【文档说明】4.2 指数函数（解析版）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）.docx，共(24)页，1.588 MB，由envi的店铺上传

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4.2指数函数思维导图新课标要求1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。知识梳理一、指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且

a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.二、两类指数模型1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．三、指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：a>10<a<1图象定

义域R值域(0，＋∞)性质[来源:Z,xx,k.Com]过定点[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:Z,xx,k.Com][来源:学§科§网Z§X§X§K]过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1[来源:学。科。网]函数值的变化当x>0时，y>1；当x>0时，0<

y<1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数名师导学知识点1指数函数的概念判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．【例1-1】（2022·湖南·高一课

时练习）若函数()21xymmm=−−是指数函数，则m等于（）A．1−或2B．1−C．2D．12【答案】C【分析】根据题意可得出关于实数m的等式与不等式，即可解得实数m的值.【详解】由题意可得21101mmmm−−=，解得

2m=.故选：C.【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）函数()244xyaaa=−+是指数函数，则有（）A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1【答案】C【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确选项.【详解】由已知得24

4101aaaa−+=，即243001aaaa−+=，解得3a=．故选：C【变式训练1-2】（2022·全国·高一课时练习）若函数()132xfxaa=−（0a，且1a）是

指数函数，则=a________．【答案】8【分析】根据指函数的定义求解即可.【详解】解：因为函数()132xfxaa=−是指数函数，所以1312a−=，所以8a=．故答案为：8.【变式训练1-3】（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序

号)．①()22xy=；②12xy−=；③2xy=；④xyx=；⑤13xy−=；⑥13yx=．【答案】③【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可【详解】①()22xy=的系数不是1，不是指数函数；②12xy−=的指数不是自变量x，不是指数函数；③2xy=

是指数函数；④xyx=的底数是x不是常数，不是指数函数；⑤13xy−=的指数不是自变量x，不是指数函数；⑥13yx=是幂函数．故答案为：③知识点2指数函数的定义域与值域函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(

x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通过建立

不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．【例2-1】（2022·全国·高一课时练习）函数327xy=−的定义域为（）A．

(,3−B．(),3−C．)3,+D．()3,+【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.【详解】由题意得3270x−，即333x，解得3x．故选：C.【例2-2】（2022·全国·高一专题练习）函数1423xxy+=++的值域为

____.【答案】()3,+【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.【详解】解：令2(0)xtt=，函数()1423xxyxR+=++化为()()222312(0)fttttt=++=++，()3ft，即函数1423xxy+=++的值域

为()3,+．故答案为：()3,+【变式训练2-1】（2022·全国·高一课时练习）函数()422xxfx=−−的定义域为______________．【答案】[1,)+【分析】换元20xt=，得出220tt−

−，求出t的范围，由此可得出x的取值范围，即可得出函数()yfx=的定义域.【详解】换元20xt=，得出220tt−−，解得1t−（舍去）或2t，即22x，解得1x.因此，函数()yfx=的定义域为)1,+

，故答案为)1,+.【变式训练2-2】（2022·全国·高一课时练习）函数()21222xxfx+=−+的定义域为M，值域为1,2N=，则M=______．【答案】(,1−（答案不唯一）【分析】根据值域列出关系式21122

22xx+−+，求解指数不等式即可求得答案.【详解】因为函数的值域为1,2N=，所以2112222xx+−+，所以21212202210xxxx++−−+，即22(22)0(21)0xxx

−−，故022x≤，所以1x，则函数的定义域为(,1M=−．实际上，只要0,1x即可满足条件，即M可以为[]0,1并上任意一个(),0−的子集均可.故答案为：(,1−（答案不唯一）【变式训练2-3】（2022·全国·高一专题练习）函数2(0xyaa=−且1,11)a

x−的值域是5,13−，则实数=a____.【答案】3或13【分析】根据指数的单调性，分1a和01a两种情况，结合单调性列式求解即可【详解】当1a时，函数2(0xyaa=−且111)ax−，是增函数，值域是122aa−−−，，152332

1aaa−=−=−=；当01a时，函数2(0xyaa=−且111)ax−，是减函数，值域是122aa−−−，，12115323aaa−==−=−.综上所述，可得实数3a=或13.故答案为：3或13

知识点3指数函数的图象及应用（重点）处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)

巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．【例3-1】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数()112xfx=−的图象大致为（）A．B．

