【文档说明】湖北省武汉市钢城第四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学（答案版）【武汉专题】.pdf，共(19)页，369.694 KB，由envi的店铺上传

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1钢城四中2021—2022（下）期中考试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列各式的运算结果为纯虚数的是A.(1+i)2B.i2(1-i)C.i(1+i)2D.i

(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A中，复数2(1)2ii为纯虚数，所以正确；对于B中，复数2(1)1iii不是纯虚

数，所以不正确；对于C中，复数2(1)2ii不是纯虚数，所以不正确；对于D中，复数(1)1iii不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思

路．其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.已知四边形ABCD的三个顶点(0)A，2，(12)B，，1(3)C，，且2BCAD，则顶点D的坐标为（）A.

722，B.122，C.(32)，D.(1)3，【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果．【详解】解：设顶点D

的坐标为（x，y）∵BC=(4，3)，AD=(x，y-2)，且2BCAD，∴2x4{2y43解得x2{7y2故选A23.如图所示，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE（）A.5

166ABACuuuruuurB.2133ABACC.5166ACABD.2133ACAB【答案】A【解析】【分析】依题意根据平面向量线

性运算法则计算可得；【详解】解：因为E是线段AD的靠近A的三等分点，所以13AEAD，又D是线段BC的中点，所以12ADABAC，所以1151()3666BEBA

AEABADABABACABAC．故选：A．4.已知向量(cos5,sin5)a，(cos65,si

n65)b，则·ab（）A.12B.32C.12D.32【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合向量数量积的坐标运算和余弦的两角和公式，即可求解.【详解】解：因为向量(cos5,sin5)a，(cos65,sin65)b，所以1cos5cos65

+sin5sin65cos565cos602ab.故选：C.5.将函数1()cos(2)()42fxx的图象向右平移512个单位后得到函数()gx的图象，若()gx的图象关于直线5x对称，则3A.730B.13

30C.1130D.1730【答案】B【解析】【详解】将函数1cos2()42fxx的图像向右平移512个单位后可得函数的解析式为：1515cos2cos241246gxxx，gx的图像关于直线

5x对称，则：2556kkZ，即：1330kkZ，令0k可得：1330.故选：B6.若3tan4，则2cos2sin2A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A【解析】【详解】试题分析：由3tan4，得

34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约

消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且222bcabc，若2sinsinsinBCA，则ABC的形状是（）A.等

腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理可知60A，再利用边角互化，以及条件证明bc，从而判断ABC的形状.4【详解】根据余弦定理可知2

221cos22bcaAbc，因为0180A，所以60A，根据正弦定理可知22sinsinsinBCAbca，所以222220bcabcbcbc，所以bc，则ABC的形状是等边三角形.故选：C8.如图，在ABC中，D是线段B

C上的一点，且4BCBD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AMAB，(0,0)ANAC，则1的最小值是（）A.2321B.234C.234D.232

【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,的关系，即31144，可得134，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得11314444ADABBDABBCABACABABAC

，∵,,0,0AMABANAC，∴3144ADAMAN

，因为,,MDN三点共线，5∴31144，∴134，∵130,0,40，∴34，则13344234；当且仅当3，即3时取等号，故1

的最小值是234；故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.复数21izi，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.

|z|5B.z的共轭复数为3122iC.z的实部与虚部之和为2D.z在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【解析】【分析】根据复数的四则运算，整理复数z，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131

(1)(1)122iiiiziiiii，可得221310||()()222z，则A不正确；z的共轭复数为1322i，则B不正确；z的实部与虚部之和为13222，则C正确；z在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D正确.综上，正确结论是C

D.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.10.下列命题中：其中正确的是（）A.若0ab，则0a或0b6B.若不平行的两个非零向量a，b满足ab，则0ababC.若a与b平行，则ab

abD.若//ab，//bc，则//ac【答案】BC【解析】【分析】根据向量的概念、运算性质及平行关系进行判定.【详解】若ab，则0ab，故A错；若ab，则2222()()0ababa

bab，故B对；若a与b平行，则a与b夹角0或，所以cosababab，故C对；若0b，则b和任意向量都平行，故D错.故选：BC.11.已知函数πsin0,0,2fxAxA

的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数yfx的图象关于点π,03对称B.函数yfx的图象关于直线5π12x对称C.函数yfx在2ππ,36单调递减D.该图象向右平移π6个单位可得2si

n2yx的图象【答案】BD【解析】【分析】7由图象求出函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项．【详解】由函数的图象可得2A，周期ππ4π312T，所以2π2π2πT，当π12x时，函数取得最大值，即ππ2sin221212f

