【文档说明】第01讲 圆锥曲线经典题型全归纳（原卷版）-2023年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）.docx，共(15)页，3.261 MB，由envi的店铺上传

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第01讲圆锥曲线经典题型全归纳【题型归纳目录】题型一：向量搭桥进行翻译题型二：弦长、面积问题题型三：斜率之和、积、差、商问题题型四：定值问题题型五：定点问题题型六：三点共线问题题型七：中点弦问题题型八：四点共圆问题题型九：切线问题【知识点梳理】知识点一、直线和曲线联立（1）椭圆22221(0

)xyabab+=与直线:lykxm=+相交于AB两点，设11()Axy，，22()Bxy，22221xyabykxm+==+，222222222()20bkaxakmxamab+++−=椭圆22221(00)xyabab+=，与过定点

(0)m，的直线l相交于AB两点，设为xtym=+，如此消去x，保留y，构造的方程如下：22221xyabxtym+==+，222222222()20atbybtmybmab+++−=注意：①如果直线没有

过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出0，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．②焦点在y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．（2）抛物线22(0)ypxp=与直线xtym=+相交于AB、两点，设11

()Axy，，22()Bxy，联立可得22()yptym=+，0时，121222yyptyypm+==−特殊地，当直线AB过焦点的时候，即2pm=，222212121212224yyyypmpxxppp=−=−==，，因为AB为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来

记忆．抛物线22(0)xpyp=与直线ykxm=+相交于CD、两点，设11C()xy，，22D()xy，联立可得22()xpkxm=+，0时，121222xxpkxxpm+==−注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多

思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，

转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．知识点二、根的判别式和韦达定理22221(0)xyabab+=与ykxm=+联立，两边同时乘上22ab即可得到22222222()2()0akbx

kmaxamb+++−=，为了方便叙述，将上式简记为20AxBxC++=．该式可以看成一个关于x的一元二次方程，判别式为2222224()abakbm=+−可简单记2224()abAm−．同理22221(0)xyabab+=

和xtym=+联立222222222()20atbybtmybmab+++−=，为了方便叙述，将上式简记为20AyByC++=，2222224()abatbm=+−，可简记2224()abAm−．l与C相离0

；l与C相切0=；l与C相交0．注意：（1）由韦达定理写出12BxxA+=−，12CxxA=，注意隐含条件0．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把2

a，2b互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把2b换成2b−即可；焦点在y轴的双曲线，把2a换成2b−即可，2b换成2a即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判

断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．知识点三、弦长公式设1

1()Mxy，，22()Nxy，根据两点距离公式221212||()()MNxxyy=−+−．（1）若MN、在直线ykxm=+上，代入化简，得212||1MNkxx=+−；（2）若MN、所在直线方程为xtym=+，代入化简，得21

2||1MNtyy=+−（3）构造直角三角形求解弦长，||MN2121|||||cos||sin|xxyy−−==．其中k为直线MN斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为0k，0m时，1mk=；（2）直线上任

何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为20(0)AxBxCA++=，判别式为24BAC=−，0时，2121212()4xxxxxx−=+−224()4BCBACAAA−=−−=A=，利用求根公式推导也很方便

，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．知识点四、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程（1）AB是椭圆()22

221.0xyabab+=的一条弦，中点()00,Mxy，则AB的斜率为2020bxay−，运用点差法求AB的斜率；设()11,Axy，()()2212,Bxyxx，A，B都在椭圆上，所以221122222222

11xyabxyab+=+=，两式相减得22221212220xxyyab−−+=所以()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=即()()()()22121202212120yybxxbxxxayyay−+

=−=−−+，故2020ABbxkay=−（2）运用类似的方法可以推出；若AB是双曲线()22221.0xyabab−=的弦，中点()00,Mxy，则2020ABbxkay=；若曲线是抛物线()220ypxp=，则0ABpky=．

知识点五、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．知识点六、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定

定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解

为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明．知识点七、证明共线的方法（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2

）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，

则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．知识点八、证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明

这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连

成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被

证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．知识点九、切线问题（1）若点()00,Pxy是圆222xyr+=上的点，则过点P的切线方程为0xx+20yyr=．（2）若点

()00,Pxy是圆222xyr+=外的点，由点P向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为200xxyyr+=．（3）若点()00,Pxy是椭圆22221xyab+=上的点，则过点P的切线方程为00221xxyyab+

=．（4）若点()00,Pxy是椭圆22221xyab+=外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为00221xxyyab+=．【典型例题】题型一：向量搭桥进行翻译题型二：弦长、面积问题例1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期

末）已知1F，2F是椭圆C：22221(0)xyabab+=的两个焦点，P为C上一点.(1)若12FPF△为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率；(2)如果存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面积