C．D．【答案】C【分析】根据函数解析式，分析函数在0x时的单调性及值域即可得解.【详解】由()112xfx=−可知，当0x时，1()12xfx=−单调递减，且()(0)0fxf?，故

选：C【例3-2】（2022·全国·高一）已知函数()()201xfxaa=−，则函数的图像经过（）．A．第一、二、四象限B．第二、三、四象限C．第二、四象限D．第一、二象限【答案】B【详解】因为01a，所

以函数()xfxa=的图象经过一、二象限，又()2xfxa=−的图象是由()xfxa=的图象沿y轴向下平移2个单位得到，所以函数()2xfxa=−的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B【例3-3】（

2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数()42xfxa−=+（0a且1a）恒过一定点________.【答案】()4,3【分析】令40x−=，求出x的值后，再代入函数解析式，即可得解.【详解】令4

0x−=可得4x=，则()0423fa=+=，因此，函数()fx的图象恒过定点()4,3.故答案为：()4,3.【变式训练3-1】（2022·全国·高一专题练习）函数12xy−=的图象大致是（）A．B．C．D

．【答案】A【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.【详解】解：函数1112,122,1xxxxyx−−−==，当1x时，12xy−=是增函数，当1x时，12xy−=的减函数，且1x=时

，1y=，即图象过()1,1点；符合条件的图象是A．故选：A．【变式训练3-2】（2022·全国·高一课时练习）函数xya=与ayx=的图象如图所示，则实数a的值可能是（）A．2B．3C．12D．13【答案】D【分析】

利用排除法，结合指数函数和幂函数的图象特征分析判断即可.【详解】显然0a．由0xya=，知①是函数xya=的图象，②是函数ayx=的图象．由函数xya=的图象可知01a，排除A，B．由②知，函数ayx

=在0x时有意义，排除C，故选：D．【变式训练3-3】（2022·全国·高一课时练习）函数xyab=+（0a，且1a）的图像经过第二､三､四象限，则（）A．01a，1b−B．01a，0bC．1a，1b−D．1a，0b【答案】

A【分析】根据指数函数的图象以及平移法则即可判断．【详解】若1a，则函数xyab=+的图象必经过第一象限，而函数xyab=+（0a，且1a）的图像经过第二､三､四象限，所以01a，此时函数xya=必过第一、二象限，且经过定点()0,1，若0b，

图象往上平移，则必过第一、二象限，若0b，图象往下平移且经过第二､三､四象限，所以1b−．故选：A．【变式训练3-4】（2022·全国·高一课时练习）若0a且1a，则函数()43xfxa−=+的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】()4,

4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令40x−=，得4x=，所以()0434fa=+=，所以函数()43xfxa−=+的图像恒过定点()4,4．故答案为：()4,4知识点4指数函数的性质及其应用（重难点）1.比较幂

值大小的3种类型及处理方法2.(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就

需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．3.(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))

的单调性．(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．【例4-1】（2022·云南丽江·高一期末）若221333111,,252abc===

，则a､b､c的大小关系是（）A．bacB．bcaC．cabD．cba【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小【详解】因为23yx=在(0,)+上单调递增，且1125，所以22331125，即a

b，因为12xy=在R上单调递减，且2133，所以21331122，即ca，所以cab，即bac故选：A【例4-2】（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数()()222xfxmmm=−−是指数函数.(1)求实数m的值；(2

)解不等式()()2221mmxx+−【解】(1)由题可知222101mmmm−−=解得3m=(2)由（1）得()()332221xx+−∵32yx=在)0,+上单调递增，∴201021xxxx+−+−，解得1

22x−−„，故原不等式的解集为12,2−−【例4-3】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数1()323xxfx=−+，若2()(2)4fafa+−，则实数a的取值范围是（）A．(,1)−B．(),2(1,)−−+C．(

)2,1−D．(1,2)−【答案】B【详解】令1()()233xxgxfx=−=−，（Rx），则()11()()23333xxxxgxfxgx−−−=−−=−=−=−

，所以()gx是奇函数；又13,3xxyy==−都是R上增函数，所以()gx在R上单调递增.所以2()(2)4fafa+−可化为()()220gaga+−，进而有()()22gaga−，所以220aa+−，解得

2a−或1a.故选：B.【变式训练4-1】（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知130440.6,,5abca−===，则,,abc的大小关系为（）A．bacB．acbC．cbaD．abc【答案】B【详

