【文档说明】2007年高考试题——数学理（辽宁卷）.doc，共(14)页，1.074 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5a28a389baaabaeab464f569f9bb9fd7.html

以下为本文档部分文字说明：

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60

分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+24πSR=如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR=n次独立重复试验中事件

A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknknnPkCppnn−=−=，，，，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{12345}U=，，，，，{13}A=，，{234}B=，，，则(

)()UUAB=痧（）A．{1}B．{2}C．{24}，D．{1234}，，，2．若函数()yfx=的反函数图象过点(15)，，则函数()yfx=的图象必过点（）A．(11)，B．(15)，C．(51)，D．(55)，3．若向量a与b不

共线，0ab，且aac=a-bab，则向量a与c的夹角为（）A．0B．π6C．π3D．π24．设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S=，636S=，则789aaa++=（）A．63B．45C．36D．275．若35ππ44，，则复数(cossin)(sincos

)i++−在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．若函数()yfx=的图象按向量a平移后，得到函数(1)2yfx=+−的图象，则向量a=（）A．(12)−−，B．(12)−，C．(12)−，D．(12)，

7．若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊥，，则m⊥B．若m=n=，mn∥，则∥C．若m⊥，m∥，则⊥D．若⊥，⊥，则⊥8．已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy−++−≤

，≥，≤，则yx的取值范围是（）A．965，B．)965−+，，C．()36−+，，D．[36]，9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的

都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．21110．设pq，是两个命题：21251:log(||3)0:066pxqxx−−+，，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既

不充分也不必要条件11．设P为双曲线22112yx−=上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF=，则12PFF△的面积为（）A．63B．12C．123D．2412．已知()fx与()gx是定义在R

上的连续函数，如果()fx与()gx仅当0x=时的函数值为0，且()()fxgx≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（）A．0是()fx的极大值，也是()gx的极大值B．0是()fx的极小值，也是()gx的极小值C．0是()fx的极大值

，但不是()gx的极值D．0是()fx的极小值，但不是()gx的极值第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数2cos(0)()1(0)axxfxxx=−≥，在点0x=处连

续，则a=．14．设椭圆2212516xy+=上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OMOPDF=+，则||OM=．15．若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．16．将数字1，

2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)a=，，，，若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法有种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()si

nsin2cos662xfxxxx=++−−R，（其中0）（I）求函数()fx的值域；（II）若对任意的aR，函数()yfx=，(π]xaa+，的图象与直线1y=−有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不

必证明），并求函数()yfxx=R，的单调增区间．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，ACBCa==，DE，分别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA上的点，二面角MDEA−−为30．（I）证明：111ABCD⊥；（II）求MA的长

，并求点C到平面MDE的距离．19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为3232010(0)3qCqqq=−++该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表

所示：市场情形概率价格p与产量q的函数关系式好0.41643pq=−中0.41013pq=−差0.2704pq=−设123LLL，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（I）分别求利润123LLL

，，与产量q的函数关系式；（II）当产量q确定时，求期望kE；（III）试问产量q取何值时，kE取得最大值．20．（本小题满分14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线22yx=上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；（II

）设圆M的方程为22(47cos)(7cos)1xy−−+−=，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PEPF，，切点为EF，，求CECF，的最大值和最小值．1A1C1BCBAMDE21．（本小题满分12分）已知数列{}na，{}n

b与函数()fx，()gx，xR满足条件：nnab=，1()()()nnfbgbn+=N*.（I）若()102fxtxtt+≥，，，()2gxx=，()()fbgb，limnna→存在，求x的取值范围；（I

I）若函数()yfx=为R上的增函数，1()()gxfx−=，1b=，(1)1f，证明对任意nN*，limnna→（用t表示）．22．（本小题满分12分）已知函数2222()2()21tfxxtxxxt=−++++，

1()()2gxfx=．（I）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，上是减函数；（III）证明：3()2fx≥．绝密★启

用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)试题答案与评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要

考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错

误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B（2）C（3）D（4）B（

5）B（6）A（7）C（8）A（9）D（10）A（11）B（12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）-1（14）2（15）π34（16）30三、解答题（17）本小题主要考查三角函数公

式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.(Ⅰ)解：)1(coscos21sin23cos21sin23)(+−−++=xxxxxxf1)cos21sin23(2−−=xx1)6πsin(2−−=x······

