【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2019年北京高考文科数学试题及答案.docx，共(20)页，533.838 KB，由envi的店铺上传

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2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则zz=（A）3（B）5（C

）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）12yx=（B）y=2x−（C）12logyx=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1（B）2（C）3（D）4

（5）已知双曲线2221xya−=（a>0）的离心率是5，则a=（A）6（B）4（C）2（D）12（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必

要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lgEmmE=，其中星等为km的星的亮度为kE（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与

天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10.110−（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4β+4cosβ（B）4β+4s

inβ（C）2β+2cosβ（D）2β+2sinβ第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且⊥ab，则m=__________．（10）若x，y满足2,1,4310,xyxy−−+则yx−的最小

值为__________，最大值为__________．（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体

积为__________．（13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水

果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明

会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）在△ABC中，a=3，–2bc=，cosB=12−．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．（16）（本小题13分）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项

公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的100

0名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人

1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支

付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．（18）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°

，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1xyCab+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线:(1)lykxtt=+与

椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．（20）（本小题14分）已知函数321()4fxxxx=−+．（Ⅰ）求曲线()yfx=的斜率为1的切线方程；（Ⅱ

）当[2,4]x−时，求证：6()xfxx−；（Ⅲ）设()|()()|()Fxfxxaa=−+R，记()Fx在区间[2,4]−上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全

国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）D（6）C（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）8（10）–31（11）22(1)4xy−+=（12）40（13

）若,lml⊥⊥，则m．（答案不唯一）（14）13015三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cosbacacB=+−，得22213232bcc=+−−．因为2bc=+，所以2221(2)3232ccc+=+−−．

解得5c=．所以7b=．（Ⅱ）由1cos2B=−得3sin2B=．由正弦定理得33sinsin14aABb==．在ABC△中，BCA+=−．所以33sin()sin14BCA+==．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设na的公差为d．因为110a=−，所以23410,102,103

adadad=−+=−+=−+．因为23410,8,6aaa+++成等比数列，所以()()()23248106aaa+=++．所以2(22)(43)ddd−+=−+．解得2d=．所以1(1)212naandn=+−=−．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212nan=−．所以，当7n时，0

na；当6n时，0na．所以，nS的最小值为630S=−．（17）（共12分）解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–3

0–25–5=40人．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为401000400100=．（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则1()0.0425PC==．（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机

抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（II）知，()PE=0.04．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()PE比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元

的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，()PE比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC

D，所以PABD⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC⊥．所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PA

B．所以平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=12AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CE

GF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．（19）（共14分）解：（I）由题意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．所以椭圆C的方程为2212xy+=．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直

线AP的方程为1111yyxx−=+．令y=0，得点M的横坐标111Mxxy=−−．又11ykxt=+，从而11||||1MxOMxkxt==+−．同理，22||||1xONkxt=+−．由22,12ykxtxy=++=得222(1

2)4220kxktxt+++−=．则122412ktxxk+=−+，21222212txxk−=+．所以1212||||||||11xxOMONkxtkxt=+−+−()12221212||(1)(1)xxkxxktxxt=+−++−22

222222212||224(1)()(1)1212tktktkkttkk−+=−+−−+−++12||1tt+=−．又||||2OMON=，所以12||21tt+=−．解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．（20）（共14分）解：（Ⅰ）

由321()4fxxxx=−+得23()214fxxx=−+．令()1fx=，即232114xx−+=，得0x=或83x=．又(0)0f=，88()327f=，所以曲线()yfx=的斜率为1的切线方程是yx=与88273yx−=−，即y

x=与6427yx=−．（Ⅱ）令()(),[2,4]gxfxxx=−−．由321()4gxxx=−得23()24g'xxx=−．令()0g'x=得0x=或83x=．(),()g'xgx的情况如下：x

2−(2,0)−08(0,)3838(,4)34()g'x+−+()gx6−06427−0所以()gx的最小值为6−，最大值为0．故6()0gx−，即6()xfxx−．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a−时，()(0)|(0)|3MFgaaa=

−=−；当3a−时，()(2)|(2)|63MFagaa−=−−=+；当3a=−时，()3Ma=．综上，当()Ma最小时，3a=−．选择填空解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x

>1}，则A∪B=A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵{|12},{|1}AxxBx=−=，∴(1,)AB=+，故选C.【点睛】考查并集求法，属于基础题.2.已知复数z=2+i，则zz=A.

3B.5C.3D.5【答案】D【解析】【分析】题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵z2i,zz(2i)(2i)5=+=+−=故选D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.3.下列

函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A.12yx=B.y=2x−C.12logyx=D.1yx=【答案】A的【解析】【分析】根据函数图像性质可得出结果.【详解】函数122,logxyyx−==，1yx=在区间(0,)+上单调

递减，函数12yx=在区间(0,)+上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.4.执行如图所示的程序框图，输出

的s值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，=1k，2212312s==−，运行第二次，2k=，2222322s==−，运行第三次，3k=，2

222322s==−，结束循环，输出=2s，故选B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.已知双曲线2221xya−=（a＞0）的离心率是5则a=A.6B.4C.2D.12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.

【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率5cea==，21ca=+，∴215aa+=，解得12a=，故选D.【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.6.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“

f（x）为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R的函数()fx为偶函数等价于()=()fxfx−进行判断.【详解】

0b=时，()cossincosfxxbxx=+=,()fx为偶函数；()fx为偶函数时，()=()fxfx−对任意的x恒成立，()cos()sin()cossinfxxbxxbx−=−+−=−cossincossinxb

xxbx+=−，得0bsinx=对任意的x恒成立，从而0b=.从而“0b=”是“()fx为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg

EmmE=，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110−【答案】D【解析】【分析】先求出12lgEE，然后将对数式换指数

式求12EE，再求12EE.【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE−=,令21.45m=−，126.7m=−，()1212221g(1.4526.7)10.155EmmE=−=−+=，10.110.112211010EEEE−==，故选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处

理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.8.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为为A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ【答案】B【解析】

【分析】阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△PAB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最

大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S最大值为βr2+S△POB+S△POA=4β+12|OP||OB|sin（π-β）+12|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4Sinβ，故选B.【点睛】

本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知

向量a=（－4，3），b=（6，m），且ab⊥rr，则m=__________.【答案】8.的【解析】【分析】利用ab⊥转化得到0ab•=加以计算，得到m.【详解】向量4,36,abmab=−=⊥（），（），，则•046308abmm=−+==，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运

算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10.若x，y满足2,1,4310,xyxy−−+则yx−的最小值为__________，最大值为__________.【答案】

(1).3−.(2).1.【解析】【分析】作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.【详解】作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0：y=x+z经过点A（2,-1）时,z取最小值-3，经过点B（2,3）时,z取最大值1.【点睛】本题是简单线性规划

问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.11.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】【分析】由抛物线方程

可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2P=4，P=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题可采用数形

结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】【分析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.【详解】在正方体

中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.13.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断

：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三

个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置

关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上

支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】

（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据120y＜、120y分别探究.【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.（2

）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，120y＜元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.120y元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，即8（y-x）≥7y，x≤8y，即x≤（8y）min=15元.所以x的最大值为15.【点睛】本题主要

考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.