【文档说明】【精准解析】江苏省连云港市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(20)页，1.653 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-71e9c66927bd3a9a453714fc63613dfd.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-2019～2020学年第二学期高一期末调研考试数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.22cossin88−=（）A.24B.24−C.22D.22−【答案】C【解析】【分

析】由二倍角余弦公式22cossincos2−=，即可得结果.【详解】由二倍角余弦公式可得，222cossincos(2)cos88842−===.故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力，属于容易题目.2.不等式

28x的解集是（）A.(22,22)−B.(,22)(22,)−−+C.(42,42)−D.(,42)(42,)−−+【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】由28x得280x−，即()()22220

xx−+，解得22x−或22x，所以不等式的解集为(,22)(22,)−−+.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.-2-3.若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率

是（）A.14B.13C.23D.34【答案】D【解析】【分析】由题意求出所有基本情况的个数和满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，共有甲不参加、乙不参加、丙不参加、丁不参加4种基本情

况，甲被选中的基本情况有3种，所以甲被选中的概率34P=.故选：D.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，属于基础题.4.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间

为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有（）A.45B.46C.48D.50-3-【答案】C【解析】【分析】根据直方图求得相应频率，

进而求得人数.【详解】这80名教师中年龄小于45岁的频率为()0.0400.08050.6+=，人数为800.648=（人），故选：C.【点睛】本题考查频率直方图中频率，频数的计算，属基础题.5.过圆225xy+=上一点M（－1.2）作圆的切线l，则l的方程是（）A.230xy+−=B

.250xy−+=C.250xy−−=D.250xy+−=【答案】B【解析】【分析】利用切线与切点处的半径垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程.【详解】圆225xy+=的圆心为O(0,0),直线OM的斜率为221=−

−,所以切线l的斜率为1122−=−,∴直线l的方程为()1212yx−=+,即250xy−+=,故选：B.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，涉及直线的垂直的条件，属基础题.6.两条平行直线6450xy−+=与32yx

=的距离是（）A.1313B.1326C.51313D.51326【答案】D【解析】【分析】-4-先将直线方程32yx=化为：640xy−=，再利用两平行线间的距离公式求解.【详解】直线方程32yx=化为：640xy−=，所以两条平行直线6450xy−+

=与32yx=的距离是：()2255132664d==+−.故选：D【点睛】本题主要考查两平行线间的距离的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝23，则

异面直线SB与AC所成角的余弦值是（）A.18B.18−C.14D.14−【答案】A【解析】【分析】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，由题意结合平面几何的知识可得3EG=、2FGEF==、GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再

由余弦定理即可得解.【详解】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，如图：-5-由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得3232EAESBC===，所以EGSA⊥，22112332EGSESA=−=−=，由中位线的性质可得//FGSB且122FG

SB==，//FEAC且122FEAC==，所以GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，在GFE中，2224491cos22228GFEFGEGFEGFEF+−+−===−，所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为18.故选：A.【点睛】本题考查了余弦定理

的应用及异面直线夹角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.8.圆222220xyxy+−−−=的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为3，则满足条件的直线l的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】

【分析】求得圆心坐标和半径，根据面积，利用弦长公式和面积公式求得圆心到直线的距离，利用几何意义即可判定直线的条数，注意圆心可能在直线l的上方，也可以在直线l的下方.-6-【详解】222220xyxy+−−−=化为标准形式

为22(1)(1)4xy−+−=,圆心()1,1C,半径2r=,设圆心到直线的距离为d,则222224ABrdd=−=−,若△ABC的面积为21||432ABddd=−=，解得3d=或1d=.因为点()0,3在圆C外，且l过点()0,3且与圆C交于A，B两点，d的取值范围是[

0,2),3d=或1d=都有意义，又∵圆心可能在直线l的上方，也可以在直线l的下方，∴满足条件的直线l的条数为4，故选：D.【点睛】本题考查已知直线与圆的相交三角形的面积，探求直线的条数，涉及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属基础题.二、多项选择题（本大题

共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有

1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【解析】【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为a、b，二等品编号为

c，次品编号为d，从中任取2件的基本情况有：(),ab、(),ac、(),ad、(),bc、(),bd、(),cd，共6种；-7-对于A，两件都是一等品的基本情况有(),ab，共1种，故两件都是一等品的概率116P=，故A错误；对于B，两

