【文档说明】2024届福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.288 MB，由envi的店铺上传

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莆田一中2024届高三模拟卷试卷数学试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．1.已知i是虚数单位，a

，bR，()2iiiab+=−，则复数iab+的模为（）A.5B.5C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法和复数相等可得,ab的值，从而可求iab+的模.【详解】由题设有2i1iab+=+，而,ab

R，故1,2ab==，故iab+的模为145+=，故选：B.2.已知各项均为正数的等比数列na中，若59a=，则3436loglogaa+＝（）A.2B.3C.4D.9【答案】C【解析】【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可.【详解】由题意得()3436346

logloglogaaaa+=，由等比中项性质得246581aaa==，故()34363463loglogloglog814aaaa+===.故选：C3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A.3144AB

AC−B.1344ABAC−C.3144+ABACD.1344+ABAC【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEBABD=+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCB

AAC=+，之后将其合并，得到3144BEBAAC=+，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC=−，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BEBABDBABCBABAAC=+=+=++1113124444BABAACBAAC=++=+，所以3144EBAB

AC=−，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4.已知||2()2xfxx=

+，若()3fa，则（）A.(1,)+aB.(1,1)a−C.(,1)−aD.(0,1)a【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数及函数在[0,)+单调递增即可求解.【详解】因为||2()2xfxx=+的定义域为R，且22()2()2()xxfx

xxfx−−=+−=+=，所以()fx为偶函数，又当0x时，2()2xfxx=+单调递增，且(1)3f=，所以由()3fa可得()3(1)faf=，即1a，解得11a−，故选：B5.抛物线24yx=上的点到

其准线的距离与到直线3yx=+的距离之和的最小值为（）．A.22B.32C.4D.5【答案】A【解析】【分析】抛物线24yx=上的点到其准线的距离与到直线3yx=+的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线3yx=+的距离之和，其最小值为焦点到直线3yx=+的距离，

求值即可.【详解】抛物线24yx=，焦点()1,0F，准线方程为=1x−，抛物线上的点M，到其准线的距离为MM，到直线3yx=+的距离为MN，由抛物线的定义可知MMMF=，则有MMMNMFMN+=+，其最小值为焦点()1,0F到直

线3yx=+的距离42211d==+．即抛物线24yx=上的点到其准线的距离与到直线3yx=+的距离之和的最小值为22.故选：A.6.生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADEBCF-，其中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形，ABCD为

平行四边形，若AD⊥面ABFE，且222EFABAEBF===，记三棱锥DABF−的体积为1V，则该五面体的体积为（）A18VB.15VC.14VD.13V【答案】C【解析】【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,DAEFDABFFBCD−−−，通过选择适当定点可得其体积关

系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD为平行四边形，所以ABDBCDSS=△△，所以1FBCDFABDVVV−−==.记梯形ABFE的高为h，因为2EFAB=，所以112222AEFABFSEFhABhS===，所以122DAEFDABFVVV−−

==，所以该五面体的体积111124DAEFDABFFBCDVVVVVVVV−−−=++=++=.故选：C7.已知π,0,2，2sin22tansinsin=+，则2+=（）．A.π3B.π2C.2π3D.π【答案】B【解析】【分析】切化弦，以及二倍角的正弦可得2si

n2coscos1sin=+，变形可得()πcoscos2−=+，从而可求2+..【详解】因为2sin22tansinsin=+，所以22sin2sincos2coscossinsin1sin==++，所

以sinsinsincoscos+=，所以()sincoscossinsincos=−=+，所以()πcoscos2−=+，因为π,0,2，所以ππ0,22−，()0,π+，所以π2−=+，

所以π22+=．故选：B．8.双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点．若114FMMN=且121cos4FNF=，则双曲线的离心率为（）．A.1

02B.213C.142D.263【答案】D【解析】【分析】设1MFm=，根据双曲线定义以及余弦定理求解出m，再通过勾股定理得到a，c的方程，由此可求离心率.【详解】由双曲线定义可知122NFNFa−=，212MFMFa−=

，设1MFm=，则有22MFam=+，15NFm=，252NFma=−，的由余弦定理可得()()()()2221245221cos24524mmamaFNFmma+−−+==−，整理可得：23ma=，故11

03NFa=，243NFa=，则有()222121042133cos1044233aacFNFaa+−==，整理可得：2283ac=，所以22263cceaa===．故选：D