解】解：根据题意，01ca==，134450.61,154ab−===，所以acb．故选：B．【变式训练4-2】（2022·江苏盐城·高一期末）已知函数()eexxfx−=−，则0.60.60.4(0.4)

,(0.6),(0.4)afbfcf===的大小关系为（）A．bacB．abcC．cabD．acb【答案】D【详解】由0.630.20.20.6(0.6)0.216==，0.420.20.20.4(0.4)0.16==，即0.20.20.160.216

，所以0.40.60.40.6，又0.60.40.40.4，所以0.60.40.60.40.40.6，而()eexxfx−=−递增，故0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)afcfbf===故选：D【变式训练4-3】（2022·全国·高一

课时练习）若函数()xfxa=（0a且1a）在区间22−,上的最大值和最小值的和为103，则a的值为（）A．13B．33C．3D．33或3【答案】D【分析】分01a与1a两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值.【详解】当0

1a时，函数()xfxa=在22−,上为减函数，则()()()()22maxmin110223fxfxffaa+=−+=+=，解得：33a=，当1a时，函数()xfxa=在22−,上为增函数，则()()()()

22maxmin110223fxfxffaa+=+−=+=，解得：3a=．综上，33a=或3．故选：D【变式训练4-4】（多选）（2022·全国·高一课时练习）若4455xyxy−−−−，则下列关系正确的是（）A．xyB．33

yx−−C．xyD．133yx−【答案】AD【详解】由4455xyxy−−−−，得4545xxyy−−−−，令()45xxfx−=−，则()()fxfy．因为()4xgx=，()5xhx−=−在R上都

是增函数，所以()fx在R上是增函数，所以xy，故A正确；因为()3Gxx−=在()0,+和(),0−上都单调递减，所以当0xy时，33xy−−，故B错误；当0x，0y时，x，y无意义，故C错误；因为13xy=在R上是减函数，且xy，所以113

3yx，即133yx−，故D正确．故选：AD．【变式训练4-5】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数(0xyaa=且1)a在1,2上最大值和最小值的和为12，令()3xxa

fxa=+．(1)求实数a的值.(2)并探究()()1fxfx+−是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(3)解不等式：()()2121fxfx−+．【解】（1）因为函数(0xyaa=且1)a在1,2上为单调函数，所以

212aa+=，解得3a=或4a=−．因为0a且1a，所以3a=；（2）由（1）得，()333xxfx=+，所以()()1133331333333333xxxxxxxfxfx−−+−=+=+++++3313333xxx=+=++；（

3）由（2）得，()()11fxfx−=−，且()0fx，所以()()()2211fxfxfx−−=，所以()12fx，所以31233xx+，整理得，33x，解得12x，所以原不等式的解集为1,2−．名师导练A组-[应知应

会]1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（）A．4yx=B．3?2xy=C．πxy=D．()4xy=−【答案】C【分析】根据指数函数的特征即可求解.【详解】对于A,4yx=是幂函数，对于B，32xy=系数不为1，不是指数函数，对于C,πxy=是底数

为的指数函数，对于D,()4xy=−底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C2．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数()112xfx=−的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【分析

】根据函数解析式，分析函数在0x时的单调性及值域即可得解.【详解】由()112xfx=−可知，当0x时，1()12xfx=−单调递减，且()(0)0fxf?，故选：C3．（2022

·全国·高一单元测试）函数221()2xxy−+=的值域为（）A．1[,)2+B．1(,]2−C．(,2]−D．(0,2]【答案】A【分析】求出函数22xx−+的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.【详解】函数221()2xxy−+=定义域为R，2

22(1)11xxx−+=−−+，又函数1()2x在R上单调递减，则221(221)xx−+，所以函数221()2xxy−+=的值域为1[,)2+.故选：A4．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）设()13xfx=，xR，则()f

x是（）A．奇函数且在(,0)−上单调递减B．偶函数且在(,0)−上单调递减C．奇函数且在(0,)+上单调递减D．偶函数且在(0,)+上单调递减【答案】D【分析】由()()fxfx−=，可知()fx是偶函数，当0x时，()13xfx=，则()fx在(0,)+上单调递减，

由此即可选出答案.【详解】依题意，得xR，且()()1133xxffxx−−===，所以()fx是偶函数．当0x时，()1133xxfx==，则()fx单调递减；当0x时，()11333xxxfx−===

，则()fx单调递增．故选：D.5．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（）A．0.73.12.30.8B．2.52.90.70.7−−C．0.30.61.91.9D．0.90.32.72.7【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可

比较B,C,D,由中间值法可求解A.【详解】对于A,由于0.702.32.31=，3.10.8100.8=，故0.73.12.30.8,故正确，对于B,由于0.7xy=为单调递减函数，所以2.52.90.70.7−−，故错误，对于C，由于1.9xy=为单调递增函数，所以0.30.

