【文档说明】2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）（解析版）.pdf，共(30)页，750.500 KB，由envi的店铺上传

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2021年兰州市初中学业水平考试数学（A）一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．1.若40A，则A的余角为（）A.30°B.40°C.50°D.140°【答案】C【解析】【分析】根据余角的定义，90°减去A即可求得A的余角．【详解】40A

，A的余角为9050A．故选C．【点睛】本题考查了求一个角的余角，理解余角的定义是解题的关键．若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”．2.如图，该几何体的主视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】从正面看

，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置几何体判断出主视图图形即可．【详解】从正面看所得到的图形为故选B【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握

以上知识是解题的关键．3.计算：222aab（）A.34aabB.322aabC.24aabD.324aab【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘以多项式运算法则计算即可．【详解】解：232224aabaab，故选：D．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练

运用运算法则是解本题的关键．4.关于x的一元一次不等式58xx的解集在数轴上表示为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，并表示出数轴上即可．【详解】58xx解得2x将2x表示在数轴上，如图

故选B【点睛】本题考查了解一元一次不等式，并将不等式的解集表示在数轴上，数形结合是解题的关键．5.因式分解：34xx（）A.24xxxB.44xxxC.22xxxD.24xx【

答案】C【解析】【分析】先提公因式x，进而根据平方差公式因式分解即可．【详解】34xx2(4)22xxxxx故选C．【点睛】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．6.在平面直角坐标系xOy中，点3

,4A关于y轴对称的点B的坐标是（）A.3,4B.3,4C.3,4D.3,4【答案】D【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【详解】解：

点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），故选：D．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，明确关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键7.二次函数222yxx的图象的对称轴

是（）A.1xB.2xC.1xD.2x【答案】A【解析】【分析】将二次函数222yxx写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：222yxx2(1)1x．二次函数222yxx的图象的对称轴是1x．故选A．【点睛】

本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．8.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（）A.427B.29C.827D.2027【

答案】B【解析】【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解．【详解】解：解：由题意，在一个棱长为3

cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的小正方体，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正

方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，所以所求概率为62279．故选：B．【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．9.如图，点A在反比例函数0kyxx图象上，ABx轴于点B，C是O

B的中点，连接AO，AC，若AOC△的面积为2，则k（）A.4B.8C.12D.16【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线的性质得出4AOBS△，然后根据反比例函数k的几何意义得解．【详解】解：∵点C是OB的中点，AOC△的面积为2，∴4AOBS△,∵ABx轴于点B，∴142ABOB

,∴8ABOB,∴8k=，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．10.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距

离为3m时，最大的“”字高度为（）mmA.4.36B.29.08C.43.62D.121.17【答案】C【解析】【分析】根据题意，得CABFAD、90ABCADF，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．

【详解】根据题意，得CABFAD，且90ABCADF∴ABCADF△∽△∴BCDFABAD∴72.7343.62mm5BCADDFAB故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．11.如图，

将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则2ab（）A.12B.13C.24D.2

5【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得22ab，进而根据面积差以及三角形面积公式求得12ab，最后根据完全平方公式即可求得2()ab．【详解】菱形的对角线互相垂直平分，4个直角

三角形全等；,90ADHBAEDAHHAD，ADABBCCD，90DAB，四边形ABCD是正方形，又正方形ABCD的面积为13，正方形的边长为13，根据勾股定理，则22213abAB，中间空白处的四边形E

FGH的面积为1，4个直角三角形的面积为13112，112432ab，212ab，222()2ababab，2ab121325．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式

，求得12ab是解题的关键．12.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，60ABC，15BCE，223ED，则AD（）A.4B.3C.22D.2【

答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得ABC是等边三角形，可得32OBBC，进而根据15BCE，可得45ECO，进而可得OCOE,根据DEOEOD，223ED，ADBC，即可求得

AD．【详解】四边形ABCD是菱形，ACBD,,,AOOCBOODABBC，60ABC，ABC是等边三角形，1360,,sin22ACBBACOCBCOBBCACBBC，15BCE，601545EC