．【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．2．焦点三角形的作用在焦

点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分

选对的得部分，有选错的得0分．9.已知一组正实数样本数据()1,2,3,,10ixi=，满足12310xxxx，则（）．A.样本数据的第80百分位数为8xB.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C

.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D.将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍【答案】BC【解析】【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极

差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断C；由方差的性质即可判断D.【详解】对于A，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为892xx+，故A错误；对于B，由题意存在这样一种可能，若

23101xxxx=，则极差为101102xxxx−=−，此时样本数据的极差不变，故B正确；对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处

，此时平均数大于中位数，故C正确；对于D，224SS=，故D错误．故选：BC．10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，P为棱AB上的动点，DQ⊥平面1DPC，Q为垂足，则（）．A.1QDQC=B.平面1DPC截正方体所得的截面

可能为三角形C.当P位于AB中点时三棱锥1DDCP−的外接球半径最大D.线段DQ的长度随线段AP的长度增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】对于A，求证1RtRtDQDDQC即可判断；对于B，由等边

1ACD△即可判断；对于C，由外接球半径2212DDRr=+和sinn2siDACCDCDrDPC=<（DCP的外接圆半径为r）即可判断；对于D，由11111133DDCPDCPDDCPDCPVSDQVSDD−−===和1112DCPSPNCD=随AP的增大而变小可

判断.【详解】选项A，连接1DQ，CQ，则1DQDQ⊥，DQCQ⊥，又因为1DDDC=，DQDQ=，所以1RtRtDQDDQC，故1QDQC=，选项A正确；选项B，当P位于点A时，截面为三角形，选项B正确；选

项C，1DD⊥平面DCP，记DCP的外接圆半径为r，则外接球半径2212DDRr=+，由正弦定理得2sinCDrDPC=，当P位于AB中点时，45DPCDAC=，则ssniinDACDPC，sinn2

siDACCDCDrDPC=<，选项C错误；选项D，11113DDCPDDCPDCPVVSDD−−==△为定值，过P作PMCD⊥于点M，过M作1MNCD⊥，则1PNCD⊥，如图，可知1112DCPSPNCD=随AP的增大而变小，所

以由1113DDCPDCPVSDQ−=为定值可知，DQ随AP的增大而增大，故选项D正确．故选：ABD.11.已知1x，2x分别是函数()1exfxx=−和()1lngxxx=−的零点，则（）A.1102xB.12lnln0xx+=C.12eln1xx=D.121356

2xx+【答案】BCD【解析】【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数()exhxx=，求导，研究单调性，得到112x及12lnxx=，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D.【详解】令()0fx=

，得111exx=，即11e1xx=，1>0x，令()0gx=，得221lnxx=，即22ln1xx=，即2ln2lne1xx=，21x，记函数()exhxx=，0x，则()(1)0xhxxe=+，所以函数()exhx

x=在(0,)+上单调递增，因为111()e1xhxx==，11()e122h=，所以112x，故A错误；又12ln1122()e1,(ln)lne1xxhxxhxx====，所以12lnxx=

，12exx=，所以112121lnlnln()ln(e)ln10xxxxxx+====，故B正确；所以1222elnln1xxxx==，故C正确；又23122()e1()33hhx==，所以123x，结合112x，得11223x，因为

121=xx，所以12111xxxx+=+，且11223x，因为1yxx=+在区间12(,)23上单调递减，所以1123112322xx+++，即1213562xx+，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点

点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．12.已知集合1,3,21Am=

−−，集合23,Bm=，若BA，则实数m=____.【答案】1【解析】【分析】根据子集的定义求解.【详解】因为BA，所以221mm=−，即()210m−=，所以1m=.当1m=时，1,3,1A=−，3,1B=，满足BA，故1m=.故答案为：1.