61.91.9，故错误，对于D，由于2.7xy=为单调递增函数，所以0.90.32.72.7，故错误,故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L（噪音级）为3

0~40dB，声强I（单位：2W/m）与声强级L（单位：dB）的函数关系式为10aLIb=（a，b为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为5.2210W/m−，声强级为68dB，驶进市区附近降低速度

后的声强为6.5210W/m−，声强级为55dB，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（）A．9210W/m−B．8210W/m−C．7210W/m−D．6210W/m−【答案】B【分析】利用题意得到5.2686.55510101010aabb

−−==，解出,ab的值，代回10aLIb=得到0.11210LI−=，通过单调性可以得到最大值【详解】由题意可知5.2686.55510101010aabb−−==，解得0.1a=，1210b−=，所以120.10.112101010L

LI−−==，易得当L越大时，I越大，所以当40L=时，达到安静环境要求下的I取得最大值()0.1401282max1010W/mI−−==．故选：B．7．（2022·全国·高一课时练习）若实数x，y满足202220232

0222023xyyx−−++，则（）A．1xyB．1xyC．0xy−D．0xy−【答案】C【分析】由指数函数的性质可知()20222023xxfx−=−是R上的增函数；根据题意可知20222023202

22023xxyy−−−−，即()()fxfy，再根据函数的单调性，可得xy，由此即可得到结果．【详解】令()20222023xxfx−=−，由于2022xy=，2023xy−=−均为R上的增函数，所以()20222023xxfx−=−是R上的增函数．因为2022202320222023

xyyx−−++，所以2022202320222023xxyy−−−−，即()()fxfy，所以xy，所以0xy−．故选：C．8．（2019·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()fx为R上的奇函数，当0x时，()133xfx=−，则()0fx的解集为（）A．))

1,01,−+B．1,1−C．)1,01,−+D．)(1,00,1−【答案】C【分析】先根据已知奇函数的性质可求0x时函数的解析式，然后结合指数函数的单调性即可求解．【详解】因为函数(

)fx为R上的奇函数，所以()00f=，又当0x时，()133xfx=−，当0x时，0x−，则()()133xfxfx−−=−=−，所以0x时，()1133xfx=−，则由()0fx可得，011033xx−或01303xx−

或0x=，解得1x或10x−或0x=，综上可得，不等式()0fx的解集为)1,01,−+．故选：C．9．（多选）（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2xxfx−+−=在下列哪些区间内单

调递减（）A．(3),−B．(3,5)C．(1,3)D．(2,3)【答案】ACD【分析】利用复合函数的单调性可知函数()fx在(3),−上单调递减，由此可得到正确选项.【详解】由题意，函数1()2xy

=在R上单调递减，又由函数265yxx=−+−在(3),−上单调递增，在(3,)+上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数()fx在(3),−上单调递减，结合选项，可得选项ACD符合题意.故选：ACD.10．（多选）（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）对于函数()fx的定义域中任意

的()1212,xxxx，有如下结论：当()exfx=时，下述结论正确的是（）A．()()()1122fxfxxfx−=B．()()()1212fxxfxfx=+C．()()()()12120xxfxfx−−D．()()121222fxfxxxf++

【答案】AC【分析】利用指数幂的运算和指数函数的性质判断.【详解】解：对于A，()1212e−−=xxfxx，()()122112eee−==xxxxfxfx，()()()1122fxfxxfx−=，正确；对于B，()1212

e=xxfxx，()()1212ee+=+xxfxfx，()()()1212fxxfxfx+错误；对于C，∵()exfx=在定义域中单调递增，()()()()12120xxfxfx−−，正确；对于D，()()()1221212121

21eeee222++==+=++xxxxxxfxfxxxf，又12xx，则()()121222fxfxxxf++，错误；故选：AC．11．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数()

()1xfxa=−为指数函数，则a的取值范围是________【答案】12a或2a，【分析】根据指数函数的定义即可求解.【详解】()()1xfxa=−为指数函数，则011a−或11a−，解得：12a或2a，故答案为：12a或

