【文档说明】3.1.1 椭圆及其标准方程（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx，共(9)页，108.691 KB，由envi的店铺上传

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第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程【学习目标】课程标准学科素养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程

的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.直观想象2.数学运算3.数学抽象【自主学习】一．椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹．2.焦点：两个定点F

1，F2．3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|．4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常数)且2a|F1F2|．思考1:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？思考2：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“

小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？二．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系思考3：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？【小试牛刀】1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离

之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()(3)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，

则动点Q的轨迹为圆．()(4)方程x2b2＋y2a2＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()2.设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．

5C．8D．10【经典例题】题型一求椭圆的标准方程点拨：用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤1.定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．2.设方程：根据上述判断设方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)或

整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．3.找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4

,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)；(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－2)和－1，142的椭圆的标准方程．【跟踪训练】1求与椭圆x225＋y29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标

准方程．题型二已知椭圆的标准方程求参数点拨：根据椭圆方程求参数的取值范围1.给出方程x2m＋y2n＝1，其表示椭圆的条件是m＞0，n＞0，m≠n，其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在

y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0．2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式x2CA＋y2CB＝1，再研究其焦点的位置等情况．例2若方程x225－m＋y2m＋9＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是()A．

(－9,25)B．(－9,8)∪(8,25)C．(8,25)D．(8，＋∞)【跟踪训练】2若方程x2a2－y2a－12＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．题型三求椭圆轨迹方程方法1:直接法直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{

M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；例3-1点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－12，求点M的轨迹方程．方法2：定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察

、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可。例3-2如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P

的轨迹方程．方法3：代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点

法)．例3-3已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP中点Q的轨迹方程．题型四椭圆中的焦点三角形问题点拨：焦点三角形的常用公式1.焦点三角形的周长L＝2a＋2c．2.焦点三角形的面积S△F1MF2＝12|MF1||

MF2|sinθ,可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用余弦定理|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosθ＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|－2|MF1||MF2|cosθ求出|MF1|·|MF2|．3.此外，焦点三

角形的面积S△F1MF2＝b2tanθ2．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)例4如图所示，P是椭圆x24＋y23＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．【跟踪训练】3已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个

焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.【当堂达标】1.椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．7D．82.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是

(0，1)，则实数k的值是()A．1B．2C．3D．43.(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是()A.2B．1C．0.5D．0.34.若方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，则实

数m满足的条件是________．5.设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．6.一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个

动圆圆心的轨迹方程．【参考答案】【自主学习】一．常数2a＞二．x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)c2＝a2－b2思考1：点的轨迹是线段F1F2.思考2：当距离之和小于|F1F2|时

，动点的轨迹不存在．思考3：能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．【小试牛刀】1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.D【经典例题】例1解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝a2－c2＝

25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a2＋16b2

＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以椭圆的标准方程为y236＋x232＝1.(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－2)，－1，142代入椭圆的

一般方程，得4A＋2B＝1，A＋144B＝1，解得A＝18，B＝14，所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.【跟踪训练】1解：因为所求椭圆与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.设所

求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16①.又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a2＋152b2＝1，即9a2＋15b2＝1②.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x236＋y220＝1.例2

解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，

其轨迹方程为x216＋y27＝1.【跟踪训练】2解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．利用中点坐标公式，得x＝x0＋12，y＝y02，∴x0＝2x－1，y0＝2y.∵Q(x0，y0)在椭圆x2

4＋y2＝1上，∴x204＋y20＝1.将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得2x－124＋(2y)2＝1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是x－122＋4y2＝1.例2B解析：依题意有25

－m＞0，m＋9＞0，m＋9≠25－m，解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．【跟踪训练】2－4＜a＜0或0＜a＜3解析：方程化为x2a2＋y212－a＝1，依题意应有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．例3-1解：设点

M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝y－1x(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝y＋1x(x≠0)．由已知有y－1x·y＋1x＝－12，化简，得点M的轨迹方程为x22＋y2＝1(x≠0)．例3-2解：设动圆P和定圆B内切于点M

，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为x

216＋y27＝1.例3-3解：设P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得x＝xP2，y＝yP2，所以xP＝2x，yP＝2y，又点P在椭圆x24＋y28＝1上，所以（2x）24＋（2y）28＝1，即x2＋y

22＝1.例4解：由已知a＝2，b＝3，得c＝a2－b2＝4－3＝1.∴|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，即4＝

(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos60°.∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝4.∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝12

×4×32＝3.【跟踪训练】38解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.【当堂达标】1.D解析：根据椭圆

的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.2.B解析：椭圆方程可化为x2＋y24k＝1，由题意知4k>1，4k－1＝1，解得k＝2.3.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即x22＋y22k＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴2k>

2，故0<k<1.故选CD.4.mm＞12且m≠1解析：由方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，得m＞0，2m－1＞0，m≠2m－1，解得m＞12且m≠1.5.解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF

1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×2×4＝4.6.解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,

0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9．设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6．由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25

－9＝16．故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1．