，所以ππ22π122kkZ，则π2π3k，又π2，得π3，故函数π2sin23fxx.对于A，2sin033f，故A不正确；对于B，

当5π12x时，5π5πππ2sin22sin2121232f，即直线5π12x是函数fx的一条对称轴，故B正确；对于C，当236x时，203x，所以，函数fx在区间2,3

6不单调，故C错误；对于D，将fx的图象向右平移π6个单位后，得到ππ2sin222sin263yxx的图象，即D正确.故选：BD．【点睛】思路点睛：本题考查由图象求三角函数的解析式，考查正弦型函数的性质．解题思路是图象中最高点或

最低点求得A，由零点或最值点求出周期从而得，再由点的坐标求得，得函数解析式，然后利用正弦函数性质求解．12.如下图所示，B是AC的中点，2BEOB，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且,ROPxOAyOBxy

，以下结论中正确的是（）8A.当P是线段CE的中点时，12x，94yB.当12x时，3[,4]2yC.若xy为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D.xy的最大值为1【答案】CD【解析】【

分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，,2BCABOBOABEOB，A选项，当P是线段CE的中点时，11222OPOBBPOBBCBEOBOBOAOB

1522OAOB，A选项错误.B选项，若1R2OPOAyOBy设,FG

分别是,BCDE的中点，连接GF并延长，交AO的延长线于'A，则'//OEAG，且'2ABAOBFOA，所以'12OAOA，则P点的轨迹是FG，337,,2,222AFAFOBFGBEOBAGOBOB，所以3

7,22y，B选项错误.9C选项，,ROPxOAyOBxy，1,R222xyOPOAOBxy，令,22xymn、OP的中点为Q，,ROQmOAnOBmn

由于2,122xyxy，即1mn，所以,,QAB三点共线.设,HI分别是,BECD的中点，连接HI，交BC于J，则////HIBCDE，B是OH的中点，J是BC的中点，则Q点的轨迹是BJ，P点的轨迹是HI，所以C选项正确.D选项，,ROPx

OAyOBxy，由于平行四边形BCDE在OE的左上方，,,OBE三点共线，所以0x，1y，故当x取得最大值0，y取得最小值1时，xy取得最大值1，D选项正确.故选：CD三、填空题（本大题

共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13.已知复数1z，2z满足12121zzzz，则12zz__________．【答案】

3【解析】10【详解】分析：根据复数的模都为1，可求得ab、及、cd间的关系，根据方程，得221abcd；表示出2222122zzabcdabacd，代入即可求值．详解：设12,zabizcdi因为12121zzzz所以222222111a

bcdabcd即222222111abcdabcd化简得221abcd12zzabicdi22acbd222222abcdabcd3点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，

运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．14.sin5013tan10的值__________.【答案】1【解析】【分析】由sin10tan10cos10，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin40cos10，结合诱导公式以及二

倍角公式可求值.【详解】解：3sin10cos10sin5013tan10sin50cos102sin50cos30sin10sin30cos102sin50sin402sin50cos50cos10cos10cos10

sin10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10.故答案为:1.11【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公

式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15.在圆O中，O为圆心，A，B为圆上的两点，且满足AB4，则AO在AB方向上的投影向量的模是______．【

答案】2【解析】【分析】取AB的中点H，连接OH，则OHAB，由投影的定义可得答案.【详解】取AB的中点H，连接OH，由垂径定理可得OHABAOuuur在ABuuur方向上的投影向量的模为cos2AOOAB

AHuuuruuur故答案为：216.已知ABC为锐角三角形，满足222sinsinsinsinsintanBCBCAA，ABC外接圆的圆心为O，半径为1，则OAABAC的取值范围是______

.【答案】723,2【解析】【分析】利用正弦定理，将222sinsinsinsinsintanBCBCAA转化为边，得到6A，将所求的AABACO转化成cos2cos22CB，结合6A，全部转化为B的函数，再求出B的范围，从而

得到答案.【详解】根据正弦定理sinsinsinabcABC，将222sinsinsinsinsintanBCBCAA转化为222sin12cos2bcaAbcA即1sin2A，又因A为锐角，所以6

A.12所以2ABAOAOAOBOCACO22OAOBOAOCOAcoscos2AOBAOCcos2cos22CB5cos

2cos223BB33cos2sin2222BB3cos226B因为ABC是锐角三角形，所以22BBA，所以32B，得572666B，所以73cos2223,6

2B故AABACO的取值范围是723,2.【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.四、解答题（本大题共

6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a，(2,3)b，(2,)cm（1）若()abc，求m的值；（2）若kab与2ab共线，求k的值.【答案

】（1）-1，（2）-2【解析】【分析】（1）先算出bc的坐标，再用平面向量数量积的坐标公式即可解得；（2）先算出kab与2ab的坐标，再用向量共线的坐标公式即可解得.13【详解】（1）因为(4,3)bcm，所以

