【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2006年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）.docx，共(14)页，443.612 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答

题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题满分48分）1．已知集合A＝{－1，

3，2m－1}，集合B＝{3，2m}．若BA，则实数m＝．2．已知圆2x－4x－4＋2y＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是．3．若函数)(xf＝xa（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a＝．4．计算：1lim3

3+→nCnn＝．5．若复数z同时满足z－−z＝2i，−z＝iz（i为虚数单位），则z＝．6．如果cos＝51，且是第四象限的角，那么)2cos(+＝．7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆

的标准方程是．8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，3），B（5，－65），则△OAB的面积是．9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一

部小说的概率是（结果用分数表示）．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．1

1．若曲线2y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是．12．三个同学对问题“关于x的不等式2x＋25＋|3x－52x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不

小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是．

二．选择题（本大题满分16分）13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是[答]（）（A）→−−AB＝→−−DC；（B）→−−AD＋→−−AB＝→−−AC；（C）→−−AB－→−−AD＝→−−BD；（D）→−−AD＋→

−−CB＝→0．14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的[答]（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．15．若关于x的不等式xk)1(2+

≤4k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[答]（）（A）2∈M，0∈M；（B）2M，0M；（C）2∈M，0M；（D）2M，0∈M．16．如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对（p，q）是

点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．上

述命题中，正确命题的个数是[答]（）（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）ABCD1l2lOM（p，q）求函数y＝2)4cos

()4cos(−+xx＋x2sin3的值域和最小正周期．[解]18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息

告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥

P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成

角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]（1）北2010AB••CPABCDOE（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l

过点T（3，0），那么→−−OA→−−OB＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题

满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{na}共有2k项（整数k≥2），首项1a＝2．设该数列的前n项和为nS，且1+na＝nSa)1(−＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1．（1）求证：数列{na}是等比数列；（2）若a＝2122−k

，数列{nb}满足nb＝)(log1212naaan（n＝1，2，┅，2k），求数列{nb}的通项公式；（3）若（2）中的数列{nb}满足不等式|1b－23|＋|2b－23|＋┅＋|12−kb－23|＋|kb

2－23|≤4，求k的值．[解]（1）（2）（3）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y＝x＋xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞

)上是增函数．（1）如果函数y＝x＋xb2（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；（2）研究函数y＝2x＋2xc（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y＝x＋xa和y＝2x＋2xa（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论

，不必证明），并求函数)(xF＝nxx)1(2+＋nxx)1(2+（n是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）（2）（3）上海数学(理工农医类)参考答案2006年高考上海数学试卷（理）一．填空题1．解：由2211mmm=−=

，经检验，1m=为所求；2．解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：|201|2211d−−==+；3．解：由互为反函数关系知，)(xf过点(1,2)−，代入得：1122aa−==；4．解：33

223333321(1)(2)321limlimlimlim161(1)3!(1)3!(1)3!nnnnnCnnnnnnnnnnnn→→→→−+−−−+====++++；5．解：已知2211iZiZiZii−===−−；6．解：已

知226cos()sin(1cos)25+=−=−−−=；7．解：已知222222242,23161164(23,0)babcyxaabcF====+=−=−为所求；

8．解：如图△OAB中，554,5,2(())366OAOBAOB===−−−=1545sin526AOBS==(平方单位)；9．解：分为二步完成：1)两套中任取一套，再作全排列，有124CP种方法；2)剩下的一套全排列，有4P种方法；所以，所求概率为：124481

35CPPP=；10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；11．解：作出函数2||1=+yx的图象，如右图所示：所以，0,(1,

1)kb=−；12．解：由2x＋25＋|3x－52x|≥225,112|5|axxaxxxx++−，而2525210xxxx+=，等号当且仅当5[1,12]x=时成立；且2|5|0xx−，等号当且仅当5[1,12]x=时成立；所以，2min25[|5|]10axxxx

++−=，等号当且仅当5[1,12]x=时成立；故(,10]a−；二．选择题（本大题满分16分）13．解：由向量定义易得，（C）选项错误；ABADDB−=；14．解：充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上

，可推出“这四个点在同一平面上”；2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（A）15．解：选（A）方法1：代入判断法，将2,0xx==分别代入不等式中，判断关于

k的不等式解集是否为R；方法2：求出不等式的解集；16．解：选（D）①正确，此点为点O②正确，注意到,pq为常数，由,pq中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一