13.从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种．【答案】54【解析】【分析】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，②第二种

情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，利用分步乘法计数原理可求不同的安排方案种数，从而可求总的方案数.【详解】①第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的

课代表，有13C3=种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有24C6=种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有22A2=种结果，所以不同的安排方案共有36236=种，②第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有23C3=种结果，再将四门不同学科分成两

堆，有2422C3A=种结果，将学科分给学生，有22A2=种结果，所以不同安排方案共有33218=种，综合得不同的安排方案共有361854+=种．故答案为：54.14.已知函数()()πsin0,2fxx=+，

如图，A，B，C是曲线()yfx=与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线()yfx=于点M，若直线AM，BM的斜率分别为37，3，则=__________．的【答案】π【解析】【分析】逆用“五点法”，表示点,,,BCMA的坐标，利用斜率可求.【详解】()0,sinB

，,0C−，2,sinM−−，π,0A−，则sin3π7sin3AMBMkk==+==，所以1π7=+，解得π6=

，可得π=.故答案为：π.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()2e211xfxxax=−++.（1）若12a=，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线；（2）讨论()fx的单调性；【答案】（1）10xy+−=（2）答案

见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分12a−，12a−和12a=−三种情况，进行求解函数的单调性.【小问1详解】当12a=时，函数()()2e21xfxxx=−+，则()01f=，切点坐标为

()0,1，()()2e1xfxx=−，则曲线()yfx=在点()0,1处的切线斜率为()01f=−，所求切线方程为()10yx−=−−，即10xy+−=.【小问2详解】()()2e211xfxxax=−++，函数定义

域为R，()()()()2e122e21xxfxxaxaxax=+−−=−+，①12a−，()0fx解得1x−或2xa，()0fx解得12xa−，所以()fx在(),1−−和()2,a+上单调递增，在()1,2a−上单调递减，②12a−，

()0fx解得2xa或1x−，()0fx解得21ax−，所以()fx在(),2a−和()1,−+上单调递增，在()2,1a−上单调递减，③12a=−，()0fx恒成立，()fx在(),−+上单调递增.综上，当12a−时，()fx在(),1−−和()2,a+上单调

递增，在()1,2a−上单调递减；当12a−时，()fx在(),2a−和()1,−+上单调递增，在()2,1a−上单调递减；当12a=−时，()fx在(),−+上单调递增.16.已知正项数列na的前n项和为nS，

且11a=，2218nnSSn+−=．（1）求nS；（2）在数列na的每相邻两项ka、1ka+之间依次插入1a、2a、L、ka，得到数列1:nba、1a、2a、1a、2a、3a、1a、2a、3a、4a、L，求nb的前20

项和20T．【答案】（1）21nSn=−，nΝ．（2）2034T=【解析】【分析】（1）当2n时，利用累加法可求得2nS的表达式，结合0nS可得出nS的表达式，再检验1n=的情形，综合可得出nS的通项公式；（2）

由11,1,2nnnSnaSSn−==−求出数列na的通项公式，列举出数列nb的前20项，即可求得20T的值.【小问1详解】解：对任意的nN，因为2218nnSSn+−=，当2n时，()()()222222121181811nnnSSSSSSn−=−+

+−+=−+++()()()2181231181212nnnn−=++++−+=+=−，因为0na，所以0nS，故21nSn=−．当1n=时，111Sa==适合21nSn=−，所以21nSn=−，nΝ．小问2详解】解：因为21nSn

=−，nΝ，所以当2n时，()()1212112nnnaSSnn−=−=−−−−=，所以，1,12,2nnan==，所以，数列nb的前20项分别为：1、1、2、1、2、2、1、2、2、2、1、2、2、2、2、1、2、2、2、2，所以nb的前20项

是由6个1与14个2组成．所以206114234T=+=．17.如图所示的空间几何体是以AD为轴的14圆柱与以ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为弧CD的中点.（1）求证：平面⊥BDF平面BCG；（2）当4AB=，平面BDF与平面ABG夹角的余弦值为15

5时，求点E到直线BG的距离.【答案】（1）证明见解析【（2）4213【解析】【分析】（1）过G作//GHBC交弧AB上一点，连结,,GHAHBH，由π2FBHABFABH=+=可得FBBH⊥，进而由线面垂直的

判定定理证明BF⊥平面BCG，从而由面面垂直的判定定理即可得证；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，设ADa=，利用向量法求平面BDF与平面ABG夹角的余弦值，而列方程求出a的值，从而向量法可求点E到直线BG的距离.【小问1详解】过G作//GHBC交弧AB

上一点，连结,,GHAHBH，如图所示：则H为弧AB的中点，则//GHBC且GHBC=，所以四边形HBCG为平行四边形，所以//HBCG.由题意可知，AFAB⊥，RtABF为等腰直角三角形，则π4ABF=；因为G为弧AB的中点，所以,AHBHAHBH⊥=,则RtAB