()=42301abcmm.（2）2,23kabkk，2=4,1ab，因为kab与2ab共线，所以242302kkk.18.（1）已知3sin5

，4cos5，其中(,)2，(0,)2，求cos()；（2）已知1cos7，13cos()14，且02，求的值.【答案】（1）-1；（2）3.【

解析】【详解】试题分析：（1）coscoscossinsin，根据条件求解即可；（2）sinsin，只需求和三角函数即可.试题解析：（1）∵,2，0,2，3sin5，

4cos5，∴4cos5，3sin5，∴coscoscossinsin443315555.（2）∵02，1cos7，∴43sin7，∵02，13cos14，∴

02，∴33sin14，∴sinsinsincoscossin431313337147142.∴3点睛：在三角化简求值类题目中

，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.19.已知函数22()cossin23sincosfxxxxx.14（1）求()fx的最小正周期和单调递增区间.（2）当0

,4x时，求()fx的最值.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为,36kk，kZ；（2）最小值1，最大值为2.【解析】【分析】（1）结合三角恒等变换化简函数解析式，进而判断图象性质；（2）利用整体代入法求函数的最值.【详解】（1

）函数22()cossin23sincosfxxxxxcos23sin2xx132cos2sin222xx2sin26x；∴()fx的最小正周期为2T

；令222262kxk，kZ；解得36kxk，kZ；∴()fx单调递增区间为,36kk，kZ；（2）当0,4x时，22,663x

，∴1sin2,162x；∴0x时，()fx取得最小值为1，6x时，()fx取得最大值为2.20.在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsinsinacAc

ABbB．（1）求B；（2）若8ac，三角形的面积43ABCS，求b．15【答案】（1）3．（2）4【解析】【分析】（1）由题意结合正弦定理得222acbac，再由余弦定理可得1cos2B，即可得

解；（2）由（1）结合三角形面积公式可得16ac，则利用余弦定理可得22222cos3bacacBacac，计算即可得解.【详解】（1）由sinsinsinacAcABbB得sinsinsinacAcCbB，由正弦定理得22a

cacb即222acbac，222122acbac，1cos2B，由0,B可得3B．（2）由（1）知3B，则1sin432ABCSacB，解得16ac，又8ac，22222cos316bacacBacac

，解得4b．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.21.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线,ABAC为湿地两边夹角为120的公路(长度均超过2

千米)，在两条公路,ABAC上分别设立游客接送点,MN,从观景台P到,MN建造两条观光线路,PMPN，测得2AM千米，2AN千米．(1)求线段MN的长度；(2)若60MPN，求两条观光线路PM与PN之和的最大

值．【答案】（1）23千米；（2）43千米16【解析】【分析】（1）在AMN中利用余弦定理即可求得结果；（2）设PMN，根据正弦定理可用表示出PM和PN，从而可将PMPN整理为43sin30，根据的范围可知sin301时，取得最大值

.【详解】（1）在AMN中，由余弦定理得：2222212cos12022222122MNAMANAMAN23MN千米（2）设PMN，因为60MPN，所以120PNM在PMN中，由正弦定理得：sinsinsi

n120MNPMPNMPN234sinsin60MNMPN4sin120PM，4sinPN314sin1204sin4cossin4sin22PMPN

6sin23cos43sin3001203030150当3090，即60时，PMPN取到最大值43两条观光线路距离之和的最大值为43千米【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实

际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.22.已知向量33(cos,sin)(cos,sin)2222xxxxab，，函数()1fxabmab，ππ

,34x，mR．（1）当m0时，求π6f的值；（2）是否存在实数m，使函数22449gxfxm，ππ,34x有四个不同的零点？若存在，求出m17的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）32（2）存在，m的取值范围为727,64

【解析】【分析】（1）首先根据平面向量数量积的坐标运算求得函数()fx的解析式，然后求解0m时π()6f的值即可（2）令()0gx求解cosx的值，据此求得关于m的不等式，求解不等式可得实数m

的取值范围【小问1详解】33333cos,sincos,sincoscossinsincos()cos22222222222xxxxxxxxxxabx当0m时，1c

os21fxabx，则πππ13cos21cos1166322f【小问2详解】33(coscos,sinsin)2222xxxxab，

因为ππ[,]34x，所以2233(coscos)(sinsin)22cos22cos2222xxxxabxx，2()1cos212cos2cos2cosfxabmabxmxxmx令2222424()2cos2cos04949gxfxmxm

xm，即83(2cos)(cos)077mmxx，得3cos7mx或47m，方程3cos7mx或47m在ππ,34x上有四个不同的实根，18则23127241273477mmmm，得7276

3727840mmm，则727<64m，即实数m的取值范围是727[,)64．19获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com