OACB，ACBD，45CEO，OCOE，223DEOEODOEOB，即1322322BCBC，4BC，4ADBC．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用

以上知识是解题的关键．二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．13.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升1m记作1m，则下降2m记作______m．【答案】-2【解析】【分析】根据正负数的意义

即可解答．【详解】解：下降2m记作-2m．故答案为：-2【点睛】本题考查了正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．14.将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．【答案】①.BC②.DE③.内错角

相等，两直线平行【解析】【分析】根据三角板的角度可知90BCADEF，根据内错角相等，两直线平行判断即可．【详解】解：一副三角板如图摆放，∴90BCADEF，∴//BCDE（内错角相等，两直线平行），故答案为：BC；DE

；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．15.如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n，传送带上的物品A被传送6πcm，则n______．【答

案】108【解析】【分析】根据传送的距离等于转动了n的圆弧的长，进而即可求得n．【详解】106180n解得108n．故答案为：108．【点睛】本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．16.如图，在矩形ABCD中，1AB，3AD．①以

点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于12CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为_____

_．【答案】524【解析】【分析】由作图步骤可知AG是BAD的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=2，因为AD∥BQ，所以ADOQBO△∽△，则ADAOBQOQ，即321OQOQ，解得OQ=24，所以OG=OQ+QG=524．【详解】由题意

可知：AG是BAD的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，BAQAQB=45°，BQ=AB=1，在RtABQ中，222AQQGABBQ，AD∥BQ，ADOQBO△∽△ADAOBQOQ，即

321OQOQ，解得OQ=24，OG=OQ+QG=524．【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算．三、解答题：本大题共12小题，共72分．

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：4363【答案】52【解析】【分析】根据二次根式的性质进行乘法运算后，再化为最简二次根式进行合并同类项即可．【详解】436346363

=818=2232=52．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质及其运算法则是解题的关键．18.先化简，再求值：22611931mmmmm，其中4m．【答案】11m

，13【解析】【分析】先将除法转化为乘法，因式分解，约分，分式的减法运算，再将字母的值代入求解即可．【详解】22611931mmmmm2(3)31(3)(3)11mmmmmm2111mm11m．当4m时，原式11413

．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．19.解方程：x2+4x﹣1=0．【答案】x1=﹣2+5，x2=﹣2﹣5．【解析】【详解】试题分析：方程变形后，利用配方法求出解即可．试题解析：方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+

2）2=5，开方得：x+2=±5，解得：x1=﹣2+5，x2=﹣2﹣5．考点：解一元二次方程-配方法20.如图，点E，C在线段BF上，AD，//ABDE，BCEF，求证：ACDF．【答案】见解析【解析】【分析

】由//ABDE可得，ABCDEF，进而根据AAS证明ABCDEF△≌△，即可证明ACDF．【详解】//ABDE，ABCDEF，在ABC与DEF中，ADABCDEFBCEFABCDEF

≌（AAS），ACDF．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．21.如图，一次函数12yxb与反比例函数100yxx，0kyx

x图象分别交于2,Am，4,Bn，与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求反比例函数0kyxx和一次函数12yxb的表达式；（2）求AOB的面积．【答案】（1）80yxx，142yx；（2）12．【解析】【

分析】（1）把点A的坐标代入100yxxm的值，得出A的坐标代入12yxb，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得0kyxx的解析式；（2）根据一次函数解析式求得点

C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积；【详解】解：（1）∵2,Am，在函数100yxx的图象上，∴m=5，∴A(-2，5)，把A(-2，5)代入12yxb得：15(2)2b，∴b=4，∴一次函数12yxb的表达

式为：142yx，∵4,Bn在函数142yx的图象上，∴n=2，∴4,2B，把4,2B代入0kyxx得：2=4k，∴k=8，∴反比例函数的解析式为：80yxx；（2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：14

