【文档说明】2021-2022学年高中数学人教版必修3教案：3.3.1几何概型 2 含解析.doc，共(11)页，94.000 KB，由envi的店铺上传

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《几何概型》教学设计一、教学内容解析1.内容：几何概型2.内容解析：本节课是人教A版教材数学必修3第三章第三节的内容。“几何概型”这一章节内容是在安排“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型的内容进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容也是新课本中增加的

，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。本章主要学概率问题的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教学中要

求应适当，难度要控制，同时要接近生活，基本应以贴近生活的例题与习题为主。二、教学目标设置知识与技能目标：（1）通过本部分内容的学习，理解几何概型的意义、特点；掌握几何概型的概率公式：，会用公式计算几何概型。（2）会根据古典概型与几何概型的区别

与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（3）通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。过程与方法目标：（1）发现法教学

，通过师生共同对“问题链”的探究，运用观察、类比、思考、探究、概括、归纳的方法和动手尝试相结合体会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。（2）通过试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。情

感态度与价值观目标：本节课的主要特点是贴近生活，体会概率在生活中的重要作用，同时随机试验多，学习时养成勤学严谨的思维习惯。三、学生学情分析通过前面的学习，学生在已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，又学习了古典概型。在古典概型向几何概型的过渡时，以及实际背景如何转化为“测度”时，会

有一些困难。但只要引导得当，理解几何概型，完成教学目标，是切实可行的。基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择问题引导、事例讨论和归纳总结相结合的教学方法．与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察、分析、抽象概括、练习巩固各

个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。四、教学策略分析教学重点：（1）初步体会几何概型的意义，几何概型的概念和公式的应用，注意理解几何概型与古典概型的区别与联系。（2）在几何概型中把试验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应并计算相关的概率。教

学难点（1）在几何概型中把试验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，并且从中理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，进而熟练应用几何概型的概率公式计算相关事件发生的概率。（2）含有两个随机现象

的问题的解决方法。教学方法和教学手段的选择“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。结合本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、分析问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳几何概型的概

念及其概率公式，再通过具体实际问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索

概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对几何概型认识,使得学生对概念的认识不断深入。（2）在应用概念阶段,通过对事实过程的分析，帮助学生掌握用几何概型的概率公式计算概率。（3）考虑到我校的学生数学基础良好，思维活跃，具备一定

的分析问题和自主探究能力。因此在教学设计中强调学生主体地位，教师的主导作用，强调数学思想方法的渗透与运用。使学生在教师创设的问题情境中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主

体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神，希望加深学生对知识本质的理解。五、教学过程（整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的）师生活动设计意图（一）知识链接，复习提问老师：前面，我们共

同研究了古典概型，请大家回忆：古典概型有哪些特点？学生：1.基本事件的个数为有限个；2.每一个基本事件发生的可能性都相等。老师：古典概型的概率计算公式是什么形式？学生：。老师：可见，求古典概型中事件A的概率，

实际上就是要数清A所含的基本事件的个数与全部基本事件的个数，它们的比值就是这个事件的概率。接下来，我们共同研究几个问题，看看它们还是不是古典概型。温故而知新，通过复习旧知加强学生对以往知识的掌握，为后面总结古典概型与几何概型之

间的区别与联系做好铺垫。（二）创设情境，引入课题问题一在数轴上，从区间[0,1]随机取一个数，记“这个数大于0.5”为事件A，求事件A的概率。（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：应该是“区间[

0,1]上的任意一个数”。老师：既然这样，它的个数是怎样的？是不是等可能的？学生：个数是无限个，是等可能的。老师：那还是不是“古典概型”呢？1.以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3.反复强

化解决概率问题的一般方法学生：不是。老师：如何求解？学生：我觉得可以把全部的基本事件构造成数轴上从0到1的这条线段，把事件A的基本事件构造成这条线段上从0.5到1之间的线段，那么事件A的概率就可以用这两条线段的长度之比来计算。

结果应该是老师：非常好，请坐。他的想法对于我们解决此类问题非常重要。虽然，基本事件的个数为无限个，无法一一数清。但是，我们可以把事件A的基本事件和全部的基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。然后用它们的几何度量之比来求概率。问题二甲、乙两人玩转盘游戏.旋转转盘，当转盘停止时，指针可以指向