H△为等腰直角三角形，则π4ABH=，所以π2FBHABFABH=+=，则FBBH⊥,因为//HBGC，则FBCG⊥，又BCBF⊥，又因为BC、CG面BCG，BCCGC=所以BF⊥平面BCG，因为BF面BD

F，所以平面⊥BDF平面BCG.【小问2详解】由题意知，,,AFABAD两两垂直，所以A为坐标原点，以,,AFABAD分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示：设ADa=，又4AB=，则()0,0,0A，()4,0,0F，()0,4,0B，()0,0,Da，()2,2,Ga−，()0,4

,BDa=−，()4,4,0BF=−，()0,4,0AB=，()2,2,AGa=−，()2,2,BGa=−−，设平面BDF的一个法向量为()1111,,nxyz=，则1100nBDnBF==，即111140440yazxy−+=−=，令11y=，141,1,na=

，设平面ABG的一个法向量为()2222,,nxyz=，则2200nABnAG==，即222240220yxyaz=−++=，令21x=，221,0,na=，设平面BDF与平面ABG的夹角为212121222811

5coscos,5164111nnannnnaa+====+++，解得4a=（负舍），所以()2,2,4G−，()0,4,0B，()4,0,4E，则()2,2,4BG=−−，()4,4,4BE=−222

4213BEBGdBEBG=−=所以点E到直线BG的距离为4213.18.已知椭圆()2222:10xyMabab+=的离心率为12，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，1F为左焦点，且1ABF的

面积为32．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．（1）求椭圆M的标准方程；（2）求证：2QNQCkk−为定值，并求出此定值（其中QNk、QCk分别为直线QN和直线QC的斜率）．【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析，32【解析】【分析】（1

）由椭圆离心率和1ABF的面积，列方程组求出,ab，可得椭圆M的标准方程；（2）设直线PC或QC的方程，通过联立方程组求出,QN的坐标，代入2QNQCkk−中化简得定值．【小问1详解】由题意得()121322caacb=−=，又222c

ab=−，解得213acb===，∴椭圆M的标准方程为22143xy+=．【小问2详解】方法一：直线()3:22AByx=+，依题意可设直线:2PCxmy=+（0m且233m），（注：P不为椭圆顶点），由()24332322Qxmyymyx=+=−=

+，则423223QQmxmym+=+=−，所以42343,2323mQmm+−−，由()22222212341203412034Pxmymmymyyxym=+−++==+−=+，2268234PPPmxmyxm−+=+=+，所以2226812,3434mmPmm

−+−++，由B，P，N三点共线得BPBNkk=，即33PPNyxx−−=，得()()()()2222222233863868633423323341232PNPmmxmmxymmmmmm−−−−−=====−++++++，所以()43322342324232332QNmm

kmmmmm+−==−+−−+，所以3213222QNQCmkkmm+−=−=为定值．方法二：设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：()2ykx=−，又()0,3B，()2,0A−，直线AB的方程为()322yx=+，由()()2322ykxyx=−=+，解得(

)223234323kxkkyk+=−=−，所以()22343,2323kkQkk+−−，由()222143ykxxy=−+=，得()2222341616120kxkxk+−+−=，由()()422Δ25643416120kkk=−+−，

则221612234Pkxk−=+，所以228634Pkxk−=+，则()2228612223434PPkkykxkkk−−=−=−=++，∴2228612,3434kkPkk−−++，依题意B、P不重合

，所以2860k−，即32k，所以2222212343123334868634BPkkkkkkkk−−−−−+−−+==，∴直线BP的方程为22431233386kkyxk−−−=+−，令0y=，即224312333086kkxk−−−+=−，解得()22323kxk

−=+，∴()223,023kNk−+，∴()()4383121323241632232232323QNkkkkkkkkk+−===++−−−+，∴322QNQCkk−=为定值．方法三：设点()2cos,3sinP，则0，2π，π，由B，P，N

三点共线得BPBNkk=，即3sin332cos2cos1sinNNxx−−==−，()3:22ABlyx=+，()()3sin:22cos1CPlyx=−−，联立()()()3223s

in22cos1yxyx=+=−−，得()2sincos1sincos1Qx+−=−+，所以sincos122233sincos1sincos12cos222sincos11sinQQQNQNQNyxkxxxx+−+

