【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2020年江苏高考数学试题及答案.docx，共(28)页，1.216 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并

交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨

水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积VSh=，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．

．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}AB=−=，则AB=_____.2.已知i是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+−的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4，则a的值是_

____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2−，则输入x的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22xa﹣25y=1(a＞0)的一条渐近线方程

为y=52x，则该双曲线的离心率是____.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，()23fxx=，则f(-8)的值是____.8.已知2sin()4+=23，则sin2的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱

挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y=πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.11.设

{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和221()nnSnnn+=−+−N，则d+q的值是_______．12.已知22451(,)xyyxyR+=，则22xy+的最小值是_______．13.在△ABC中，43=90AB

ACBAC==，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PAmPBmPC=+−（m为常数），则CD的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy中，已知3(0)2P，，A，B是圆C

：221()362xy+−=上的两个动点，满足PAPB=，则△PAB面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,4

5acB===．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC=−，求tanDAC的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧曲

线AO上任一点D到MN的距离1h(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式21140ha=；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离2h(米)与F到OO的距离b(米)之间满足关系式3216800hbb

=−+.已知点B到OO的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0).问OE为多少米时，桥墩CD与EF

的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE+=的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2

的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．19.已知关于x的函数(),()yfxygx==与()(,)hxkxbkb=+R在区

间D上恒有()()()fxhxgx．（1）若()()2222()fxxxgxxxD=+=−+=−+，，，，求h(x)的表达式；（2）若21ln,()()()(0)xxgkxhkxkDfxxx=−+==−=+，，，，求k的取值范围；（3）若()422242()2

()(48()430)22fxxxgxxhxttxttt=−=−=−−+，，≤，,2,2Dmn=−，求证：7nm−．20.已知数列*()nanN的首项a1=1，前n项和为Sn．设

λ与k是常数，若对一切正整数n，均有11111kkknnnSSa++−=成立，则称此数列为“λ–k”数列．（1）若等差数列na是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列na是“323−”数列，且an＞0，求数列n

a的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列na为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A−在矩阵11ab=−M对应的变换作用下得

到点(3,4)B−．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵1M−．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A在直线:cos2l=上，点2π(,)6B在圆:4sinC=上（其中0，02）．（1）求1，2的值（2）求出直线l与

圆C的公共点的极坐标．C．[选修4-5：不等式选讲]23.设xR，解不等式2|1|||4xx++．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球

，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+q

n与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2}

,{0,2,3}AB=−=，则AB=_____.【答案】0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵1,0,1,2A=−,0,2,3B=∴0,2AB=I故答案为：0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i是虚数单

位，则复数(1i)(2i)z=+−的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数()()12zii=+−∴2223ziiii=−+−=+∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础

题．3.已知一组数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4，则a的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4∴4235620aa

++−++=，即2a=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数

，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P==.故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2−，则输入x的值是_____.【答案】3−【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1yx=+，由此求得x的值.【详解】由于20x，所以12yx=+=−，解得3x=−.故答案为：3−【点睛】本小题主要考查根据程

序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22xa﹣25y=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=52x，则该双曲线的离心率是____.【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.【详解

】双曲线22215xya−=，故5b=.由于双曲线的一条渐近线方程为52yx=，即522baa==，所以22453cab=+=+=，所以双曲线的离心率为32ca=.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，

()23fxx=，则f(-8)的值是____.【答案】4−【解析】【分析】先求(8)f，再根据奇函数求(8)f−【详解】23(8)84f==，因为()fx为奇函数，所以(8)(8)4ff−=−=−故答案为：4−【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求

解能力，属基础题.8.已知2sin()4+=23，则sin2的值是____.【答案】13【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】22221sin()(cossin)(1sin2)4222

+=+=+Q121(1sin2)sin2233+==故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，

内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232−【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为23622=1234圆柱体积为21()222=所求几何体体积为1232−

故答案为：1232−【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y=πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x=−【解析】【分析】先根据图象变换得解

析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412yxx=−+=−72()()122242kxkkZxkZ−=+=+当1k=−时524x=−故答案为：524x=−【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解

能力，属基础题.11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和221()nnSnnn+=−+−N，则d+q的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列

前n项和公式的特点，分别求得,nnab的公差和公比，由此求得dq+.【详解】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，根据题意1q.等差数列na的前n项和公式为()2111222nnnddPnadnan−=+=+−

，等比数列nb的前n项和公式为()1111111nnnbqbbQqqqq−==−+−−−，依题意nnnSPQ=+，即22111212211nnbbddnnnanqqq−+−=+−−+−−，通过对比系数可知111212211ddaqbq=−=−