等于9，求b的值和a的取值范围.例2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）经过点236,33，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，过椭圆C上的点

00(,)Axy，（000xy）的直线l与x，y轴的交点分别为M和N，且2NAAM=，过原点O的直线与l平行，且与椭圆C交于B、D两点，求ABD△面积的最大值.例3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右顶

点分别为A，B，左焦点为F，21AF=−，21BF=+.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且PMPN=.证明；MNABFP=.例4．（2022·云南

·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，且过点(2,1)P−．(1)求C的方程；(2)若,AB是C上两点，直线AB与圆222xy+=相切，求AB的取值范围．例5．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知抛物线C：()220yp

xp=的焦点为F，点()0,Pxp在抛物线C上，()1,0Q−，1FPFQ=+.(1)求C的方程.(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，若l的斜率为1，求四边形AMBN的面积.例6．（2022·福建·高三阶段练习）已知椭圆

C：2221(0)4xybb+=的左，右焦点分别为1F，2F，动直线l：ymxn=+与椭圆C相切，且当1m=时，7n=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)作F1P⊥l，F2Q⊥l，垂足分别为P，Q，求四边形F1F2QP的面积的最大值.例7．（202

2·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知椭圆()2222:10xyCabab+=，其中椭圆C的离心率为12，1F，2F分别为椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点1F的直线与椭圆相交于A、B两点，2

ABF△的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程．(2)求AOB面积的最大值．例8．（2022·湖北·高二阶段练习）在12PFF△中，已知点()()1213,0,3,0,FFPF−与2PF边上的中线长之和为6.记12PFF△的重心G的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)若圆()2

2:1,0,1OxyE+=−，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相交于点,AB，直线,EAEB与曲线C的另一个交点分别是点,PM，求EPM面积的最大值.题型三：斜率之和、积、差、商问题例9．（2022·江苏·高三阶段练习）已知双曲线2222:1(,0

)xyCabab−=的实轴长为4，左､右顶点分别为12,AA，经过点()4,0B的直线l与C的右支分别交于,MN两点，其中点M在x轴上方.当lx⊥轴时，26MN=(1)设直线12,MANA的斜率分别为12,kk，求21kk的值；(2)若212BANB

AM=，求1AMN的面积.例10．（2022·上海普陀·一模）在xoy坐标平面内，已知椭圆22:195xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，直线()110ykxk=与相交于A、B两点．(1)记d为A到直线290x+=的距离，当1k

变化时，求证：1AFd为定值；(2)当2120AFB=时，求22AFBF的值；(3)过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交于另一点P，记直线PB的斜率为2k，当1k取何值时，12kk−有最小值？并求出此最小值．例11．（2022·广东·深圳科学高中高二阶段练习）已

知椭圆()2222:10xyCabab+=上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过点()4,0D−的直线与椭圆交于A、B两点，1F为左焦点，记直线1AF的斜率为1AFk，直线1BF的斜率为1BFk，求证

：110AFBFkk=+．例12．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三阶段练习）已知椭圆E：()222210xyabab+=的短轴长为23，且过三点131,2R，231,2R−，33,12R

中的两点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的右焦点F的直线l交椭圆于M，N（M，N不在x轴上）两点，A为椭圆的左顶点，记AM，AN的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值.例13．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，短轴长

为23，过椭圆C的右焦点2F且垂直于x轴的直线被截得的弦长为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点2F的直线l与椭圆C交于D，E两点，则在x轴上是否存在一个定点M，使得直线,MDME的斜率互为相反数？若存在，

求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由．题型四：定值问题例14．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，61,2H是C上一点.(1)求C的方程.(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点()1,

0D作斜率不为0的直线l，l与C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为1k，BQ的斜率为2k.证明：①12kk为定值；②点M在定直线上.例15．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp=上一点(3,)Pm到焦点F的距离为4.(1)求抛物线

C的标准方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值.例16．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）已知抛物线()2:20

Cypxp=的焦点F到准线的距离为12.(1)求抛物线C的方程；(2)设点E是抛物线C上任意一点，求线段EF中点D的轨迹方程；(3)过点()3,1P−的直线与抛物线C交于M、N两个不同的点（均与点()

1,1A不重合），设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，求证：12kk为定值.题型五：定点问题例17．（2022·陕西汉中·一模（文））已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为23，设椭圆的上顶点为B，左右焦点分别为12

FF､，且12FBF是顶角为120的等腰三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知,MN是椭圆C上的两点，以椭圆中心O为圆心的圆的半径为255，且直线MN与此圆相切.证明：以MN为直径的圆过定点O.例18．（2022·福建·高三阶段练习）已知

等轴双曲线C：22221xyab−=()0,0ab的虚轴长为22.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过双曲线C的右焦点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，请问x轴上是否存在一定点P，使得APFBPF=?