······················································5分由1−≤)6πsin(−x≤,得3−≤2)6πsin(−x1−≤1.可知函数)(xf的值域为[

-3,1].··············································7分（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(xfy=的周期为又由π,＞0，得π2π2=，即得.2=·······································

···································9分于是有1)2π2sin(2)(−−=xxf，再由2π2−k≤6π2−x≤2π2+k)(Zk，解得6π−k≤x≤3π+k)(Zk.所以)(xfy=的单调增区间为[6π−k，

3π+k])(Zk.········12分（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分12分.(Ⅰ)证明：连结CD.∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.∴.1ABCCC平面⊥∴CD为C1D在平面ABC内的射影.∵△ABC中，AC=BC，D为AB

中点.∴,CDAB⊥∴,1DCAB⊥∵,//11ABBA∴.111DCBA⊥（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.∵D、E分别为AB、BC的中点.∵,//ACDE又,,//AC

CECEAF⊥∴,DEAF⊥∵AF为MF在平面ABC内的射影，∴,DEMF⊥∴MFA为二面角ADEM−−的平面角，=30MFA.在Rt△MAF中,,221aBCAF===30MFA,∴.63aAM=作MFAG⊥，垂足为G.∵,,DEAFDEMF⊥⊥

∴.AMFDE平面⊥∴.AMFMDE平面平面⊥∴.MDEAG平面⊥在Rt△GAF中,=30MFA，AF=,2a∴4aAG=，即A到平面MDE的距离为4a.∵,//DECA∴,//MDECA平面∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为4a，解法二：过点A作CE的平行线，交ED

的延长线于F，连结MF.∵D、E分别为AB、CB的中点，∴,//ACDE又∵,,//ACCECEAF⊥∴,DEAF⊥∵,ABCMA平面⊥∴AF为MF在平面ABC内的射影，∴,DEMF⊥∴MFA为二面角ADEM−−的平面角，=30MFA.在Rt△MAF

中,,221aBCAF===30MFA,∴.63aAM=设C到平面MDE的距离为h.∵MDECCNEMVV−−=,∴.·31·31hSMASMDECDE=,63,8·212aMAaDECESCDE===,6330c

os,21·212aAFDEMFCESMDE===∴,12383122haa∴4ah=,即C到平面MDE的距离相等,为4a(19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.满分12分.(

Ⅰ)解:由题意可得L1=)102033()?3164(22++−−−qqqqq1014433−+−=qq(q＞0).同理可得1081332−+−=qqL(q＞0)1050333−+−=qqL(q＞0)···············4分(Ⅱ)解:由期

望定义可知3212.04.04.0LLLE++=)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0333−+−+−+−+−+−=qqqqqq.1010033−+−=qq(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知E是产量q的函数,设

101003)(3−+−==qqEqf(q＞0)得=+−=)(.100)(2qfqqf令0解得10,10−==qq(舍去).由题意及问题的实际意义(或当0＜q＜10时,f′(q)＞0;当q＞10时,f(q)＜0＝可知,当q=10时,f(q)取得最大值,即E

最大时的产量q为10.(20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)解法一:设A、B两点坐标分别为),2(),,2(222121yyyy，由题设知.)()22()2()2(2212222

12222221221yyyyyyyy−+−=+=+解得,122221==yy所以).32,6(),32,6()32,6(),32,6(BABA−−或设圆心C的坐标为（r,0），则.4632==r因此圆C的方程为.16)4(22=+−yx················

···4分解法二：设A、B两点坐标分别为),,(),,(2211yxyx由题设知22222121yxyx+=+.又因为,22,2,2222121222121xxxxxyxy+=+==可得即.0)2)((

2121=++−xxxx由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为)23,23(rr，于是有rr232)23(2=，解得r=4,所以圆

C的方程为.16)4(22=+−yx···················4分(Ⅱ)解：设∠ECF=2a,则16cos322cos162|穋os|穦|·2−===aaaCFCECFCE.··8分在Rt△PCE中,||4||cosPCPCra==.由圆的几何性质得||PC≤,8

171||=+=+MC||PC≥,6171||=−=−MC·10分所以21≤cos≤32，由此可得8−≤CFCE·≤916−.故CFCE·的最大值为916−，最小值为8−.·········14分（2

1）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分.(Ⅰ)解法一：由题设知=++=++,21111nnnbatbna得112++=nnata，