==−−112021daqb====，故4dq+=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)xyyxyR+=，则22xy+的最小值是_______

．【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215yxy−=，可得4222222114+555yyxyyyy−+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451xyy+=∴0y且42215yxy−=∴422222222114144+2555555yyyxyyyy

y−+=+==，当且仅当221455yy=，即2231,102xy==时取等号.∴22xy+的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定

，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或

时等号能否同时成立）.13.在△ABC中，43=90ABACBAC==，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PAmPBmPC=+−（m为常数），则CD的长度是________．【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设()0PAPD=，结合32PA

mPBmPC=+−与,,BDC三点共线，可求得，再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,ADP三点共线，∴可设()0PAPD=，∵32PAmPBmPC=+−，∴32PDmPBmPC=+−

，即32mmPDPBPC−=+，若0m且32m，则,,BDC三点共线，∴321mm−+=，即32=，∵9AP=，∴3AD=，∵4AB=,3AC=,90BAC=，∴5BC=，设CDx=，CDA=，则5BDx=−，

BDA=−.∴根据余弦定理可得222cos26ADCDACxADCD+−==，()()()222257cos265xADBDABADBDx−−+−−==−，∵()coscos0+−=，∴()()2570665xxx−−+=−，解得185x=，∴CD

的长度为185.当0m=时，32PAPC=，,CD重合，此时CD的长度为0，当32m=时，32PAPB=，,BD重合，此时12PA=，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的

关键是设出()0PAPD=．14.在平面直角坐标系xOy中，已知3(0)2P，，A，B是圆C：221()362xy+−=上的两个动点，满足PAPB=，则△PAB面积的最大值是__________．【答案】105【解析】【分析】根据条件得P

CAB⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.【详解】PAPBPCAB=⊥Q设圆心C到直线AB距离为d，则231||=236,||144ABdPC−=+=所以2221236(1

)(36)(1)2PABSdddd−+=−+V令222(36)(1)(06)2(1)(236)04ydddydddd=−+=+−−+==（负值舍去）当04d时，0y；当46d时，0y，因此当4d=时，y取最大值，即PABS取最大值为105，故答案为：

105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面

ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1//EFAB，来证得//EF平面11ABC.（2）

通过证明AB⊥平面1ABC，来证得平面1ABC⊥平面1ABB.【详解】（1）由于,EF分别是1,ACBC的中点，所以1//EFAB.由于EF平面11ABC,1AB平面11ABC，所以//EF平面11

ABC.（2）由于1BC⊥平面ABC，ABÌ平面ABC，所以1BCAB⊥.由于1,ABACACBCC⊥=，所以AB⊥平面1ABC,由于ABÌ平面1ABB，所以平面1ABC⊥平面1ABB.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC中，角

A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB===．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC=−，求tanDAC的值．【答案】（1）5sin5C=；（2）2tan11DAC=.【解析】【

分析】（1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）根据cosADC的值，求得sinADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sin,cosDACDAC的值，进而求得tanDAC的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos9223252

bacacB=+−=+−=，所以5b=.由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb===.（2）由于4cos5ADC=−，,2ADC，所以23sin1cos5ADCADC=−=.

由于,2ADC，所以0,2C，所以225cos1sin5CC=−=所以()sinsinDACDAC=−()sinADCC=+sincoscossinADCCADCC=+3254525555525=+

−=.由于0,2DAC，所以2115cos1sin25DACDAC=−=.所以sin2tancos11DACDACDAC==.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三

角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离1h(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式211

40ha=；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离2h(米)与F到OO的距离b(米)之间满足关系式3216800hbb=−+.已知点B到OO的距离为40米.（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO

的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0).问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20OE=米【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题

意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800OAOA=−+=||||||8040120ABOAOB=+=+=米（2）设总造价为()fx万元，21||8016040OO==，设||OEx=，321

31()(1606)[160(80)],(040)800240fxkxxkxx=+−+−−3221336()(160),()()0208008080080fxkxxfxkxxx=+−=−==(0舍去)当020x时，()0fx；当2

040x时，()0fx，因此当20x=时，()fx取最小值，答：当20OE=米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143xyE+

=的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积

分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M或212,77−−.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得124AFAF+=，从而可求出12AFF△的周长；

（2）设()0,0Px，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，212AFFF⊥，求出31,2A，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,Mxy，点M到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与213SS=，可推出9

