【文档说明】2023届数学一轮复习函数与导数：1. 二次函数研究.docx，共(11)页，654.445 KB，由envi的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1第1讲：二次函数值域及恒成立问题研究二次函数应该是我们在正式学习导数前用的最多的函数，可也是我们在教学中最易忽视的地方，原因在于我们没有深刻意识到高中的二次函数对于研究函数最大的价值，而仅仅把它当成一个应该是初中老师教的一类函数罢了.这样观念上的认知不足所导致的后果就是：学生在学习导数之前，没有

深刻体会到处理函数的一般思路，而学完导数后，我们又认为学生应该掌握了处理函数的思路，于是乎，导数学习就经历从处理意识不足到游刃有余的历程，这样的思维跨度太大，很多学生很难一时接受的，从而最终导致在导数应用时出现以下困难：1.求导过程的分类讨论思想不足；2.二次以上

求导意识不够；3.缺乏从导数到值域（最值）的转化意识，特别是稍复杂的情景，难以应对.我认为上述现象的出现原因之一便是在导数之前缺少了足够的函数处理经验，对从单调性到函数值域的基本解题思想认识不足，而这恰是二次函数没学好的后果.高中阶段学

习二次函数最重要的一类题型就是动轴定区间问题，其实质为闭区间上函数值域的计算，而这正是单调性的功效.所以，我们应该要在正式学习导数之前通过二次函数或者指对与二次结合的问题，融入这样的思想：用单调性来分析值域.淡化对称轴的概念，突出轴背后的单调性变化.这样的设计

就可以再慢慢融入恒成立问题，其实质也在于值域（最值）的计算.我想，如果学生能在导数之前的函数学习中逐渐理解单调性分析值域的基本思想后，他们对导数的理解和把握会更上一层楼!基于上面的分析，本节课的设计思路也就很明确了，下来展示具体内容：一．闭区间上二次函数值域例

1．已知函数2()3fxxaxa=++−，2,4x−．求()fx的最小值()ga的表达式．【详解】（1）当2a=时，2(1)2fxxx=++，对称轴：1x=−，∴()fx在2,1−−上单调递减，在1,4−上单调递增．∴min()(1)0fxf=−=，ma

x()(4)25fxf==，故函数的值域为0,25．（2）∵2()3fxxaxa=++−的对称轴：2ax=−，①若22a−−时，即4a，()fx在2,4−上单调增，∴min()(2)73fxfa

=−=−；②若42a−时，即8a−，()fx在[2,4]−上单调减，∴min()(4)193fxfa==+；③若242a−−−时，即84a−，()fx在2,2a−−上单调减，在,42a−−上单调增，∴2m

in()()322aafxfa=−=−−+；2∴综上所述：273,4()3,844193,8aaagaaaaa−=−−+−+．13．已知二次函数2()fxaxbxc=++，且满足(0)2f=，

(1)()21fxfxx+−=+.（1）求函数()fx的解析式；（2）当,2()xtttR+时，求函数()fx的最小值（用t表示）.【详解】（1）因为二次函数2()fxaxbxc=++满足(0)2f=，(1)()21fxfxx+−=+，所以()()()2221121cax

bxcaxbxcx=++++−++=+，即2221caxbax=++=+，所以2221caba==+=，解得210cab===，因此2()2fxx=+；（2）因为2()2fxx=+是对称轴为0x=开口向上

的二次函数，当0t时，2()2fxx=+在,2xtt+上单调递增，则2min())2(fxftt=+=；当10t+，即1t−时，2()2fxx=+在,2xtt+上单调递减，则()22min2)23((1)1tfftttx=+=+=+++；当01tt+，即10t−时，

min()(0)2fxf==；综上2min22,0()2,1023,1ttfxtttt+=−++−.12．已知二次函数()2fxaxbx=+满足()20f=，且方程()fxx=有两个相等实根.（1）求()fx

的解析式；（2）是否存在实数(),mnmn，使()fx的定义域是,mn，值域是3,3mn.若存在，求,mn的值，若不存在，请说明理由.3【详解】（1）由()20f=得：420ab+=①；由()fxx=有等根得：(

)210axbx+−=有等根，∴()210b=−=，得1b=，将1b=代入①得：12a=−，∴()212fxxx=−+；（2）()()221111222fxxxx=−+=−−+，∴132n，即16n，而()fx对称

轴为1x=，即,mn在1x=的左边，∴由二次函数的性质知：()212fxxx=−+在区间,mn上单调递增，则有()3()3mnfmmfnn==，解得4,0mn=−=，故存在实数4,0mn=−=，使()fx的定义域是,mn，值域是