又已知2t,可得).22(2221−+=−++tattann由−+−+=−+22,02,0222,0,2),()(1tattttbtattbgbfn所以可知是等比其首项为2,2ttttb公比为−+.于是.2)2)(2()2)(2(221,1−−−++−+

=−+−−ttttttbattttbtannnn即又liman存在，可得0＜|2|t＜1,所以-2＜t＜2且.0t.22limtann−=→解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且.2t可得).21(2211−

+=−++tbttbnn由,0,2),()(ttbgbf可知02,021−+ttb,所以−+21tbn是首项为21−+tb,公2t的等比数列..21)2)(21(,)2)(21(2111−−−+=−+=−+−−tttbbttbtbnnnn即由12++nnba可知，若nna

→lim存在，则nnb→lim存在.于是可得0＜|2|t＜1,所以-1＜t0.nna→lim=2nnb→lim.22t−=解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即,2121+=+nnbtb①于是有,2121

2+=++nnbtb②②-①得得令,),(21112nnnnnnnbbcbbtbb−=−=−++++.21nnctc=+由02,021)2(10,2),()(12+−=−=tbtbbcttbgbf可知，所

以nc是首项为b公比为2t的等比数列，于是.)(21)2(1)(121211bbbttbcccbnnn+−−−=++++=+ttbannn−−==+2])2(1[421（b2-b1）+2b.又nna→lim存在，可得0＜|2|t＜1,所以-2＜t＜2且.0t.222)(

24lim12tbbbtann−=+−−=→说明：数列na通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.(Ⅱ)证明：因为)(),)(),()(11(111nnnnnafbbfbgaxf

xg====++−+−即所以.下面用数学归纳法证明1+na＜*)(Nnan.(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且)1(f＜1,得)1()(11fbfa==＜1)1()(12fafb==＜1)(22bfa=＜1)1(af=，即2

a＜1a，结论成立.（2）假设n=k时结论成立，即1+ka＜ka.由f(x)为增函数，得)(1+kaf＜fka即2+kb＜1+kb进而得)(1+kaf＜f(1+kb)即2+ka＜1+ka.这就是说当n=k+1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的*)(N

n，1+na＜na.(22)本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+−=++−=xxxxteexgxetexg又由xxee−+2≥22,且

t＜22得t＜xxee−+2，即12)(2+−=xxteexg＞0.由此可知，)(xg为R上的增函数.(Ⅱ)证法一：因为)(xg＜0是)(xg为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t12)(2+

−=xxteexg＜0，即t＞xxee−+2在闭区间[a,b]上成立即可.因此y=xxee−+2在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时,)(xg＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即)(xg在闭区间

[a,b]上为减函数.证法二：因为)(xg＜0是)(xg为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时12)(2+−=xxteexg＜0，在闭区间[a,b]上成立即可.令,xem=则)(xg＜0(],[bax)当且仅当1

22+−tmm＜0(],[baeem).而上式成立只需+−+−,012,01222bbaateetee即++−−bbaaeeteet22成立.取aaee−+2与bbee−+2中较大者记为k，易知当t＞k时，)(xg＜0在闭区[a,b]

成立，即)(xg在闭区间[a,b]上为减函数.(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++−=xetxettFxx,1)(21)2(2)(22+−++−=xexettFxx易得)(tF≥1)(212+−

xex.令,)(xexHx−=则,)(xexHx−=易知0)0(=H当x＞0时,)(xH＞0;当x＜0,)(xH＜0.故当x=0时，)(xH取最小值，1)0(=H所以1)(212+−xex≥23，于是对任意x

、t，有)(tF≥23，即)(xf≥23.证法二：设)(tF=,1)(22222++++−xetxetxx)(tF≥23，当且仅当21)(22222−+++−xetxetxx≥0只需证明)21(42)(4222−−−+xexexx≤0，即2)(xex−≥1以下同证法一.证法三

：设)(tF=1)(22222++++−xetxetxx，则).(24)(xettFx+−=易得.0)2(=+xeFx当t＞2xex+时,)(tF＞0;t＜2xex+时,)(tF＜0，故当t=2xe)(tF取最小值.1)(212+−xex即)(tF≥.1)(212+−xex以下

同证法一.证法四:)(xf1)()(22+−+−=txtex设点A、B的坐标分别为),(),(tt、exx，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则)(xf1||2+=AB≥.1)(21122+−=+xedx以下同证法一.