𝐶=𝑄𝐶𝐴𝐶，即6−𝑡8=2𝑡6，解得：t=1811．综上所述，经过125秒或1811秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．