件中有1件是次品的基本情况有(),ad、(),bd、(),cd，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P==，故B正确；对于C，两件都是正品的基本情况有(),ab、(),ac、(),bc，共3种，故两件都是正品的概率33162P==，故C错误；对于D，两件中至

少有1件是一等品的基本情况有(),ab、(),ac、(),ad、(),bc、(),bd，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P=，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运

算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.10.关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有（）A.过直线a有且仅有一个平面β，使b⊥βB.过直线a有且仅有一个平面β，使b//βC.在空间存在平面β，使a//β，b//βD.在空间

不存在平面β，使a⊥β，b⊥β【答案】BCD【解析】【分析】由题意结合线面垂直的性质可判断A；由线面平行的判定、性质可判断B；由异面直线的概念结合选项B即可判断C；由线面垂直的性质可判断D；即可得解.【详解】对于A，若直线a，b不垂直，则不存在平面β，使b⊥β

，故A错误；对于B，存在直线c满足c//b，且与a相交，此时直线c与a确定的平面β，满足b//β；假设过直线a还存在另一平面满足//b，则平面上存在一个异于a的直线d满足//db，则//d，因为直线a为平面、β的交线，所以//da

，//ba，不合题意；所以过直线a有且仅有一个平面β，使b//β，故B正确；-8-对于C，由B可知，在空间存在平面β，使a//β，b//β，故C正确；对于D，若a⊥β，b⊥β，则//ba，与题意不符，所以

在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了线线、线面位置关系的判断，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于基础题.11.正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为31−，则（）A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内

切球的体积为3C.正方体的棱长为1D.线段MN的最大值为31+【答案】AD【解析】【分析】设正方体的棱长为a，由线段MN的最小值为31−求出a，按照球的性质逐一判断每个选项即可.【详解】设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为32Ra=，内切球的半径为2

aR=，正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，可得MN的最小值为33122aa−=−，解得2a=，故C错误；所以外接球的半径为3，表面积为4312=，故A正确；内切球的半径为1，体积为43，故B错误；MN的最大值为31RR+=+，故D正确；

故选：AD.【点睛】本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直

线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，-9-3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：222(3)xyr−+=相切，则下列结论正确的是（）A.圆M上点到直线30xy−+=的最小距离为22B.圆M上点到直线3

0xy−+=的最大距离为32C.若点（x，y）在圆M上，则3xy+的最小值是322−D.圆22(1)()8xaya−−+−=与圆M有公共点，则a的取值范围是[122,122]−+【答案】ACD【解析】【分析】由题意结合“欧拉线”

概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程；由圆心到直线的距离可判断A、B；令3zxy=+，由直线与圆相切可得z的最值，即可判断C；由圆与圆的位置关系即可判断D；即可得

解.【详解】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为31,22，且直线的BC的斜率32114BCk+==−−−，所以线段BC的垂直平

分线的斜率1k=，所以线段BC的垂直平分线的方程为1322yx−=−即10xy−−=，又圆M：222(3)xyr−+=的圆心为()3,0，半径为r，所以点()3,0到直线10xy−−=的距离为3122r

−==，所以圆M：22(3)2xy−+=，对于A、B，圆M的圆心()3,0到直线30xy−+=的距离33322d+==，所以圆上的点到-10-直线30xy−+=的最小距离为32222−=，最大距离为32242+=，故A正确，B错误；对于C，令3zxy=+即30xyz+−=，当直线30xyz+−=与

圆M相切时，圆心()3,0到直线的距离为322z−=，解得322z=+或322z=−，则3xy+的最小值是322−，故C正确；对于D，圆22(1)()8xaya−−+−=圆心为()1,aa+，半径为22，若该圆与圆M有公共点，则(

)2222213222aa−+−++即()222218aa−+，解得122122a−+，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了直线方程的求解及直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三、填空题（本大题共4个小题，每

小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.已知两点A（3，2），B（8，12），则直线AB的一般式方程为________【答案】2x－y－4=0【解析】【分析】先求得直线AB的斜率，然后由点斜式求得直线AB

的方程，并转化为一般式.【详解】依题意122283ABk−==−，所以直线AB的方程为()223yx−=−，化简得240xy−−=.故答案为：240xy−−=【点睛】本小题主要考查由直线上两点坐标求直线方程，属于基础题