2a，12．（2022·全国·高一专题练习）函数1423xxy+=++的值域为____.【答案】()3,+【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.【详解】解：令2(0)xtt=，函

数()1423xxyxR+=++化为()()222312(0)fttttt=++=++，()3ft，即函数1423xxy+=++的值域为()3,+．故答案为：()3,+13．（2021·福建·石狮市第八中学高一期中）函数41(0xyaa−=+且1

)a的图象恒过定点P，则点P坐标为__________．【答案】()4,2【分析】根据指数函数的性质，令40x−=，解得x，代入求解即可.【详解】令40x−=，即4x=，则012ya=+=，所以定点

P为()4,2，故答案为：()4,214．（2022·全国·高一专题练习）已知311434333(),(),,552abc−−−===则a，b，c的大小关系是________.【答案】cba或abc【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解

】因为35xy=是R上的减函数，且11034−−，所以11034333555−−，所以1ab，因为32xy=是R上的增函数，且304−，所以30433122−=

，所以1c，所以cba故答案为：cba或abc15．（2021·广东·中山中学高一期末）已知函数f(x)＝31xxa+(a＞0，a≠1)是偶函数，则a＝_________，则f(x)的最大值为__

______.【答案】312【分析】根据偶函数f(－x)＝f(x)即可求a的值；分离常数，根据单调性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.【详解】()fx是偶函数，()()fxfx−=，则3131131313xxx

xxxxxxaaaa−−−−===++++，则3xxxaa−=，即23xxa=，则23a=，则3a=，则(3)111()13121(3)2(3)(3)(3)xxxxxxfx===++„，当且仅当1(3)(3)xx=，即31x=，则0x=时取等号，即()fx的最大值

为12，故答案为：3，12．16．（2019·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()11212xfx=+−．(1)求()fx的定义域；(2)判断函数()fx的奇偶性；(3)证明：当0x时，()0f

x．【解】（1）由()11212xfx=+−，则210x−，解得0x=，所以函数()fx的定义域为0xx；（2）定义域关于原点对称，由()()1121212221xxxfx+=+=−−，得()()()()2112221212xxxxfxf

x−−++−===−−−，所以()fx为奇函数；（3）当0x时，210x−，则1021x−，所以()110212xfx=+−.17．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421xxfxk=++，()421xxgx=++．(1)若对于任意的Rx，()0fx恒成

立，求实数k的取值范围；(2)若()()()fxhxgx=，且()hx的最小值为2−，求实数k的值．【解】（1）由()0fx，得4210xxk++恒成立，所以22xxk−−−对于任意的Rx，恒成立，因为()

22222222xxxxxx−−−−−=−+−=−，当且仅当22xx−=，即=0x时取等号，所以2k−，即实数k的取值范围为(2,)−+（2）()421221()111()421421212xxxxxxxxx

xfxkkkhxgx++−−===+=+++++++，令1121221322xxxxt=+++=，当且仅当122xx=，即=0x时取等号，则11(3)kytt−=+，当1k>时，11(3)kytt−=+为减函数

，则21,3ky+无最小值，舍去，当=1k时，=1y最小值不是2−，舍去，当1k时，11(3)kytt−=+为增函数，则2,13ky+，最小值为223k+=−，解得=8k−，综上，=8k−B组-[素养提升]1．（2022·全国·高一

课时练习）设函数()2,0,1,0,xxfxx=则满足()()2fafa的实数a的取值范围是（）A．(),0−B．()0,+C．()0,1D．()1,+【答案】B【分析】分类讨论：①当0a时和②当0a时，由单调性解不等式即可.【详解】

①当0a时，20a，此时()()21fafa==，不合题意；②当0a时，20a，()()2fafa可化为222aa，所以2aa，解得0a．综上，实数a的取值范围是()0,+．故选：B．2．（2021·上海市建平中学

高一阶段练习）对于函数()3(22)xxfxx−=−和实数m、n．下列结论正确的是（）A．若()()fmfn，则22mnB．若()()fmfn，则33mnC．若mn，则()()fmfnD．若0mn，则11()()ffmn【答案】A

【分析】先分析函数()fx的奇偶性和单调性，再逐项判断即可.【详解】解：函数()3(22)xxfxx−=−，xR所以()()()33(22)(22)xxxxfxxxfx−−=−−−==−故函数()fx为偶函数又因为22xxy−