2yx，∴当x=0时，y=4，∴点C（0，4），即OC=4，∵A(-2，5)，4,2B，∴AOBAOCBOCSSS△△△=12×4×2+12×4×4=12；【点睛】本题考查了反比例函数与

一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键．22.避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线）

，在水平地面A点测得53CAB，58DAB，A点与大楼底部B点的距离20mAB，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60，sin530.80，c

os530.60，tan531.33）【答案】5.4m【解析】【分析】根据tan,tanCBDBCABDABABAB，然后根据CDBDBC即可得出答案．【详解】解：∵BCAB，∴90ABC，∵53CAB，20mAB，∴tanB

CCABAB，即tan5320BC，解得：26.6BCm，∵58DAB，∴tanBDDABAB，即tan5820BD，解得：32BDm，∴3226.65.4CDBDBCm．【点睛】本题

考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．23.小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，1l，2l分别表示小军与观光车所行的路程m

y与时间minx之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发______分钟追上小军；（2）求2l所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．【答案】（1）6；（2）

300-4500yx；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【解析】【分析】（1）由图像可知，1l，2l的交点，即为两者到达同一位置，所以在21分钟时观光车追上小军，而观光车是在15分钟时出发的，所以观光车出发

6分钟后追上小军；（2）设2l所在直线对应的函数表达式为ykxb，将经过两点（15,0）和（21,1800）带入表达式ykxb，得300-4500yx；（3）由图像可知，到达观景点需要3000m的路程，小军到达观景点的时间为33min，通过2l所在直

线对应的函数表达式300-4500yx，可知，观光车到达观景点的时间为25minx，因此观光车比小军早33min25min8min到达观景点．【详解】解：（1）由图像可知，在21min时，1l，2l相交于一点，表示在21min时，小军和观光车到达

了同一高度，此时观光车追上了小军,观光车是在15min时出发,∴21min-15min=6min,∴观光车出发6分钟后追上小军；（2）设2l所在直线对应的函数表达式为ykxb，由图像可知，直线2l分别经过（15,0）和

（21,1800）两点，将两点带入2l函数表达式ykxb得：150211800kbkb解得：3004500kb∴2l函数表达式为300-4500yx；（3）由图像可知，到达观景点需要30

00m的路程，小军到达观景点的时间为33min，∵观光车2l函数表达式为300-4500yx，∴将=3000y带入300-4500yx，可知观光车到达观景点所需时间为=25minx，∴33min-25min=8min，∴观光车比

小军早8分钟到达观景点．答：（1）观光车出发6分钟追上小军；（2）2l所在直线对应的函数表达式为300-4500yx；（3）观光车比小军早8分钟到达观景点，理由见解析．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．24.2021年2月25日，习近平

总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数

量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率年份、统计量名称20132014201520162017201820192020平均数贫困地区农村居民年人均可支配收入/元6

07968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/％16.512.711.710.410.910.611.58.811.6全国农村居民年人均可支配收入增长率/％12.411.28.98.28.68.89.66.99.3请根据以上

信息，解决下列问题：（1）2019年底中国农村贫困人口数量为______万人．（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为______元．（3）下列结论正确的是______（只填序号）．①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫

困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6％，增长持续快于全国农村；③2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．【答案】（1）551；（2）6509；（3）

①②③【解析】【分析】（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可求得；（2）根据信息三中的表格数据，以及极差的定义即可求得，极差：一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差；（3）根据信息一可得①正确，根据信息三中的表格数据，求得平

均年增长率，并且观察每一年的数据贫困地区农村居民人均可支配收入增长率快于全国农村的可支配收入增长率，即可判断②，根据信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入，计算2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入减去中央财政专项扶贫资金即可判断③．【详解】（1）根

据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；故答案为：551（2）1258860796509故答案为：6509（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐

年减少，最终全部脱贫，故①正确；②1(16.512.711.710.410.910.611.58.811.6)11.69，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全

国农村；故②正确；③2016年:170066510351000，2017年：222086513551000，2018年：2780106517151000，2019年：3160126518951000，2020