若存在，请求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.例19．（2022·四川·高三阶段练习（文））已知椭圆C：()222210xyabba+=与椭圆22184xy+=的离心率相同，2,12P为椭圆C上一点.(1)求椭圆C的方程.(2)若过点1,03Q的直线l与椭圆

C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.题型六：三点共线问题例20．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知曲线：222mxny+=经过点21,2，()2,0−．(1)求曲线的方程；(2)已知定点()

2,0M，过()2,1P的直线1l与曲线交于A，B两点，过()2,1Q−的直线2l与曲线交于C，D两点．若A，C，M三点共线，证明：B，D，M三点共线．例21．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右顶点分别为12,AA，

焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆E的方程.(2)已知点G的坐标为()4,0，是否存在直线:()lxtta=，使得对于l上任意一点P（P不在椭圆E上），若直线1PA交椭圆E于另一点M，直线2PA交椭圆E于另一点N，恒有,,MNG三点共线？若存在，求出l的方程；若不

存在，请说明理由.例24．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（理））已知F为抛物线2yx=的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧.(1)若2OAOB=uuruuur（其中O为坐标原点），求△ABO与△AFO面积之和的最小值；(2)若A，B，F三

点共线，A，B处的切线交点为P，求P到F的最小距离.题型七：中点弦问题例25．（2022·江苏南通·高二期末）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点()20F−，，右顶点()30A，．(1)求C的方程;(2)设B为C上一点（异于

左、右顶点），M为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OM与直线9:2lx=−交于点N，求证：ABNF⊥．例26．（2022·上海中学东校高二期末）已知椭圆的C的方程：22163xy+=．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点12AA、上任一点，直线1PA的斜率为1k，直线2PA的斜率为2k

，试证明12kk为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点(2,1)A，且点M，N在C上，且,AMANADMN⊥⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使得||DQ为定值．例27．（2022·四川资阳·高二期末（文））已知双曲线()2222:10,0

yxCabab−=的渐近线方程为2yx=，焦点坐标为()0,5.(1)求C的方程；(2)经过点()1,4M的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.例28．（2022·四川省资阳中学高二期末（理

））已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab−=的一条渐近线方程为2yx=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求C的方程；(2)经过点()1,4M的直线l交C于,AB两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.例29．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末

）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，直线l与C交于A，B两点．(1)若l的倾斜角为6且过点F，求AB；(2)若线段AB的中点坐标为()3,2−，求l的方程．例30．（2022·北京市十一学校高二期末）已知抛物线E：y2＝8

x．(1)求抛物线的焦点及准线方程；(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程．题型八：四点

共圆问题例31．（2022·湖北·高三阶段练习）已知点(4,4)M在抛物线2:2xpy=上，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A､B，且直线PA与直线PB的斜率之积为2−.(1)证明：直线AB过

定点；(2)过A､B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C､D，问：是否存在一点P使得A､C､P､D四点共圆？若存在，求所有满足条件的P点；若不存在，请说明理由.例32．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，椭圆22:

195xyE+=的右焦点为F，椭圆E的右准线l与x轴交于点H，经过点F的直线与椭圆E交于A，B两点（点A在第一象限），点A在l上的射影为C．(1)若A，B，H，C四点共圆，求点B的横坐标；(2)记COB△，CHB的面积分别为1S，2S，求证：12SS为定值．例33．（2022·全国·高三专题练

习）已知直线:lyxm=+交抛物线2:4Cyx=于､AB两点.（1）设直线l与x轴的交点为T，若2ATTB→→=，求实数m的值；（2）若点MN､在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：ABMN､､､四点共

圆：（3）记F为抛物线C的焦点，过抛物线C上的点PQ､作准线的垂线，垂足分别为点UV､，若UVF的面积是PQF△的面积的两倍，求线段PQ中点的轨迹方程.题型九：切线问题例34．（2022·吉林·长春市文理高中有限

责任公司高二期中）已知抛物线2:2Cyx=，直线:lykxb=+与抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．(1)若M的坐标是()1,3，求k的值；(2)当2b=时，证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．例35．（2022·吉林·长春市文理高中有限责任公司高二期

中）已知椭圆()222:11xGyaa+=，椭圆的离心率是32e=．过点(),0Mm作圆221xy+=的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的方程；(2)当2m=−时，求圆的切线方程：(3)将AB表示为m的函数，并求AB的最大值．例36．（20

22·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知抛物线24yx=及圆C：222xyx+=．(1)过圆心C作直线l与抛物线和圆交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若||,||,||AMMNNB成等差数列，求直线l的方程；(2)过抛物线上一动点P（P的横坐标大于2）作圆C的两

条切线分别交y轴于E，F两点，求线段EF的取值范围．