3,3mn.11．已知函数2()442fxxmxm=−++的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为1x，2x.（1）求2212xx+的取值范围；（2）若函数2()442fxxmxm=−++在(,1−上是减函数、且对任意的1x，22,1xm−+，总有()()1264fxfx−成立，求

实数m的范围．【详解】（1）由题意可知方程24420xmxm−++=有两个不相等的实数根1x，2x，由韦达定理得：12xxm+=，1224mxx+=，所以()()244420mm=−−+，解之得：2m或1m−；（2）()2221212122xxx

xxx+=+−222mm+=−42117416m=−−，令()2117416mgm−−=，则当2m时，()211722416gm−−=，当1m−时，()211711416

2gm−−−=，所以()12gm，所以221212xx+，即2212xx+的取值范围为1,2+；（3）函数2()442fxxmxm=−++的对称轴为2mx=，在(,1−上是减函数，所以有12m

，即2m，又因为对任意的1x，22,1xm−+，总有()()()()12maxminfxfxfxfx−−，要使()()1264fxfx−成立，则必有()()64maxminfxfx−，在区间2,1m−+上，()fx在2,2m−上单调递减，在,12mm+

上单调递增，又1(2)22mmm+−−−，所以()()2918maxfxfm=−=+，()222minmfxfmm==−++，所以有()2918264mmm+−−++，即28480mm+−，解之得：124m−，综上，实

数m的范围是24m．二．二次函数恒成立问题3．已知函数()22fxxaxb=−++，aR，bR.若关于x的不等式()fxb在1,3x上能成立，求实数a的取值范围.【详解】（2）22xaxbb−++在1,3x上能

成立，220xax+−在1,3x上能成立，22axx+，1,3x，min2axx+，522222xxxx+=（当且仅当2x=时取“=”），21,3x=，22a.4

．已知函数()22fxxax=+−，aR.（1）当1a=时，求不等式()0fx的解集；（2）若关于x的不等式()()216fxax−−在(0,2上恒成立，求a的最大值.解：（1）当1a=时，由()0fx得，220xx+−，即(1)(2)0xx−+，解得21x−

，所以不等式的解集为(2,1)−，（2）由()()216fxax−−，得2(1)40xax+−+，所以问题转化为2(1)40xax+−+在(0,2上恒成立，即41axx++在(0,2上恒成立，因为

2(]0,x，所以441215xxxx+++=，当且仅当4xx=，即2x=时取等号，所以41xx++的最小值为5，所以5a，所以a的最大值为55．已知函数()26fxxax=−+−，()4gxx

=+．若对任意()10,x+，存在(2,1x−−，使()()12fxgx，求实数a的最大值．解：()1根据题意，可将问题转化为()()maxmaxfxgx.()()222266624aa

fxxaxxaxxiii=−+−=−−−=−−+−，当02ax=，即0a时，函数()fx在()0,+上单调递减，6()()06fxf=−；当02ax=，即0a时，()2max624aafx

f==−.而()4gxx=+在(,1−−上单调递增，故()()max13gxg=−=.所以063a−或20634aa−，解得6a，所以实数a的最大值为6.总练习题14．已知二次函数2()fxaxbx=+满

足：(0)(2)ff=，且方程()fxx=有两个相等实根.（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在0,m上的最大值；（3）设0k，函数()1,2,1gxkxx=+−，若对于任意12,1x−，总存在02,1x−，使得01()()gxfx=成立，求k的取值范围.【

详解】（1）因为(0)(2)ff=，所以()fx的对称轴为0212x+==，所以12ba−=，7又因为()fxx=有两个相等的实数根，所以()210axbx+−=有两个相等的实数根，所以()21400ba=−−

=，所以121bab−==，所以121ab=−=，所以()212fxxx=−+；（2）因为()fx的对称轴为1x=，当01m时，()fx在0,m上单调递增，所以()()2max12fxfmmm==−+；当1

m>时，()fx在)0,1上单调递增，在(1,m上单调递减，所以()()max112fxf==，综上：当01m时，()fx的最大值为212mm−+；当1m>时，()fx的最大值为12；（3）因为()fx在(),1−上单调递增，()()()112424,122ff−

=−+−=−=，所以当12,1x−时，()114,2fx−，因为对于任意12,1x−，总存在02,1x−，使得01()()gxfx=成立，所以()1fx在12,1x−时的值域是()0gx在02,1x−时的值域的子集，因为()()10gxkxk=+在

R上单调递增，所以当02,1x−时，()021,1gxkk−++，所以14,21,12kk−−++，所以4211120kkk−−++，所以52k，即5,2k+.10．函数()211xxfxx−+=−，)2,x+，()23g

xxax=++，xM．（1）求函数()fx的单调性：（2）若2,2M=−，求使()gxa恒成立时a的取值范围；（3）若3a−，)2,M=+，)12,x+，2xM，使得()()12fxgx