转盘上的任意位置。规定当转盘停止时指针指向红色区域，甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。（转盘被六等分）（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：转盘停止时，指针的位置。老师：个数怎样？是不是等可能的？学生：无限个，等可能。老师：如何求解？学生

：把全部基本事件构造成一个圆，把“甲胜”这个事件的基本事件构造成两个红色的扇形，然后用它们的面积之比来求概率。结果应该是。老师：回答正确，请坐。还是刚才的思想，不同的是，在这里我们构造成了扇形与圆。利用它们的面积之比来求概率。如果把转盘换成这样的，那概率是多少呢？（利用幻灯片展示）和步

骤，增强解题能力；4.丰富感性认知，呈现长度、面积、体积度量；5．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.学生：还是。老师：如果是这样的呢？（利用幻灯片展示）学生：老师：以上现象说明什么？学生：“甲胜”的

概率与红色区域的位置无关；只与红色区域的面积所占的比例有关。老师：很好。看问题三问题三一只海豚在一个长40m，宽30m，深20m的水池中自由游弋，求它距离池底与池壁均不小于5m的概率。（利用幻灯片展示）老师：这个问题中的基本事件是什么？学生：海豚在水池中的位置。老

师：个数怎样？是不是等可能的？学生：无限个，等可能。老师：如何求解？学生：把海豚的任意位置抽象为一个点，这样全部基本事件可构造成一个长为40m，宽为30m，高为20m的长方体。而把事件A的基本事件构造成一个长为30m，宽为20m，高为15m的长

方体。用它们的体积之比来求概率。即老师：仍是这样思想。只不过这里构造成了立体图形。用体积之比来求概率了。下面，我们回过头来总结一下以上三个问题的共同点。学生：（1）基本事件的个数都是无限个；（2）每个基本事件发生的可能性都相等；（3）都是利用几

何图形来求概率。老师：大家说得都很好。下面我来整合一下大家的发言。以上三个问题的共同点主要有以下三点：（写板书）（1）无限性：基本事件的个数都是无限个；（2）等可能：每个基本事件发生的可能性都相等；（3）成比例：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（

面积或体积）成比例。具备以上特点的概率模型就是我们今天要研究的主要内容。因为这种概率模型都需要借助几何图形来求解，所以我们称之为“几何概型”。（三）探求新知，形成概念老师：（板书标题）下面我们来明确一下几何概型的概念：（书写板书）一、几何

概型的概念：（1）无限性：基本事件的个数都是无限个；（2）等可能：每个基本事件发生的可能性都相等；（3）成比例：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。二、概率计算公式：公式中的长度、

面积或体积如何选择，取决于问题中的基本事件所构成的几何图形。到这里，我们已经掌握了两种概率模型——古典概型和几何概型。二者之间有怎样的区别与联系呢？学生：它们的共同之处在于：①等可能；②公式都是比的形式；它们的不同点在于：古典概型

中基本事件的个数是有限个；而几何概型中基本事件的个数是无限个。（利用幻灯片展示）老师：很好。再熟悉了古典概型和几何概型之后，我们来判断以下的概率问题的基本事件是什么，属于哪种概率模型？（利用幻灯片展示）判断下列概率问题的基本事件是什么，属于哪种概率模型?1．某人在一串10把不同的钥匙中随意取一把，

求一次就将门锁打开的概率。2．取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，求得到的两段长度都不小于10cm的概率。3．在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，求这粒豆子落在正方形的内切圆内的概率。学生：第一题中，基本事件是一串10把钥匙的任意一把．因为基本事件的个数是有限个，

且等可能。所以属于古典概型。1.通过学生探究发现，教师归纳总结形成概念，符合以学生为主体，教师为主导的课堂模式；2.明确古典概型与几何概型的区别与联系，梳理知识体系；3.解决概率问题的关键是分析随机试验的基本事件。引导学生自主探究分析问题中的基

本事件，形成能力，加强学生处理概率问题的能力。第二题中，基本事件是任意一个剪断绳子的位置。因为基本事件的个数是无限个，且等可能。所以属于几何概型。第三题中，基本事件是豆子落在正方形中的任意一个位置。因为基本事件的个数是无限个，且等可能

