【文档说明】2009年高考试题——数学理（四川卷）解析版.doc，共(18)页，1.654 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式24πS

R=()()()PABPAPB+=+其中R表示球的半径如果事件AB，相互独立，那么球的体积公式34π3VR=()()()PABPAPB=其中R表示球的半径一、选择题：1.设集合2|5,|4210,SxxTxxx==+−则ST=Ａ.|75xx−−Ｂ.|35xxＣ.

|53xx−Ｄ.|75xx−【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题)3,7(T),5,5(−=−=S，故选择C。解析2：由{|55},Sxx=−{|73}Txx=−故{|53}STxx=−，故选C

．２.已知函数22log(2)()24(22axxfxxxxx+==−−当时在点处当时）连续，则常数a的值是Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，

基础题。解析：由题得3222log2=+=+aa，故选择B。解析2：本题考查分段函数的连续性．由22224lim()limlim(2)42xxxxfxxx→→→−==+=−，22(2)log1faa=+=+

，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知2(2)lim()4xffx→==，可得3a=．故选B．３.复数2(12)34ii+−的值是Ａ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：

12591625)43)(34(43)21(2−=−−=+−=−+iiii，故选择A。4.已知函数()sin()()2fxxxR=−，下面结论错误．．的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.函数()fx的最小正周期为2B.函数()fx在区间0,2

上是增函数C.函数()fx的图像关于直线0x=对称D.函数()fx是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）解析：由函数的()sin()cos()2

fxxxxR=−=−可以得到函数()fx是偶函数，所以选择D．5.如图，已知六棱锥PABCDEF−的底面是正六边形，,2PAABCPAAB⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PBAD⊥Ｂ.平面PABPBC⊥平面w.w.w.k

.s.5.u.c.o.mC.直线BC∥平面PAEＤ.PDABC直线与平面所成的角为45【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作PBAG⊥于G，因面⊥PAB面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与B

C不相互垂直，故排除B；由EFBC//，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。解析2：设低面正六边形边长为a，则2,22ADaPAABa===，由PA⊥平面ABC可知PAAD⊥，PA且AD，所以在RtPAE中有直线PD与平面PAE所成的角为45，故应选

D。6.已知,,,abcd为实数，且cd。则“ab”是“acbd−−”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．充要条件D.既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的

性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：ba推不出acbd−−；但bdcbadbca−+−−，故选择B。解析2：令2,1,3,5abcd====−，则13(5)8acbd−=−−=−−=；由acbd−−可得，()abc

d+−因为cd，则0cd−，所以ab。故“ab”是“acbd−−”的必要而不充分条件。7.已知双曲线2221(0)2xybb−=的左右焦点分别为12,FF，其一条渐近线方程为yx=，点0(3,)Py在该双曲线上，则12PFPF•=A.12−B.2−C.0D.4w.w.w.k.s

.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析：由题知22=b，故)0,2(),0,2(,123210FFy−=−=，∴0143)1,32()1,32(21=+−=−•−−=•PFPF，故选择C。解析2：根据双

曲线渐近线方程可求出双曲线方程22122xy−=，则左、右焦点坐标分别为12(2,0),(2,0)FF−，再将点0(3,)Py代入方程可求出(3,1)P，则可得120PFPF=，故选C。8.如图，在半径为3的球面上有,,ABC三点，90,ABCBABC==，球心O到平面ABC

的距离是322，则BC、两点的球面距离是A.3B.C.43D.2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径323222234189===−=BCr，故3=BOC，所以BC、两点的

球面距离为=33，故选择B。解析2：过球心O作平面ABC的垂线交平面与D，,ABCBABC=，则D在直线AC上，由于322OD=，22322CDOCOD=−=，所以32AC=，由ABC为等腰直角三角形可得3BC=

，所以OBC为等边三角形，则,BC两点的球面距离是33。9.已知直线1:4360lxy−+=和直线2:1lx=−，抛物线24yx=上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.3716w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到