+−+===+−−−−−+−()()()()2sin1sin331sin2sincos11sincossincos121cossin−−==+−−−−+−−，所以()1sinsin2231sincos2cos1QNQCQN

PCkkkk−−=−=−−−−()cossin311sincos2cos1=+−−−−()22cos2cossin1sincos3122coscossincos1s

in−−++=+−−−+133122=−=.方法四：设点()00,Pxy，则2200143xy+=（00x且02x）,由B，P，N三点共线得BPBNkk

=，即00003333NNyxxxxy−−==−，直线()3:22ABlyx=+，()00:22CPylyxx=−−，联立()()0032222yxyyxx=+=−−，得0000234432323Qxyxyx+−=−+，000432323Qyyyx=−+，所以00

00333223QQNQNyykxxxy−−==−+−，()2000000020000000023332236122232232343443QNQCyyxyyyxkkxxyxyxxy−−−−+−=−=−+−+−−+2000

002000003362363222343423xyxxyxyxxy+−−+==+−−+.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系

，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.设离散

型随机变量X，Y的取值分别为12,,,pxxxL，()12,,,,qyyypqNL．定义X关于事件“jYy=”()1jq的条件数学期望为()()1pjiiiiEXYyxPXxYy=====，已知条件数学期望满足全期望公式()()()1qj

jjEXEXYyPYy====．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药

物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．设第n天上午培养皿中A的个体数量为nX．规定()110E

X=，()10DX=．（1）求()24PX=，()434EXX=；（2）证明()10nEX=；（3）已知()()221nnEXXtttt−==+N，求()nDX，并结合（2）说明其实际含义．附：对于

随机变量X，()()()22DXEXEX=−．【答案】（1）()24541024Px==，()4344EXX==（2）证明见解析（3）()()101nDXn=−，含义见解析【解析】【分析】（1）事件24X=发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8

个死亡，计算可得()24Px=，方法一：4X的取值集合为0,2,4,6,8，求得()22412|4C16kPxkx===，计算可求()43|4Exx=；方法二：如果在第三天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得14,2KB，可求

()43|4Exx=；（2）随机变量Z表示第n1−天下午加入药物之后分裂的个体数目，则1,2ZBt且2nXZ=，可得1(|)nnEXXtt−==设1nX−的取值集合为12,,,rxxx，则由全期望公式可求得结论；（3）

由（2）可知2()nEX()2110nEX−=+，可求得()()2100101nEXn=+−，进而可得()nDX.【小问1详解】事件24X=发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡．所以()10221

01454C21024Px===．方法1．在事件34X=发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂，则4X的取值为()442kkk+−−=，所以4X的取值集合为0,2,4,6,8，()42244

112|4CC216kkPxkx====所以()012344444443CCCCC|40+246841616161616Exx==+++=，方法2．在事件34X=发生条件下，如果在第三天下午加入药物后，有K个

个体分裂，则14,2KB，()1422EK==，所以42XK=，()()4342224EXXEK====．【小问2详解】由（1）可类似得到：在事件1nXt−=发生的条件下，如果在第n1−天下午加入药物之后，有k个个体分裂，

则nX的取值为()2tktkk+−−=．在事件1nXt−=发生的条件下，令随机变量Z表示第n1−天下午加入药物之后分裂的个体数目，则1,2ZBt且2nXZ=．的因此11001(|)2(2|)2()2()22rrnnnn

kkEXXtkPXkXtkPZkEZtt−−===========．设1nX−的取值集合为12,,,rxxx，则由全期望公式可知111100()(|)()()()rrnnniniininkkEXEXXxPXxxPXxEX−−−−========．

这表明()nEX是常数列，所以()()110nEXEX==．【小问3详解】由（2）可知22111()(|)()rnnniniiEXEXXxPXx−−====()()()221111riininnixxPXxEXX−−−==+==+()2110nEX−=+．这表明()

2nEX是公差为10的等差数列．又因为()()()22111100EXDXEX=+=，所以()()2100101nEXn=+−，从而()()()()22101nnnDXEXEXn=−=−．可以看出，()nDX随着n的增大而增大，而()nEX为定值．这表明药物

的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大．【点睛】关键点点睛：理解期望与方差的计算公式，以及题意是解题的关键，以及二项分布的应用，属难题.