【文档说明】【精准解析】2021高中数学人教B版必修第三册：第八章测评.docx，共(10)页，94.102 KB，由envi的店铺上传

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第八章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=sin3x+cos3x的最小正周期是()A.

6πB.2πC.2π3D.π3解析由y=sin3x+cos3x,得y=√2√22sin3x+√22cos3x=√2sin3x+π4,可知该函数的最小正周期T=2π|𝜔|=2π3,故选C.答案C2.cos215°+cos275°+cos15°cos75°的值是()A.32B.√62C.

√34D.54答案D3.已知sin𝛼+2cos𝛼sin𝛼-2cos𝛼=5,则cos2α+12sin2α=()A.-25B.3C.-3D.25解析因为sin𝛼+2cos𝛼sin𝛼-2cos𝛼=5,所以tan𝛼+2tan�

�-2=5,解得tanα=3,cos2α+12sin2α=cos2𝛼+sin𝛼cos𝛼cos2𝛼+sin2𝛼=1+tan𝛼1+tan2𝛼=1+31+9=25,故选D.答案D4.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b

,则a与b的夹角θ是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,所以a2=b2=2a·b,|a|=|b|,所以cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=12𝑎2|𝑎|2=12.又θ∈[0

,π],所以θ=π3.答案B5.若cosθ=-35,且180°<θ<270°,则tan𝜃2的值为()A.2B.-2C.±2D.-12解析∵cosθ=-35,且180°<θ<270°,∴90°<𝜃2<135°,∴tan𝜃2=-√1-cos𝜃1+c

os𝜃=-2.答案B6.在三角形ABC中,若C>90°,则tanA·tanB与1的大小关系为()A.tanA·tanB>1B.tanA·tanB<1C.tanA·tanB=1D.不能确定解析在三角形ABC中

,因为C>90°,所以A,B都为锐角.则有tanA>0,tanB>0,tanC<0.又因为C=π-(A+B),所以tanC=-tan(A+B)=-tan𝐴+tan𝐵1-tan𝐴·tan𝐵<0,易知1-tanA·t

anB>0,即tanA·tanB<1.答案B7.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(√3sinA,sinB),n=(cosB,√3cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=()A.π6

B.π3C.2π3D.5π6解析因为m·n=√3sinAcosB+sinB·√3cosA=√3sin(A+B)=√3sinC=1-cosC,所以sinC+π6=12.又因为0<C<π,所以C+π6=5π6,故C=2π3.答案C8.已知sin(α+2β)=34,cosβ=13,α,β为锐角,则sin

(α+β)的值为()A.3√7-2√212B.3-2√1412C.3√7+2√212D.3+2√1412解析因为sin(α+2β)=34,cosβ=13,α,β为锐角,又cos2β=2cos2β-1=-79<0,所以

α+2β大于90°.由同角三角函数关系,可得cos(α+2β)=-√74,sinβ=2√23,所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]=sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ=34×13--√74×2√23=3+2√1412,故选D

.答案D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.已知曲线C1:y=cosx,C2:y=co

sx(cosx+√3sinx)-12,则下面的结论不正确的是()A.把C1上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再

把得到的曲线向右平移π6个单位,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π6个单位,得到曲线C2解析∵y=cosx(cosx+√3sinx)

-12=cos2x+√3sinxcosx-12=1+cos2𝑥2+√32sin2x-12=12cos2x+√32sin2x=cos2xcosπ3+sin2xsinπ3=cos2x-π3,∴将曲线C1上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

π6个单位,得到曲线C2.∴A,C,D不合题意,故选ACD.答案ACD10.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2a+b,则下列结论不正确的是()A.|b

|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗解析在△ABC中,由𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2a+b-2a=b,得|b|=2.由题得,|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,所以(

4a+b)·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.答案ABC11.函数f(x)=sin2x+√3cos2x的单调递增区间有()A.[-5π12,π12]B.[5π3,13π

6]C.[7π12,13π12]D.[19π12,25π12]解析f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin2x+π3,由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),即函数的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π

12(k∈Z),当k=0时,得-5π12,π12,当k=1时,得7π12,13π12,当k=2时,得19π12,25π12.故选ACD.答案ACD12.已知锐角α,β满足sinα-cosα=16,tanα+tanβ+√3tanαtanβ=√3,则()A.π4<

α<π2B.β<π4<αC.π4<α<βD.π4<β<α解析因为α为锐角,sinα-cosα=16>0,所以π4<α<π2.又tanα+tanβ+√3tanαtanβ=√3,所以tan(α+β)=tan𝛼+

tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽=√3,所以α+β=π3,又α>π4,所以β<π4<α.答案AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知cosα=35,α∈0,π2,则cosπ3+α=.解析因为cosα=35,α∈

0,π2,则sinα=45,所以cosπ3+α=cosπ3cosα-sinπ3sinα=12×35−√32×45=3-4√310.答案3-4√31014.已知sinα=3cosα,则cos2α=.解析因为sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,解得cos2α=110,sin2α=9

10,故cos2α=cos2α-sin2α=110−910=-45.答案-4515.给定两个长度为1的平面向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗和𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧𝐴𝐵⏜上变动,若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗,其中x,y∈R,则x+y的最大值是.解析建立如图所示的坐标系,则A(1,0),B(cos120°,sin120°),即B-12,√32.设∠AOC=α,则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(cosα,sinα).∵𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x