直线的距离，综合题。解析：直线2:1lx=−为抛物线24yx=的准线，由抛物线的定义知，P到2l的距离等于P到抛物线的焦点)0,1(F的距离，故本题化为在抛物线24yx=上找一个点P使得P到点)0,1(F和直线2l的距离之和最小，最小值为)0,1(F到直线1:4360lxy−

+=的距离，即25|604|min=+−=d，故选择A。解析2：如下图，由题意可知22|3106|234d−+==+10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得

利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.12万元B.20万元C.25万元D.27万元w.w.w.k.

s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即已知约束条件++001832133yxyxyx，求目标函数yxz35+=的

最大值，可求出最优解为==43yx，故271215max=+=z，故选择D。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.188C.

216D.96【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333=AACA种，其中男生甲站两端的有1442223232212=AACAA，符合条件

的排法故共有188解析2：由题意有2221122222322323242()()188ACACCACAA+=,选B。12.已知函数()fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有(1)(1)()xf

xxfx+=+，则5(())2ff的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.0B.12C.1D.52w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析：令21−=x，则0)21()21(21)21(21)2

1(21==−=−ffff；令0=x，则0)0(=f由(1)(1)()xfxxfx+=+得)(1)1(xfxxxf+=+，所以0)0())25((0)21(212335)23(35)23(2325)25(======fffffff，故

选择A。2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅱ卷考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13.61(2)2x

x−的展开式的常数项是（用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知61(2)2xx−的通项为rrrrrxCT2626612)1(−−+−=，令026=

−r得3=r，故常数项为20)1(363−=−C。14.若⊙221:5Oxy+=与⊙222:()20()OxmymR−+=相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是w【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解

析：由题知)0,(),0,0(21mOO，且53||5m，又21AOAO⊥，所以有525)52()5(222==+=mm，∴452052==AB。15.如图，已知正三棱柱111ABCABC−的各条棱

长都相等，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量},,{1BCBBBA，则11121,BBBCBMBAB

BAB−=−=05220220522)21()(,cos111=++−=+•−=BBBCBABBBMAB，故填写o90。法2：取BC中点N，连结NB1，则⊥AN面CB1，∴NB1是1AB在面CB1上的射影，由几何知识知BMNB⊥1，由三垂线定理得BMAB⊥1，故填写o

90。16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射VaVVf→,:，记a的象为)(af。若映射VVf→:满足：对所有Vba,及任意实数,都有)()()(bfafbaf+=+，则f称为平面M上的线性变

换。现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则0)0(=fw.w.w.k.s.5.u.c.o.m②对Va设aaf2)(=，则f是平面M上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m③若e是平面M上的单位向量，对Va设eaaf−=)(，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变

换，Vba,，若ba,共线，则)(),(bfaf也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新定义，创新题。解析：令1,0====ba，由题有0)0()0(2)0(==fff，故①正确；由题)(2)(babaf+=+，)(222)()(bababfaf

+=+=+，即)()()(bfafbaf+=+，故②正确；由题ebabaf−+=+)(，ebeabfaf−+−=+)()(，即)()()(bfafbaf++，故③不正确；由题ab=，)

()(0)()()()0(bfafbfafbaff==−=−=，即)(),(bfaf也共线，故④正确；三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在ABC中，,AB为锐角，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且31

0cos2,sin510AB==（I）求AB+的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）若21ab+=−，求,,abc的值。本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式

、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（Ⅰ）A、B为锐角，10sin10B=，2310cos1sin10Bb=−=又23cos212sin5AA=−=，5sin5A=，225cos1sin5AA=−=，253105102cos()coscossinsin5

105102ABABAB+=−=−=0AB+4AB+=…………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C=,2sin2C=.由正弦定理sinsinsinabcABC==得5102abc==，即2ab=，5cb=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2

1ab−=−Q，221bb−=−，1b=2,5ac==……………………………………12分18.（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行

