【文档说明】2019北师大版数学必修5跟踪训练：第二章 3　解三角形的实际应用举例含解析.docx，共(12)页，274.980 KB，由envi的店铺上传

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第二章解三角形§3解三角形的实际应用举例[A组学业达标]1．(2019·潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北

偏东65°，则B，C之间的距离是()A．aB.2aC.12aD.22a解析：如图所示，由题意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠C＝45°，在△ABC中，由正弦定理得ABsinC＝BCsin∠BAC，即BC＝12a22＝22a.故选D.答案：D

2．(2019·遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.则A，B两点间的距离为()A．502mB．50mC．503mD．506m解析：在

△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，即5012＝AB22，解得AB＝502.故选A.答案：A3．(2019·永州高一检测)如图，在热气球C正前方有一高为

a的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为()A.2aB.3aC.332aD.32a解析：由题意，∠BCA＝∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝a，AC

＝3a，△ADC中，CD＝ACsin60°＝32a，故选D.答案：D4．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C相对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡的坡角为θ，则cosθ＝()A.32B.3－1C

．2－3D.22解析：在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin∠BACsin∠ACB＝100sin15°sin（45°－15°）＝50(6－2)(m)．在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BDC＝BCsin∠

CBDCD＝50（6－2）sin45°50＝3－1.由题图知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝3－1，故选B.答案：B5．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信

息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.217B.2114C.32114D.2128解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理

，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，得∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝277.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－s

in∠ACBsin30°＝2114.故选B.答案：B6．有一段长为10m的斜坡，它的倾斜角为75°，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，

由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，所以BC＝ACsin∠BACsin∠ABC＝10sin45°sin30°＝102(m)．答案：1027．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30

km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时．解析：设t小时时，B城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°＝

302，即4t2－82t＋7＝0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝74.故|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝（22）2－4×74＝1.答案：18．在点O观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体

位于点P，一分钟后，该物体位于点Q，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于点R，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ＝________．解析：由物体做匀速直线运动，得PQ＝QR，不妨设其长度为1.如图，在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，O

P＝cos∠OPQ.在△OPR中，由正弦定理，得2sin（90°＋30°）＝OPsin∠ORP＝cos∠OPQsin∠ORP.同理在△ORQ中，由正弦定理，得1sin30°＝OQsin∠ORQ＝sin∠OPQsin∠ORQ，所以1sin30°·sin120°2＝s

in∠OPQsin∠ORQ·sin∠ORPcos∠OPQ＝tan∠OPQ，所以tan∠OPQ＝sin120°2sin30°＝32.答案：329．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基

地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝32a，∵BCsin30

°＝CDsin45°，∴BC＝64a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a.10．如图，渔船甲位于岛屿A的

南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12nmile，渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求s

inα的值．解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12(nmile)，AC＝10×2＝20(nmile)，∠BCA＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解

得BC＝28(nmile)．所以渔船甲的速度为12BC＝14(nmile/h)．(2)在△ABC中，AB＝12nmile，∠BAC＝120°，BC＝28(nmile)，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°，所以sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝

3314.[B组能力提升]11．(2019·桂林高一检测)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的

距离是()A.7kmB.13kmC.19kmD.10－33km解析：如图所示，15min＝14h.设甲、乙两船行驶14h分别到D、C点．∴AD＝14×8＝2km.BC＝14×12＝3km.∵∠EBC＝60°，∴∠AB

C＝120°.∵AB＝BC＝3，∴∠A＝∠ACB＝30°.在△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝32＋32－2×3×3cos120°＝27.∴AC＝33.在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠D

AC＝4＋27－2×2×33cos30°＝13.∴DC＝13.所以B选项是正确的．答案：B12．(2019·承德高一检测)飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经

过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为()A．(15－183sin18°cos78°)kmB．(15－183sin18°sin78°)kmC．(15－203sin18°cos78°)kmD．(15－203sin18°sin78°)km解析：如图，∠A＝

18°，∠ACB＝60°，AB＝1000×108×13600＝30(km)∴在△ABC中，BC＝30sin18°sin60°＝203sin18°，∵CD⊥AD，∴CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin78°＝203sin18°sin78°.山顶的海拔高度＝15－20

3sin18°sin78°(km)．故选D.答案：D13．(2019·丰台高一检测)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离．观察者找到了一个点C，从C可以观察到点A，B；找到了一个点D，从D可以观察到点A，C；找到一个点E，从E可以观察

到点B，C.并测量得到图中一些数据，其中CD＝23，CE＝4，∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ADC＝60°，∠BEC＝45°，则AB＝________．解析：在Rt△BCE中，BC＝CE＝4，在Rt△ACD中，AC＝3CD＝6，在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC

2－2AC·BC·cos60°＝16＋36－2·4·6·12＝27.答案：2714．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以

14海里/小时的速度沿着直线方向追去，则巡逻艇应该沿________方向去追，需要________小时才追赶上该走私船．解析：如题干图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，在△ABC中，

由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10xcos120°化简得32x2－30x－27＝0，解得x＝32或x＝－916(舍去)，所以BC＝10x＝15，AB＝14x＝21，由正弦定理，得sin

∠BAC＝BCsin120°AB＝1521×32＝5314，所以∠BAC＝38°13′或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．38°13′＋45°＝83°13′.答案：北偏东83°13′3215．某人在塔的正东，沿着南偏西60°的方向前进60米后，望见塔在东北

方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为60°，求塔高．解析：如图，设AE为塔，某人在塔正东的B点，他在B点沿南偏西60°前进60米后到达C点，则BC＝60，∠BAC＝90°＋45°＝135°，∠ABC＝90°－60°＝30°，在△ABC中，根据正弦定理有BCsin∠BAC＝ACsin∠

ABC，即60sin135°＝ACsin30°，解得AC＝302.过点A作AG⊥BC于点G，连接EG，则∠AGE为直线EG与平面ABC所成的线面角，即为沿途测得塔顶的最大仰角，故∠AGE＝60°，在△AB

C中，S△ABC＝12AG·BC＝12AC·BC·sin∠ACB，即AG＝AC·BC·sin∠ACBBC＝302×sin(180°－135°－30°)＝15(3－1)．又因为AE⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，所以AE⊥AG，在直角△AEG中，塔

高AE＝AG·tan∠AGE＝15(3－1)×tan60°＝15(3－3)．答：塔高为15(3－3)米．16．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(3＋1)nmile的海面上有一台风中心，影响半径为20nmile，正以1

02nmile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h后开始影响基地持续2h．求台风移动的方向．解析：如图，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风

中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20nmile，AC＝20nmile.由题意，得AB＝20(3＋1)nmile，DC＝202nmile，BC＝102(3＋1)nmile.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45

°，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏东60°方向，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向，即北偏西45°方向．获得更多资源请扫码加入

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