年：3520146520551000，2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确故答案为：①②③．【点睛】本题考查了求极差，平均数，折线统计图，条形统计图，从表格或统计图获取

信息是解题的关键．25.在RtABC△中，90ACB，6cmAC，8cmBC，将BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且ACFB（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为cm08xx，A，F两点间

的距离为cmy．小刚根据学习函数的经验，对因变量y随音自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；cmx0

0.511.522.533.544.55678cmy6.005.765.535.315.094.884.694.504.334.174.023.793.65a请你通过计算补全表格：a______；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点,xy，并画

出函数y关于x的图像；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势；（4）解决问题：当AFCD时，BD的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）【答案】（1）3.6；（2）见解析；（3）随着自变量x的不断增大，函数y不

断减小；（4）3.50【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，证明ACFABC∽，根据相似三角形性质可得结果；（2）描点连线画出图形即可；（3）根据（2）画出图像判断增减性即可；（4）根据AFCD，可得8yx，画出8yx与（2）中图

像交点即为所求．【详解】解：（1）当8x时，即,BD两点之间的距离为8cm，旋转至如图所示时：∴此时点D和点C重合，∵ACFB，FACCAB，∴ACFABC∽，∴AFACACAB，∵6cmAC，8cmBC，90ACB

，∴2210()ABACBCcm，∴3.6AFcm，∴3.6a，故答案为：3.6；（2）函数图像如下图：；（3）根据图像可知：随着自变量x的不断增大，函数y不断减小；（4）∵AFCD，,8BDxAFCDx∴8yx，如

图：8yx与（2）中函数图像交点即为所求∴3.50x，即BD的长度大约是：3.50cm，故答案为：3.50．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，动点问题的函数图像，读懂题意，运用数形结合的思想解题是关键．26.如图，ABC内接于O，AB是O的直径，E为AB上一点，

BEBC，延长CE交AD于点D，ADAC．（1）求证：AD是O的切线；（2）若1tan3ACE，3OE，求BC的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）根据BEBC，可得BECBCE，根据对顶角相等可得AEDBEC，进而可得BCEAED

，根据ADAC，可得ADCACE，结合90ACB，根据角度的转化可得90AEDD，进而即可证明AD是O的切线；（2）根据ADCACE，可得1tantan3EADACEDA，设AEx，则3ACADx，分别求得,,ACABBC，进而根据勾股

定理列出方程解方程可得x，进而根据6BCx即可求得．【详解】（1）BEBC，BECBCE，AEDBEC，BCEAED，ADAC，ADCACE，AB是直径，90ACB，90DAEDACDBCEACB

，AD是O的切线；（2）ADAC，ADCACE，1tantan3EADACEDA，设AEx，则3ACADx，3,336OBOAAEOExBCBEOEOBxx，226ABOAx，在RtABC中，222A

CBCAB，即2223626xxx，解得122,0xx（舍去），68BCx．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件

转化是解题的关键．27.已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．【探究建模】（1）如图1，当点E在边AB上时，DEDF，且B，C，F三点共线．求证：AECF；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DEDF，AEEF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，D

E之间的数量关系；【拓展迁移】（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AEEC，AEAF，DEBE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若3DF，2AE，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）2AECEDE

；理由见解析（3）42【解析】【分析】（1）根据正方形性质以及题意证明ADECDFVV≌即可得出结论；（2）根据已知条件证明()ADECDFAAS≌，然后证明EDF为等腰直角三角形即可得出结论；（3）先证明()BAEDAFAAS≌，得出FAE为等腰直

角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出,CHEH的长度，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，B，C，F三点共线，∴,90DCDADAEDCF,∵DEDF，∴90ADCEDF，∴ADECDF