,0)+-𝑦2,√32y=(cosα,sinα),∴{𝑥-𝑦2=cos𝛼,√32𝑦=sin𝛼.∴{𝑥=sin𝛼√3+cos𝛼,𝑦=2sin𝛼√3,∴x+y=√3sinα+cosα=2sin(α+30°

).∵0°≤α≤120°,∴30°≤α+30°≤150°.∴当α=60°时,x+y有最大值2.答案216.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.解析设a,b的夹角为θ,因为|a|=1,|b|=2,所以|a+b|+|a-

b|=√(𝑎+𝑏)2+√(𝑎-𝑏)2=√5+4cos𝜃+√5-4cos𝜃.令y=√5+4cos𝜃+√5-4cos𝜃,则y2=10+2√25-16cos2𝜃.因为θ∈[0,π],所以cos2θ∈[0,1],所以y2∈[16,20],所以y∈[4,2√5],即|a+b

|+|a-b|∈[4,2√5],故|a+b|+|a-b|最小值为4,最大值为2√5.答案42√5四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)求值:sin65°+sin15°sin10°sin25°-cos1

5°cos80°.(2)已知sinθ+2cosθ=0,求cos2𝜃-sin2𝜃1+cos2𝜃的值.解(1)原式=sin(80°-15°)+sin15°sin10°sin(15°+10°)-cos15°cos80°=sin80°cos15

°sin15°cos10°=cos15°sin15°=2+√3.(2)由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ,又cosθ≠0,则tanθ=-2,所以cos2𝜃-sin2𝜃1+cos2𝜃=cos2𝜃-sin2𝜃-2sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+2cos2𝜃=1-t

an2𝜃-2tan𝜃tan2𝜃+2=1-(-2)2-2×(-2)(-2)2+2=16.18.(12分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,-sinβ),α,β均为锐角,且|a-b|=√105,(1)求c

os(α+β)的值;(2)若cosα=1213,求cosβ的值.解(1)由题意可得a-b=(cosα-cosβ,sinα+sinβ),∵|a-b|=√105=√(cos𝛼-cos𝛽)2+(sin𝛼+sin𝛽)2=√2-2cos(𝛼

+𝛽),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos2(𝛼+𝛽)=35.∵cosα=1213,∴sinα=√1-cos2𝛼=513,∴cosβ=cos

[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45×1213+35×513=6365.19.(12分)已知函数f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx(ω>0)的图像的相邻两条对称轴的距离为3π2.(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增

区间;(2)设α是第一象限角,且f32α+π2=2326,求sin(𝛼+π4)cos(4π+2𝛼)的值.解(1)因为f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx=1+cos2𝜔𝑥2+√32sin2ωx,所以f(x)=sin2ωx+π6+12的最小正周期

T=2π2𝜔=3π,解得ω=13,则f(x)=sin23x+π6+12.令2kπ-π2≤23x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)可得3kπ-π≤x≤3kπ+π2(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为[3𝑘π-π,3�

�π+π2](k∈Z).(2)因为f32α+π2=2326,即sinα+π2+12=cosα+12=2326,所以cosα=513,又α是第一象限角,所以sinα=1213,所以sin(𝛼+π4)cos(4π+2𝛼)=√22·sin𝛼+cos𝛼cos2�

�=√22(cos𝛼-sin𝛼)=-13√214.20.(12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为√210.(1)求tan(2α-β)的值.(2)若π2<α<π,0<β

<π2,求α+β.解(1)由三角函数的定义可知tanα=-43,所以tan2α=2×(-43)1-(-43)2=247.又由三角函数线知sinβ=√210.因为β为第一象限角,则cosβ=7√210,所以tanβ=17,所以tan(2α-β)=247-171+247×

17=16173.(2)因为cosα=-35,sinβ=√210,π2<α<π,0<β<π2,π2<α+β<3π2.所以sinα=45,cosβ=7√210,因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×7√210−35×√210=√22,又π2<α+β<3π2

,所以α+β=3π4.21.(12分)已知函数f(x)=sinx-2√3sin2𝑥2.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)求f(x)在区间[0,2π3]上的最小值.解(1)∵f(x)=sinx+√3cosx-√3=2sinx+π3-√3,∴f(x)的

最小正周期为2π.由2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z),得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6(k∈Z),∴f(x)的单调递减区间是[2𝑘π+π6,2𝑘π+7π6](k∈Z).(2)∵0≤x≤2π3,∴π3≤x+π3≤π,-√3≤f(x)≤2-√3.当x+π3=π,即x=2

π3时,f(x)取得最小值.∴f(x)在区间[0,2π3]上的最小值为f2π3=-√3.22.(12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,√3sin2x+m).(1)求函数f(x)的最小正周期和在

[0,π]上的单调递增区间;(2)当x∈[0,π6]时,-4<f(x)<4恒成立,求实数m的取值范围.解(1)∵f(x)=2cos2x+√3sin2x+m=2sin2x+π6+m+1,∴函数f(x)的最小正周期T=π,在

[0,π]上的单调递增区间为[0,π6],[2π3,π].(2)∵当x∈0,π6时,f(x)单调递增,∴当x=π6时,f(x)的最大值等于m+3.当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.由题设知{𝑚+3<4,𝑚+2>-4,解得-6<m<1.故实数m的取值范围是(-6,1).获得更多资源请扫

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