的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。（I）在该团中随机采

访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分

布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件1A为“采访该团3人中，1人持金

卡，0人持银卡”，事件2A为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m12()()()PBPAPA=+121119219621333636CCCCCCC=+92734170=+3685=所以在该团中随机采

访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685。…………………………………………………………6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，333391(0)84CPC===,1263393(1)14CCPC===21633

915(2)28CCPC===，363915(3)21CPC===，所以的分布列为0123P1843141528521所以131550123284142821E=+++=，……………………12分19（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形AB

EF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF===（I）求证：EFBCE⊥平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMBCE平面？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（II

I）求二面角FBDA−−的大小。本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：

（Ⅰ）因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB=，所以BC⊥平面ABEF所以BC⊥EF.因为ABE为等腰直角三角形，ABAE=，所以45AEB=又因为45AEF=，所以454590FEB=+=，即EF⊥BE

B=,所以EF⊥平面BCE。……………………………………4分（Ⅱ）存在点M,当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCE取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝12AB∥＝PC所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以

PM∥平面BCE……………………………………8分（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH因此，∠AEF为二面角F

-BD-A的平面角因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=22.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mFG=AF·sinFAG=12在Rt△FGH中，∠G

BH=45°,BG=AB+AG=1+12=32,GH=BG·sinGBH=32·22=324在Rt△FGH中，tanFHG=FGGH=23故二面角F-BD-A的大小为arctan23.………………………………

12分解法二:(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=

1,则AE=1，B（0，1，0），D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.从而，11(0,,)22F−.所以11(0,,)22EF=−,(0,1

,1)BE=−,(1,0,0)BC=.110022EFBE•=+−=,0EFBC•=.所以EF⊥BE,EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.(Ⅱ)M（0，0，12）.P（1,12,0）.从而PM=（1,−12−，12）.于是11111,,

2222PMEF=−−−−（，）（0，）=0所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM∥平面BCE.………………………………8分(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为1n，并设1n=（x，y，z）BD=(1，−1，0)，31(0,,)22B

F=−1100nBDnBF==即031022xyyz−=−+=去y=1，则x=1，z=3，从1n=（0，0，3）取平面ABD的一个法向量为2n=（0，0，1）1212123311cos,11||||1

11nnnnnn===故二面角F-BD-A的大小为311arccos11.……………………………………12分20（本小题满分12分）已知椭圆2221(0)xyabab+=的左右焦点分别为12,FF，离心率22e=，右准线方程为2x=。（I）求椭圆的标准方程；（

II）过点1F的直线l与该椭圆交于,MN两点，且222263FMFN+=，求直线l的方程。本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。解：（Ⅰ）有条件有2c2a2a2c{==，解得a2c=1=，。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m22bac1=

−=。所以，所求椭圆的方程为22xy12+=。…………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F−、210F（，）。若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.将x=-1代入椭圆方程得2y2=。不妨设2(1,)2M−、212N−−（，），2222(2,)

(2,)(4,0)22FMFN+=−+−−=−uuuuvuuuv.224FMFN+=uuuuvuuuv,与题设矛盾。直线l的斜率存在。设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。设11(xy)M，、22(,)Nxy，联立22xy12y=k(x+1){+=，

消y得2222(12)4220kxkxk+++−=。由根与系数的关系知2122412kxxk−+=+，从而121222(2)12kyykxxk+=++=+，又211(1,)FMxy=−，222(1,)FNxy=−

，221212(2,)FMFNxxyy+=+−+。222221212(2)()FMFNxxyy+=+−++22222822()()1212kkkk+=+++42424(1691)441kkkk++=++422424(1691)226()4413kkkk++=++。化简得424023

170kk−−=解得2217140kk==−或者w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1.11klyxyx==+=−−所求直线的方程为或者21.（本小题满分12分）已知0,1aa且函数()log(1)xafxa=−。（I）求函数()fx的定义域，并判断(