5d=，根据点到直线的距离公式，以及()11,Mxy满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E的方程为22143xy+=∴()11,0F−,()21,0F由椭圆定义可得：124AFAF+=.∴12AFF△的周长为426+=（2）设()0,

0Px，根据题意可得01x.∵点A在椭圆E上，且在第一象限，212AFFF⊥∴31,2A∵准线方程为4x=∴()4,QQy∴()()()()200000,04,4244QOPQPxxyxxx=−−=−=−

−−，当且仅当02x=时取等号.∴OPQP的最小值为4−.（3）设()11,Mxy，点M到直线AB的距离为d.∵31,2A，()11,0F−∴直线1AF的方程为()314yx=+∵点O到直线AB的距离为35，213SS=∴2113133252SSAB

ABd===∴95d=∴113439xy−+=①∵2211143xy+=②∴联立①②解得1120xy==，1127127xy=−=−.∴()2,0M或212,77−−.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、

点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213SS=推出95d=是解答本题的关键.19.已知关于x的函数(),()yfxygx==与()(,)hxkxbkb=+R在区间D上恒有()()()fxhxgx．（1）若()()2222()fxxxgxxxD=+=−+=−

+，，，，求h(x)的表达式；（2）若21ln,()()()(0)xxgkxhkxkDfxxx=−+==−=+，，，，求k的取值范围；（3）若()422242()2()(48()430)22fxxxgxxhxttxttt=−=−=−−+，，

≤，,2,2Dmn=−，求证：7nm−．【答案】（1）()2hxx=；（2）0,3k；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得()fx与()gx的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()

hx的表达式.（2）先由()()0hxgx−，求得k的一个取值范围，再由()()0fxhx−，求得k的另一个取值范围，从而求得k的取值范围.（3）先由()()fxhx，求得t的取值范围，由方程()()0gxhx−=的两个根，求得nm−的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2

222xxkxbxx−+++对任意的xR恒成立.令0x=，则00b，所以0b=.因此22kxxx+即()220xkx+−对任意的xR恒成立，所以()220k=−，因此2k=.故()2hxx=.（2）令()()()()()1ln0Fxhxgxkxxx=−=−

−，()01F=.又()1xFxkx−=.若k0，则()Fx在()0,1上递增，在()1,+?上递减，则()()10FxF=，即()()0hxgx−，不符合题意.当0k=时，()()()()()0,Fxhxgxhxgx=−==，符合题意.当0k时

，()Fx在()0,1上递减，在()1,+?上递增，则()()10FxF=，即()()0hxgx−，符合题意.综上所述，0k.由()()()21fxhxxxkxk−=−+−−()()2110xkxk=−+++当102kx+=，即1k−时，()211yxkxk

=−+++在()0,+?为增函数，因为()()0010fhk−=+，故存在()00,x+，使()()0fxhx−，不符合题意.当102kx+==，即1k=−时，()()20fxhxx−=，符合题意.当102kx+=，即1k−

时，则需()()21410kk=+−+，解得13k−.综上所述，k的取值范围是0,3k.（3）因为()423422243248xxttxttx−−−+−对任意[,][2,2]xmn−恒成立，()423422432xxttxtt−−

−+对任意[,][2,2]xmn−恒成立，等价于()222()2320xtxtxt−++−对任意[,][2,2]xmn−恒成立.故222320xtxt++−对任意[,][2,2]xmn−恒成立令22()232Mxxtxt=++−，当201t，2880,

11tt=−+−−，此时2217nmt−++，当212t，2880t=−+，但()234248432xttxtt−−−+对任意的[,][2,2]xmn−恒成立.等价于()()()23224

43420xttxtt−−++−对任意的[,][2,2]xmn−恒成立.()()()2322443420xttxtt−−++−=的两根为12,xx，则4231212328,4ttxxttxx−−+=−=，所以()21212

12=4nmxxxxxx−−=+−642538ttt=−++.令2,1,2t=，则32538nm−=−++.构造函数()()325381,2P=−++，()()()23103331P=−+=−−，所以1,2时，()0P，()P递减

，()()max17PP==.所以()max7nm−=，即7nm−.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.2

0.已知数列*()nanN的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有11111kkknnnSSa++−=成立，则称此数列为“λ–k”数列．（1）若等差数列na是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列na是“3

23−”数列，且an＞0，求数列na的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列na为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）21,

134,2nnnan−==（3）01【解析】【分析】（1）根据定义得+11nnnSSa+−=，再根据和项与通项关系化简得11nnaa++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+13()