=，求实数a的取值范围．【详解】（1）()()()()22111111111111xxxxfxxxxxxx−+−+−+===−++=+−−−−当)2,x+时，任取)12,2,xx+，且12xx

，则8()()()()()()()21121212121212121111111111xxfxfxxxxxxxxxxxxx−−=+−−=−+=−−−−−−−−因为12xx，所以120xx−，又因为)12,2

,xx+，所以111x−，211x−，所以()()12111xx−−，()()1210111xx−−，()()1211011xx−−−，所以()()120fxfx−，所以()fx在)2,x+时单调递增．（2）()gxa恒成立，则()

mingxa，又因为()gx为开口向上二次函数，对称轴为2ax=−若22a−−，即4a时，()()min272gxgaa=−=−，73a，与4a矛盾：若222a−−，即44a−时，()2min324aagxga=−=−，所以42a−若22a−，即4a−

时，()()min(272gxgaa==+，所以74a−−；综上：72a−．（3）依题意，()fx的值域含于()gx的值域，当)2,x+时，()fx单调递增，所以()()23fxf=，())3,fx+

，当3a−，)2,M=+时，()gx单调递增，所以()()272gxga=+，())72,gxa++；所以723a+，2a−．又3a−，综上：32a−−.8．已知函数()243fxxx=−+，()()43gxax=+−，aR.（1）若函数()y

fxm=−在1,1x−上有零点，求m的取值范围；（2）若对任意的11,4x，总存在21,4x，使得()()12fxgx=，求a的取值范围.（3）设()()()hxfxgx=+，记()Ma为函数()hx在[]0,1上的最大值，求()Ma的最小值.解：（1）因为函数()243

xxxm=−+−的图象的对称轴是直线2x=，所以()yx=在1,1−上为减函数.9又()yx=在1,1−上存在零点，所以()()1010−，解得08m故m的取值范围为

08mm（2）若对任意的11,4x，总存在21,4x，使得()()12fxgx=，则函数()yfx=在1,4上的函数值的取值集合是函数()ygx=在1,4上的函数值的取值集合的子集.函数()

243fxxx=−+图象的对称轴是直线2x=，所以()yfx=在1,4上的函数值的取值集合为1,3−①当4a=−时，()3gx=−，不符合题意，舍去.②当4a−时，()gx在1,4上的值域1,413aa++，只需114133aa+−+，解得522a

−−③当4a<-时，()gx在1,4上的值域为413,1aa++，只需413113aa+−+，无解.综上，a的取值范围为522aa−−（3）()2hxxax=+当2a−或0a时，()hx在[]0,1上单调递增

，则()()11Mafa==+；当20a−时，()()2max,1max,124aaMaffa=−=+，解22014aaa−+，得()2212a−−，故当20a−，()()()2,221241,2120aaMaaa−−

=+−综上，()()()2,221241,2?212aaMaaaa−−=+−−或10于是()Ma的最小值为()()212322M−=−9．已知二次函数()yfx=满足条件()00f=，()()248fxfxx+−=+．（1）求函数()yfx=的解析式；

（2）设()()23Fxtfxx=−−，其中0t，函数()Fx在3,2x−时的最大值是()Ht，求函数()Ht；（3）若()()gxfxk=+（k为实数），对于任意)10,x+，总存在)20,x+使得()()12gx

Hx=成立，求实数k的取值范围．【详解】（1）()00f=，设()2,(0)fxaxbxa=+，(2)()48fxfxx+−=+，()28f=，()20f−=，故428420abab+=−=，解得：1a=，2b=，2()2fxxx

=+；（2）()22()23(21)3Fxtxxxtxtx=+−−=+−−，(0)t≥，分以下情况讨论()Fx，3,2x−的最大值()Ht①当0t=时，()3Fxx=−−在3,2]x−上是减函数，()()()max30HtFxF==−=；②当0t时，()Fx的图象关于直线21112

2txtt−=−=−+对称，32122−+=−，故只需比较112t−+与12−的大小．当11122t−+−即1t时，(2)(3)FF−，max()()(2)85FxHtFt===−，11当11122t−

+−即01t时，()()23FF−，()()()max33FxHtFt==−=；综上所得3,01()85,1ttHttt=−；（3）3,01()85,1ttHttt=−，函数()Ht

的值域为[0,)+，()22gxxxk=++在区间[0,)+上单调递增，故值域为)k+,，对任意)10x+,，总存在)20,x+使得()()12gxHx=成立，则)),0,k++，0k．