.14.用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为________【答案】2【解析】【分析】-11-利用半圆的半径和弧长，结合圆锥筒的高列方程，解方程求得半圆形纸片的半径【详解】设半圆的半径为R，则对应的弧长为R，所以圆锥筒底面半径为22RR=，所以()222

32RR+=，解得2R=.故答案为：2【点睛】本小题主要考查圆锥的有关计算，属于基础题.15.设cosxt=，用t的代数式表示cos2x＝________，用t的代数式表示cos3x＝________【答案】(1).221t−(2).343tt−【解析】【分析】第一个空，直

接利用余弦的倍角公式即可得解；第二个空，遇到三倍角，可以看成两倍加一倍.先利用两角和的三角函数公式展开，再利用二倍角公式做进一步化简，结合同解三角函数关系，最后得到答案.【详解】2222cos121cosxxt=−=−,()cos3cos2cos2cossin2si

n=+=−xxxxxxx()()22cos1cos2sincossin=−−xxxxx()322coscos21coscosxxxx=−−−334cos3cos43=−=−xxtt,故答案为：221t−；343tt−.【点睛

】本题考查两角和差的三角角函数公式和二倍角公式的应用，涉及同角三角函数的关系，属基础题.16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足22()abcS−−=，b＋c＝2，则S的最大值是________【答案】417【解析】【分析】-12-结合余弦定理、同角三角

函数的基本关系式和基本不等式，先求得sinA，然后求得S的最大值.【详解】由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，依题意221()sin2abcSbcA−−==，2bc+=，()()222212cos221cossinsin41cos2bcbcAbcbcbcA

bcAAA+−−−+=−==−，所以1cos1sin4AA=−，221sin1sin14AA+−=,2171sinsin0162AA−=，由于A是三角形ABC的内角，所以sin0A，所以由2171sinsin

0162AA−=解得8sin17A=.所以21444sin21717217bcSbcAbc+===，当且仅当1bc==时等号成立，所以S的最大值为417.故答案为：417【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.四、解答题（

本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若60,1,3ABCAbS===（1）求c的值；（2）求sinC的值.【答案】（1）4c=；（2）239sin13C=.【解析】【分析】（1）利用三角

形的面积公式列方程，解方程求得c的值.（2）利用余弦定理求得a，利用正弦定理求得sinC的值.【详解】（1）在ABC中，1sin32ABCSbcA==，-13-所以131322c=，所以4c=；（2）在ABC中，由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−所以2211

4214132a=+−=，所以13a=，在ABC中，由正弦定理得：sinsinacAC=，所以sin239sin13cACa==.【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.18.已知1tan(),tan23+==−.（1）求tanβ：

（2）求sin2α.【答案】（1）tan=7；（2）4sin25=−.【解析】【分析】（1）利用tan()tantan=tan()1tan()tan+−+−=++求解.（2）利用2222si

ncos2tansin22sincossincostan1===++求解.【详解】（1）tan()tantan=tan()1tan()tan+−+−=++，因为1tan()3+=，tan2=-，所以tan=7（2）

2222sincos2tansin22sincossincostan1===++，因为tan2=-，所以4sin25=−.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.-14-

19.已知函数2()(3)2fxaxax=+−+（其中a∈R）.（1）当a＝－1时，解关于x的不等式()0fx；（2）若()1fx−的解集为R，求实数a的取值范围.【答案】（1）(62)(62)−−−−+U，，；（2）962962a−+≤≤.【解析】【分析】（1）当0a=时，解一元二次不

等式求得不等式()0fx的解集.（2）化简不等式()1fx−，对a分成0a和0a两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a=−时，由()0fx得，2420xx−−+，

所以2420xx+−，所以不等式的解集为(62)(62)−−−−+U，，；（2）因为()1fx−解集为R，所以2(3)21axax+−+−≥在R恒成立，当0a=时，得321x−+−≥，不合题意；当

0a时，由2(3)30axax+−+≥在R恒成立，得()203120aaa−−，所以962962a−+≤≤.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.20.如图，在正方体111

1ABCDABCD−中，E为棱1DD的中点．求证：（1）1BD∥平面EAC；-15-（2）平面EAC⊥平面1ABC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【

详解】（1）连BD交AC于O，连EO，因为O为BD的中点，E为1DD的中点，所以1//EOBD又1BD平面,EACEO平面EAC，所以1//BD平面EAC（2）因为1,ACBDDD⊥⊥平面ABCD，所以11,DDACBDDD⊥于D，所以AC⊥平面1BDD，所以1ACB