直线的距离为q（或p）；③正确，四个交点为与直线1l相距为p的两条平行线和与直线2l相距为q的两条平行线的交点；三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）求函数2cos()cos()3sin244yxxx=+−+的值域和最小正

周期．[解]2cos()cos()3sin244yxxx=+−+ABCD22112(cossin)3sin222cos23sin22sin(2)6xxxxxx=−+=+=+∴函数2cos()cos()3sin244yxxx=+−+

的值域是[2,2]−,最小正周期是；18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿

直线前往B处救援（角度精确到1）？[解]连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=107.∵710120sin20sin=ACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB<9

0°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为

60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=A

Bsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.PABCDOE∴四棱锥P-ABCD的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角

坐标系.在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－3,0),B(1,0,0),D(－1,0,0),P(0,0,3).E是PB的中点,则E(21,0,23)于是DE=(23,0,23),AP=(0,3,3).设AP与DE的夹角为θ,有cosθ

=4233434923=++,θ=arccos42,∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos42；解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或

它的补角)，在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP，于是,在等腰Rt△POA中，PA=6，则EF=26.在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=3，cos∠FED=34621=DEEF=42∴异面直

线DE与PA所成角的大小是arccos42.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点．（1）求证

：“如果直线l过点T（3，0），那么→−−OA→−−OB＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l

的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴OBOA=3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为(3)ykx=−，其中0k，由22(3)yxykx==−得2122606kyykyy−−==−又∵2211221

1,22xyxy==，∴2121212121()34OAOBxxyyyyyy=+=+=，综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OBOA=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OBOA=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假

命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OAOB=3,直线AB的方程为：2(1)3yx=+，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OBOA=3，可得y1y2=－6，或y1

y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{na}共有2k项（整数k≥2），首项1a＝2．设该数列的前

n项和为nS，且1+na＝nSa)1(−＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1．（1）求证：数列{na}是等比数列；（2）若a＝2122−k，数列{nb}满足nb＝)(log1212naaan

（n＝1，2，┅，2k），求数列{nb}的通项公式；（3）若（2）中的数列{nb}满足不等式|1b－23|＋|2b－23|＋┅＋|12−kb－23|＋|kb2－23|≤4，求k的值．(1)[证明]当n=1时,a2=2a,则12aa=a；2≤n≤2k－1时,a

n+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴nnaa1+=a,∴数列{an}是等比数列.(2)解：由(1)得an=2a1−n,∴a1a2…an=2na)1(21−

+++n=2na2)1(−nn=212)1(−−+knnn,bn=1121]12)1([1+−−=−−+knknnnn(n=1,2,…,2k).（3）设bn≤23,解得n≤k+21,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<23；当n≥k+1时,bn>23.原式=(23－b1)+(2

3－b2)+…+(23－bk)+(bk+1－23)+…+(b2k－23)=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)=]12)10(21[]12)12(21[kkkkkkkkk+−−+−+−−+=122−kk.当122−kk≤4,得k2－8k+4≤0,4－23≤k

≤4+23,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y＝x＋xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y

＝x＋xb2（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；（2）研究函数y＝2x＋2xc（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y＝x＋xa和y＝2x＋2xa（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的

单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xF＝nxx)1(2+＋nxx)1(2+（n是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）函数y=x+xb2(x>0)的最小值是2b2，则2b2=6,∴b=log29.(2)设0

<x1<x2,y2－y1=)1)((2221212221212222xxcxxxcxxcx−−=−−+.当4c<x1<x2时,y2>y1,函数y=22xcx+在[4c,+∞)上是增函数；当0<x1<x

2<4c时y2<y1,函数y=22xcx+在(0,4c]上是减函数.又y=22xcx+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c]上是减函数,在[－4c,0)上是增函数；(3)可以把函数推广为y=nnxax+(常数a>0),其中n是正整数.当n是

奇数时,函数y=nnxax+在(0,na2]上是减函数,在[na2,+∞)上是增函数,在(－∞,－na2]上是增函数,在[－na2,0)上是减函数；当n是偶数时,函数y=nnxax+在(0,na2]上是减函数,在[na2,+∞)上是增函数,在(－∞,－n

a2]上是减函数,在[－na2,0)上是增函数；F(x)=nxx)1(2++nxx)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnnnrnrnrnnnnnnnxxCxxCxxCxxC++++++++−−−−因此F(x)在[21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.所

以，当x=21或x=2时，F(x)取得最大值(29)n+(49)n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1；