。所以属于几何概型。老师：很好，请坐。今后当我们遇到概率问题时，首先要像这样去判断这属于哪种概率模型，然后再用相应的概率公式去求解。看一道例题：（利用幻灯片展示）（四）应用举例，巩固概念例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，

求他等待的时间不多于10分钟的概率。下面我们采用“分组讨论”的方式来解决这个问题。开始！1.将实际问题转化为几何概型来求解，充分体现概率知识的现实意义；学生：（按照事先分好的小组展开讨论，并将讨论结果在展台上展示）变式1已知某

公交车每隔5分钟有一辆到站，某人到达该站的时间是任意的，求他候车时间不超过3分钟的概率。（利用幻灯片展示，由学生自行解决。最后老师指出问题的实质，与例1模型完全相同）变式2假设你家订了一份报纸，送报人每天早上7:30准时把报纸送到你家

，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（利用幻灯片展示，由学生自行解决。老师进行讲评）例2假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把

报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（利用幻灯片展示）老师：请大家分析，这个问题中的基本事件是什么？个数怎样？是不

是等可能的？学生：基本事件应该是送报人送报时间与父亲离家去工作时间的一种组合情况。个数为无限个且是等可能的。老师：很好，分析得很透彻。与前面的问题不同的是这里出现了两个随机事件。基本事件是由这两个随机事件的结果共同决定的。遇到这种问

题时，我们可以将这两个随机事件的结果分别设为两个变量。即：（板书）设送报人送报的时间为x，父亲离开家的时间为y。这样（x，y）就可以看成平面中的点。那么基本事件就可以构造成坐标系中的平面区域。试验的全部结果所构成的区域为（板书）这是一个正方形区域（利用幻灯片展示），它的面积。事件A所构

成的2.例1采用分组讨论的探究形式，培养学生的团队合作意识；3.在例1的讲解过程中，引导学生将预设的四种解法一一说出，拓展学生的解题思路，体现了数学的灵活性；4.通过教师的精炼点评，引导学生发现变式1中问题的实质；5.变式2的作用在于分散难点、建立例1与例2之间的联

系，用循序渐进的方式，引领学生突破难点；6.通过例2的讲解，使学生学会处理含两个随机事件的概率问题的方法；7.通过变式3巩固例2的学习成果，产生学生学习上的成就感。区域（板书）也就是图中的红色区域（利用幻灯片展示），它的面积。所以。今后，大家如果遇到基本事件是由两个随机事件的

结果共同决定的情况，就可以像这样把问题转化到坐标平面中去解决。看一个变式。变式3甲、乙两人约定在某咖啡厅见面,假定他们都在中午11:00-12:00之间随机到达，并说好先到者等后到者15分钟，求他们能够见面的概率

。（利用幻灯片展示）由学生自主解决，将答案展示在实物展台上。（五）归纳总结，知识梳理老师：下面我想请同学们谈一下，通过本堂课的学习你有哪些收获？（学生自由发言，老师归纳总结）老师：下面我来归纳一下大家的发言。（利用幻

灯片展示）当我们遇到一个概率问题时，首先应该分析基本事件是什么？个数怎样？是否是等可能的？如果是有限个且等可能，那就属于古典概型。接下来利用古典概型的概率公式求解；如果是无限个且等可能，那就属于几何概型。接下来，我们要把基本事件构造成适当的几何图形，再利用几何度量之比来求概率。通过总结梳

理本节课，乃至本章内容的知识脉络，培养程式化的解题习惯，形成科学严谨地思考方式。（六）思考外延，自主探究老师：最后给大家布置一个思考题。（利用幻灯片展示）我们知道任何随机事件的概率都可以通过大量重复试验

，用事件发生的频率估计概率。你能用随机模拟的方法，近似计算本节课例2中的概率吗？（包括手工的方法或计算器、计算机的方法）下节课，大家来交流研究成果。1.回顾概率概念中体现出来的用频率估计概率的方法；2.激发学生自主探究的兴趣；3.培养学生的实际动手能力；4.为下节课的教学埋下伏笔。（七）作

业布置，巩固收获教材142页，A组第3题；B组第1题。通过布置作业既巩固本节课的学习内容，又让学生有思考和提升的空间。