=−为增函数，且0x时，220xxy−=−当0x，3yx=为增函数，且30yx=所以()3(22)xxfxx−=−在)0,x+上为增函数又()fx为偶函数，故()fx在(),0x−上为减函

数若()()fmfn，则mn对A，由分析知，()()fmfn，则mn，所以22mn，故A正确；对B，若()()fmfn，则mn，当1m=，3n=−时，()3313−，故B错误；对C，若mn，令3

m=−，1n=，则由分析知，()()fmfn，故C错误；对D，若0mn，则110mn，所以11()()ffmn，故D错误.故选：A.【点睛】关键点睛：当函数()fx是偶函数，且在()0,+单调递增时，若()()12fxfx，则12xx；当函数()

fx是偶函数，且在()0,+单调递减时，若()()12fxfx，则12xx.3．（2022·辽宁锦州·高一期末）已知函数()112ee1xxfx++=+的图像与过点()1,1−的直线有3个不同的交点()11,xy，()22,xy，()33,xy，则()()2212

3123xxxyyy+++++=（）A．8B．10C．13D．18【答案】D【分析】分析函数()fx的对称性，再借助对称性的性质计算作答.【详解】函数()112ee1xxfx++=+定义域为R，且()002e11e1f−==+，即点()1,1−在函数图象上，Rx，2e2e22e2e1e

(1)(11e)e11xxxxxxxfxfx−−−−+−+=+=+=++++，因此，函数()fx的图象关于点()1,1−对称，依题意，不妨令221,1xy=−=，则点()11,xy与()33,xy关于点()1,1−

对称，即132xx+=−且132yy+=，所以()()2222123123(3)318xxxyyy+++++=−+=.故选：D【点睛】结论点睛：函数()yfx=的定义域为D，xD，存在常数a，b使得()()2faxfaxb−++=或者()()22faxf

xb−+=，则函数()yfx=图象关于点(),ab对称.4．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,xxagxxxxa−−在(),−+上单调递增的a值_____________.【答案】1（答案不

唯一）【分析】分段讨论函数的单调性，画出+1=21xy−，2=+2yxx−的图象，结合函数图象即可得到参数a的取值范围，即可得解.【详解】解：因为()+1221,>=+2,xxagxxxxa−−，

当>xa时()+1=21xgx−在定义域上单调递增，当xa时()()22=+2=1+1gxxxx−−−，画出+1=21xy−，2=+2yxx−的图象如下所示：要使函数()gx在(),+−上单调递增，由图可知当1a时均可满足函

数()gx在(),+−上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）5．（2022·全国·高一课时练习）函数()()21xxafxaaa=+，若()01fx=，则0x=______，122021202220222022fff+++=

______．【答案】12##0.52021【分析】由题设可得0021xxaaa=+即可求0x，根据已知解析式求(1)fx−的解析式，进而可得()(1)2fxfx+−=，即可求目标式的值.【详解】由题设，0002()1xxafxaa==+，又1a，则0xaa=，可得

012x=，而11222(1)xxxxaaafxaaaaaaa−−−===+++，所以22()(1)2xxxaafxfxaaaa+−=+=++，故1220211202110111010[]202220222022202220222022ffffff

+++=++=12020()20212f+=.故答案为：12，2021.6．（2022·全国·高一单元测试）若函数()yTx=对定义域内的每一个值1x，在其定义域内都存

在唯一的2x，使()()121TxTx=成立，则称该函数为“YL函数”．(1)判断定义在区间2,3上的函数()1fxx=+是否为“YL函数”，并说明理由；(2)若函数()13xgx−=在定义域(),0mnm上是“YL函数”，求2

mn+的取值范围．【解】（1）不是，理由如下：因为()1fxx=+，2,3x，所以()3,4fx，对任意1x，22,3x，()()129,16fxfx，所以定义在2,3上的()1fxx=+不是“YL函数”．（2）()13xgx−=

在定义域(),0mnm上是“YL函数”，由于()gx在定义域上单调递增，则()113,3mngx−−．对任意1,xmn，()1113,3mngx−−，都存在2,xmn，

使()()121gxgx=，则()()2111111,33nmgxgx−−=，所以1111133133mnnm−−−−，即1111331331mnmn−−−−，则11331mn−−=，即()()1gmgn=，所以20mn+−=，即2nm=−．因

为0nm，所以2220nmmmm−=−−=−，所以01m，所以2221772,2244mnmmm+=−+=−+，即2mn+的取值范围为7,24．