,在ADE和CDF中，DAEDCFDADCADECDF,∴()≌ADECDFASA,∴AECF;（2）∵DEDF，四边形ABCD是正方形，∴90ADCEDF,ADCD,∴ADECDF,∵AEEF，DEDF，∴90

,90DEFFAEDDEF,∴AEDF,在ADE和CDF中，ADECDFAEDFADCD,∴()ADECDFAAS≌,∴,DEDFAECF,∴EDF为等腰直角三角形，

∴2EFDE,即2AECEDE；（3）过点D作DHCE于点H，连接BD，∵90DFAFAEFEAFEA，∵90AEBFEADEBFEA，∴AEBDFA，∵90,90BAEFABDAFFAB,∴BAEDAF

，在BAE和DAF△中，BAEDAFBEADFABADA,∴()BAEDAFAAS≌,∴3DFBE，2FAEA，∵2AEFA且FAAE,∴FAE为等腰直角三角形，∴222EF，

在RtDEB中，325,3DEBE,∴225334DB,∵BD是正方ABCD对角线，∴34172ADCD,∵45FEA∴45DEC,∴DHE为等腰直角三角形，∴522DHEH,∴在RtDHC中，22322CHDCDH,∴35224222CEC

HEH．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键．28.如图1，二次函数34yaxx的图象交坐标轴于点A，0,2B，点P为x轴上一动点．（1）求二次函数34yaxx

的表达式；（2）过点P作PQx轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当1OP时，求ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD．①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；②点52,3E在抛物线上，连接PE，当PE平分BPD时，直接写出点P的坐

标．【答案】（1）211266yxx；（2）34；（3）①(3,1)D或(8,10)；②1(,0)3或(2,0)．【解析】【分析】（1）根据B点的坐标以及已知条件，将B的坐标代入即可求得a的值，进而求得抛物线的解析式；（2）依题意根据（1）的解析式求得A的坐标，进而求得1t

an2OAB，据此求得PQ，根据1OP进而求得C的坐标，根据12ACQSQCAP△即可求得ACQ的面积；（3）①过D作DFx轴，分D点在x轴上方和下方两种情况讨论，证明BOPPFD△≌△，设(,0)Pa，(2,)Daa将点D的坐标代入（1）中

抛物线解析式中即可求得D点的坐标情形2，方法同情形1；②分当PE不平行于y轴和//PEy轴两种情况讨论，当当PE不平行于y轴时，过点B作BMBP交PE于点M,过点M作MHOB于点H，证明BOPMHB△≌△进而可得P的坐标，当//PEy轴时，结合已知条件即可

求得P的坐标．【详解】（1）二次函数34yaxx的图象经过0,2B122a解得16a34yaxx1(3)(4)6xx211266yxx（2）由1(3)(4)6yxx，令0y解得123,4xx(4,0),4AOA21t

an42OBOABOA当1OP时，413PAOAOP13tan322PQPAOAB1Cx,则1131426Cy111332224ACQSQCAP△；（3）如图，当点D在x轴下方时

，过点D作DFAP于点F，由211266yxx，令0x，解得2y(0,2)B\-，2OB90FPDPDF，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD，90BPD90OPBFPDOPBPDF90,BOPPFDPBDPBOPP

FD△≌△2BOPF，OPDF，设(0)OPDFaa，2OFOPPFa(2,)DaaD点在抛物线上，123246aaa解得121,10aa（舍）(3,1)D

当点D在x轴上方时，如图，过点D作DFAP于点F，设OFa(0)a同理可得BOPPFD△≌△2,2BOPFDFOPa(,2)DaaDQ点在抛物线上，13426aaa解得128,3aa（舍去），(8,10)

D综上所述，(3,1)D或(8,10)；②当PE不平行于y轴时，过点B作BMBP交PE于点M,过点M作MHOB于点H，如图，PE平分BPD，PDPB，45BPE，BPBM,90HBMPBO，90,BOPBHMPBBM90HBM

PBO90BPOPBOBPOHBM90,BOPBHMPBBMBOPMHB△≌△2HMOB2Mx当PE不平行于y轴时，,EM重合，BOPMHB△≌△，52,3E51233O

PBHOBOH1(,0)3P当PE//y轴时，如图，此时PExx则(2,0)P综上所述，当PE平方BPD时，点P的坐标为1(,0)3或(2,0)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三

角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com