3nnnnSSSS−=−，根据平方差公式化简得+1=4nnSS，求得nS，即得na；（3）根据定义得111333+11nnnSSa+−=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101nnnnnnSSaaaaa++++−

====Q（2）11221100nnnnnaSSSS++−Q111222+1+13()3nnnnSSSS−=−Q1111112222222+1+1+11()()()3nnnnnnSSSSSS−=−+1111111222222+1+1+1+11()=2=443nnn

nnnnnnnSSSSSSSSS−−=+=111Sa==，14nnS−=1224434,2nnnnan−−−=−=21,134,2nnnan−==（3）假设存在三个不同的数列na为"3"−数列.111113333333+11+1+1()()nnnn

nnnSSaSSSS+−=−=−1133+1nnSS=或11221123333333+1+1+1()()nnnnnnSSSSSS−=+++1nnSS=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0nnnnSSSS−+−++=∵对于给定的，存在三个

不同的数列na为"3"−数列，且0na1,10,2nnan==或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01nnnnSSSS−+−++=有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01nn

nnSSSS−+−++=可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01nnnnSSSS−++−+=，不妨设()1310nnSxxS+=，则()3233(1

)(2)(1)01xx−+++−=有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01fxxx=−+++−=.①当1时，32323(2)4(1)004=+−−，即01，此时()3010f=−，33(2)02(1)x+=−

−对，满足题意.②当1时，32323(2)4(1)004=+−−，即314，此时()3010f=−，33(2)02(1)x+=−−对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01【点睛】本题考查数列

新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修

4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A−在矩阵11ab=−M对应的变换作用下得到点(3,4)B−．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵1M−．【答案】（1）22ab==；（2）121551255M−−=

.【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,ab的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A−在矩阵11aMb=−对应的变换作用下得到点()3,4B−∴123114ab

=−−−∴21324ab−=−−=−，解得22ab==（2）设1mnMcd−=，则12210=2201mcndMMmcnd−++=−+−+∴21202021mcn

dmcnd+=+=−+=−+=，解得25151525mncd==−==∴121551255M−−=【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B．[选修4-4：坐标系

与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A在直线:cos2l=上，点2π(,)6B在圆:4sinC=上（其中0，02）．（1）求1，2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．【答案】（1）1242==，（2）(2

2,)4【解析】【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43==，因为点B为直线6=上，故其直角坐

标方程为33yx=，又4sin=对应的圆的直角坐标方程为：2240xyy+−=，由223340yxxyy=+−=解得00xy==或31xy==，对应的点为()()0,0,3,1，故对应的极径为20=或22=.（2）cos2,4sin,4sincos2,s

in21====，5[0,2),,44=，当4=时22=；当54=时220=−，舍；即所求交点坐标为当(22,),4【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础

题.C．[选修4-5：不等式选讲]23.设xR，解不等式2|1|||4xx++．【答案】22,3−【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224xxx−−−−

或10224xxx−+−或0224xxx++21x−−或10x−≤≤或203x所以解集为22,3−【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，

每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=1

4BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（1）1515（2）23913【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向

量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,COBCCDBOODCOBD==⊥Q以,,OBOCOA为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)ABCDE−115(1

,0,2),(1,1,1)cos,1553ABDEABDE−=−===−uuuruuuruuuruuur从而直线AB与DE所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC一个法向量为1(,,),nxyz=

11200(1,2,0),00xynDCDCxyznDE+===++==令112,1(2,1,1)yxzn==−==−ur设平面DEF一个法向量为2111(,,),nxyz=uur11221117100171(,,0),4244200xynDFDFDBB

FDBBCnDExyz+===+=+==++=令111272,5(2,7,5)yxzn=−===−uur1261cos,67813nn−==−uruur因此12239sin1313==【点睛】本

题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率

为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）112212716,,332727pqpq====；；（2）()111222+33nnnnpqpq−−+=+【解析】【分析

】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求nnpq，，即得递推关系，构造等比数列求得2nnpq+，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333pq====，211131211227++3333333927ppq===

，211231122222516+0+3333333927qpq+=+==（2）1111131212++333339nnnnnppqpq−−−−==，111112311223212+(1)+33333393nnnnnnqpqpq

q−−−−−+=+−−=−，因此112122+333nnnnpqpq−−+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333nnnnnnnnpqpqpqpq−−−−+=++−=−，即1111121(2+1),2133

nnnnnnpqpqpq−+−=−+=+.又nX的分布列为nX012P1nnpq−−nqnp故1()213nnnnEXpq=+=+.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求

解能力，属难题.