D⊥同理可证11⊥ABBD，又1ACAB于A，所以1BD⊥平面1ABC，因为1//EOBD，所以EO⊥平面1ABC，又EO平面EAC，所以平面EAC⊥平面1ABC．21.在平面直角坐标系xOy中，圆C：222420xyxaya++−+=（1）若圆C与

x轴相切，求实数a的值；（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线12,ll，若1l与2l相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足60MON=，若直线1l：60xy−−=上存在

唯一的一个点T，使得2TPOC=，求实数a的值.【答案】（1）2a=；（2）442a=.【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与x轴相切求得a的值.-16-（2）求得P的轨迹方程，结合直线l：60xy−−=上一存在唯一点T，使得2TPOC=列方程，解方程求得a的值

.【详解】（1）圆C的方程可以化为：22(2)()4xya++−=，所以圆心(2)Ca−，，半径为2，因为圆C与x轴相切，所以||2a=，所以2a=.（2）因为点MN，在圆C上，且60MQN=o，所以120MCN=o，因为PMPN，分别是圆C的切线，

所以4PC=，即点P在以C为圆心，4为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为22(2)()16xya++−=，设00()Txy，，Pmn(，)，由2TPOC=得，00()2(2)mxnya−−=−，，所以0042mxnya−=−−=，即0042mxnya=−=+

，所以2200(2)()16xya−++=，因为直线l：60xy−−=上一存在唯一点T，使得2TPOC=，所以()()22000021660xyaxy−++=−−=只有一组解，所以|26|42a+−=，所以442a=.【点睛】本

小题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.22.已知梯形ABCD中，1,60,90,45ABAABCCBD====，如图（1）所示.现将△ABC沿边BC翻折至A'BC，记二面角A'—BC—D的大小为θ.-17-（1）当θ＝90°时，如图（2）所示，过点B

作平面与A‘D垂直，分别交,ACAD于点E，F，求点E到平面ABF的距离；（2）当30=时，如图（3）所示，求二面角ACDB−−的正切值【答案】（1）68；（2）36.【解析】【分析】（1）求

得,,,BEBFEFAF的长，利用等体积法计算出点E到平面ABF的距离.（2）作出二面角ACDB−−的平面角，由此求得其正切值.【详解】（1）因为平面'ABC⊥平面BCD，平面'ABCI平面BCDBC=，C

DBC⊥，CD平面BCD，所以CD⊥平面'ABC，又BE平面'ABC，所以CDBE⊥，因为'AD⊥平面BEF，BE平面BEF，所以'ADBE⊥又'CDADD=I，'CDAD，平面'ACD，所以BE⊥平面'ACD，又'AC平面'ACD，所以'BEAC⊥，在Rt'A

BC△中，3=2ABBCBEAC=，又平面'ABC⊥平面BCD，平面'ABCI平面BCDBC=，'ABBC⊥，'AB平面'ABC，所以'AB⊥平面BCD，又BD平面BCD，所以'ABBD⊥，在'RtABD中，6

7ABBDBFAD==，所以221'7AFABAF=−=，-18-在RtBEF△中，22327EFBFBE=−=，设点E到平面ABF的距离为d，因为''ABEFEABFVV−−=，所以'11'33BEFABFSAFSd

=，33161227777d=，所以68d=；（2）过点B作直线l//CD，过'A作'AHl⊥交l于点H.因为CDBC⊥，所以lBC⊥，又因为'ABBC⊥，所以'ABH就是二面角'ABCD−−的平面角，所以'30AB

H=，因为'1AB=，所以1'2AH=，过点H作HQCD⊥交CD于点Q，连接'AQ，因为'BCAB⊥，BCl⊥，'lABB=I，所以BC⊥平面'ABH，又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面'ABH.又因为平面BCD平面'ABHl=，'AHl⊥，'AH平面'ABH所以'AH⊥平面,BCD

AHCD⊥，因为HQCD⊥，AHHQH=，所以CD⊥平面'AHQ，因为'AQ平面'ACD，所以'CDAQ⊥，所以'AQH是二面角ACDB−−的平面角，在'RtAQH△中，tan3HQBCABA===，'3tan'6AHAQHHQ

==，所以二面角ACDB−−的正切值为36.【点睛】本小题主要考查点面距的求法，考查二面角的求法，属于中档题.-19--20-