)fx的单调性；（II）若()*,lim;fnnnanNaa→++求（III）当ae=（e为自然对数的底数）时，设()2()(1)(1)fxhxexm=−−+，若函数()hx的极值存在，求实数m的取值范围以及函数()hx的极

值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解：（Ⅰ）由题意知10xa−当01()01()0afxafx+−时，的定义域是（，）；当时，的定义域是（，）lnlog11aae=−−gxxxx-aaf(x)=aa当01(0,).1

0,0,xxaxaa+−时，因为故f(x)<0,所以f(x)是减函数当1(,0),10,0,()0,()xxaxaafxfx−−时，因为故所以是减函数….（4分）（Ⅱ）因为()()log(1),1n

fnnafnaaa=−=−所以由函数定义域知1na−>0,因为n是正整数，故0<a<1.所以()11limlimfnnnnnnaaaaaaa→→−==++（Ⅲ）22)(1)(0),()(21)xxhxexmxhxexxm=−+=+−+（所以令2()0,210,00hxxxmm=+−+=

即由题意应有，即①当m=0时，()0hx=有实根1x=−，在1x=−点左右两侧均有()0hx故无极值②当01m时，()0hx=有两个实根121,1xmxm=−−=−+当x变化时，()hx、()hx的变化情况如下表所示：x1(,)x−1x12(,)xx

2x2(,0)x()hx+0-0+()hx↗极大值↘极小值↗()hx的极大值为12(1)mem−−+，()hx的极小值为12(1)mem−+−③当1m时，()0hx=在定义域内有一个实根，1xm=−−同上可得()hx的极大值为12(1)mem−−+综上所述，0+m（，）时，函数

()hx有极值；当01m时()hx的极大值为12(1)mem−−+，()hx的极小值为12(1)mem−+−当1m时，()hx的极大值为12(1)mem−−+w.w.w.k.s.5.u.c.o.m22.（本小题满分14分）设数列

na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS=+成立，记*4()1nnnabnNa+=−。（I）求数列nb的通项公式；（II）记*221()nnncbbnN−=−，设数列nc的前n项和为nT，求证

：对任意正整数n都有32nT；（III）设数列nb的前n项和为nR。已知正实数满足：对任意正整数,nnRn恒成立，求的最小值。本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、

分析与解决问题的能力。解：（Ⅰ）当1n=时，111151,4aaa=+=−又1151,51nnnnaaaa++=+=+Q11115,4nnnnnaaaaa+++−==−即数列na成等比数列，其首项114a=

−，公比是14q=−1()4nna=−14()411()4nnnb+−=−−……………………………………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知54(4)1nnb=+−−2212215525164141(161)(164)nnnnnnnncbb−−

=−=+=−+−+=222516251625(16)3164)(16)16nnnnnn=+−又1211343,,33bbc===当1312nT=时，当234111225()3161616nnnT++++K时，12

211[1()]416162513116146931625......................713482116n−−=+−+=−分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）由（Ⅰ）知54(4)1nnb=+−−一方面，已知nRn

恒成立，取n为大于1的奇数时，设*21()nkkN=+则1221nkRbbb+=+++K12321111145()41414141kn+=+−+−+−+−++KK1232211111145[()()]4141414141kkn+=+−+−++−+−+−+KK>41n−41,4

1nnRnn−−−即（）对一切大于1的奇数n恒成立4,41n−−否则，（）只对满足14n−的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当4=时，对一切的正整数n都有4nRn事实上，对任意的正整数k，有212212558(4)1(4)1nnkkbb−−+=++−−−−

5208(16)1(16)4kk=+−−+15164088(161)(164)kkk−=−−+当n为偶数时，设*2()nmmN=则1234212()()()nmmRbbbbbb−=++++++K<84mn=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当n为奇数时，设*21()nmmN=−则1234232221()()()nmmmRbbbbbbb−−−=+++++++K<8(1)4844mmn−+=−=对一切的正整数n，都有4nRn综上所述，正实数的最小值为4………………………

….14分