【文档说明】第07讲 根据二次函数的图象信息解题的六种常考题型（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）.docx，共(32)页，287.287 KB，由envi的店铺上传

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第07讲根据二次函数图象信息解题的六种常考题型（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一根据二次函数图象确定a,b,c及与其有关的代数式的值典例1（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图

象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞0思路引领：由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可

得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D．解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；C、由A（﹣1

，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c＞0，故选项D

正确，符合题意；故选：D．解题秘籍：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．针对训练11．（2022•曾都区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶

点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①b＞c；②83≤n≤4；③若抛物线经过点（﹣3，y1）和点（4，y2），则y1＞y2；④关于x的方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1

个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据抛物线过点A以及抛物线对称轴为x＝1，得出c=3𝑏2，再根据图象图象可得a＜0，b＞0，c＞0，从而判断①；根据抛物线过点A以及抛物线对称轴为x＝1，可以得出抛物线与x

轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），得出a=−𝑐3，b=23c，从而得出n=4𝑐3，再根据2≤c≤3，从而判断②；根据抛物线的对称性可以判断③；根据②中n的取值范围可以判断④．解：由函数图象可得a＜0，b＞0，c＞0，∵

抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又∵对称轴为x=−𝑏2𝑎=1，∴a=−𝑏2，∴−𝑏2−b+c＝0，∴c=3𝑏2，∴c＞b，故①错误；∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），

∴﹣1×3＝﹣3，∴𝑐𝑎=−3，则a=−𝑐3，∵−𝑏2𝑎=1，∴b＝﹣2a=23c，∴n＝a+b+c=43c．∵2≤c≤3，83≤43c≤4，83≤n≤4．故②正确；∵抛物线的对称轴为x＝1，1﹣（﹣3）＝4，

4﹣1＝3，∴y1＜y2，故③错误；∵抛物线的顶点坐标（1，n），83≤n≤4，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3交点个数不能确定，故④错误．故选：A．解题秘籍：本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象以及给定条件逐个分析4条结论．本题属

于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．类型二利用二次图象比较大小典例2（2021秋•泰兴市期末）已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，直线m经过点A和点B．（1）求直线m的函数表达式；（2）若

点P（a，y1）和点Q（a，y2）分别是抛物线和直线m上的点，且﹣3＜a＜0，判断y1和y2的大小，并说明理由．思路引领：（1）由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式；（2）将点P、Q的坐标分别代入抛物线解析式，然后比较函数值的大小．解：（1

）由y＝x2+2x﹣3知，y＝（x+3）（x﹣1），∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）和（1，0）．由函数图象知：A（﹣3，0）．令x＝0，则y＝﹣3．∴B（0，﹣3）．设直线m的解析式为：y＝kx﹣3．将A（﹣3，0）代入，得﹣3k﹣3＝0．解得k＝﹣1

．∴直线m的表达式y＝﹣x﹣3；（2）y1＜y2．理由如下：∵点P（a，y1）和点Q（a，y2）分别是抛物线和直线m上的点，∴𝑦1=𝑎2+2𝑎−3，y2＝﹣a﹣3．∴𝑦1−𝑦2=(𝑎2+2𝑎−3)−(−𝑎−3)=𝑎2+3𝑎=𝑎(

𝑎+3)．∵﹣3＜a＜0，∴a（a+3）＜0．∴y1＜y2．解题秘籍：本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题时，注意运用二次函数解析式的三种

形式间的转化关系．针对训练22．（2018秋•西山区校级月考）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是y1＜y2（填“＞”、“＜”、“＝”）思路引

领：利用二次函数的性质解决问题．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x1＜x2＜1，∴y1＜y2．故答案为＜．解题秘籍：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．类型三利用二次函数图象求方程的解

或不等式的解集典例3（2021秋•咸阳校级月考）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为．思路引领：根据图象

关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．解：根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤9．故

答案是：﹣1≤x≤9．解题秘籍：本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．针对练习33．（黄石中考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或

x＞3思路引领：根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．解：由图可知，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故选：D．解题秘籍：本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．4．（2021•高台县模拟）如图，二次

函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是．思路引领：利用二次函数图象与x轴交点即为y＝0时，x的值，进而得出一元二次方程的根．解：∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A

（﹣1，0），B（3，0），∴一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．解题秘籍：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用y＝0时求出x的值是解题关键．类型四根据二次函数的图象确定其他函数图象典例4（2

021•宜都市一模）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．思路引领：根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的大致图象，从而可

以解答本题．解：设y＝y2﹣y1，∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；故选：A．解题秘籍：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．针对训练45．（2018秋•香洲区期末）已知抛物线y1＝x2+mx+n，直线y2＝2x+1，抛物线y1的对称轴与直线y2的交点为点A，且点A的纵坐标为5．（1）求m的值；（2）若点A与抛物线y1的顶点B的距离为4，求抛物

线y1的解析式；（3）若抛物线y1与直线y2只有一个公共点，求n的值．思路引领：（1）根据题意得到点A的坐标为（2，5），根据抛物线的对称轴公式即可得到结论；（2）根据已知条件得到点B的坐标为（2，1）或（2，9），根据顶点坐标公式列方程即可得到结论；（3）根据抛物线y

1与直线y2只有一个公共点得到的一元二次方程根的判别式为0，解关于n的方程即可得到结论．解：（1）∵点A的纵坐标为5，点A在直线y2＝2x+1上，∴5＝2x+1，得x＝2，∴点A的坐标为（2，5），∵物线y1的对称轴与直线y2的交点为点A，抛物线y1＝x2+mx+n，∴−

𝑚2×1=2，得m＝﹣4；（2）∵点A与抛物线y1的顶点B的距离为4，点A的坐标为（2，5），∴点B的坐标为（2，1）或（2，9），∴4𝑛−(−4)24=1或9，解得：n＝5或13，∴抛物线y1的解析式的解析式为：y1＝x2﹣4x+5或y1

＝x2﹣4x+13；（3）解{𝑦=𝑥2−4𝑥+𝑛𝑦=2𝑥+1得，x2﹣6x+n﹣1＝0，∵抛物线y1与直线y2只有一个公共点，∴△＝36﹣4n+4＝0，解得n＝10．解题秘籍：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式

，一次函数的性质，二次函数的性质，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．类型五利用二次函数的图象解一元二次方程典例5（2020•昆明）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2）

，点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C．a=𝑚+23D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞13时，y1＜y2思路引领：由抛物线开口方

向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）和b＝﹣2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二

次函数的增减性对D进行判断．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=−𝑏2𝑎=1，∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一

个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B（0，﹣2），A（﹣1，

m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a=𝑚+23，所以C选项的结论正确；∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；当点P1在直线x＝1的左侧，点P2

在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即12＜t＜1，∴当12＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．故选：D．解题秘籍：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐

标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．针对训练56．（2020•毕节市）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0

B．4＜x2＜5C．b2﹣4ac＜0D．ab＞0思路引领：利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴x1、x2是抛物线

与x轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴𝑥1+𝑥22=2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，∴﹣1＜4﹣x2＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛

物线的对称轴为直线x＝2，∴−𝑏2𝑎=2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B．解题秘籍：主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函

数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．类型六利用二次函数的图象解一元二次不等式典例6如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）则方程ax2+bx+c＝0的解为；不等式ax2+bx+c＞0的解集为；不

等式ax2+bx+c≤0的解集为．思路引领：（1）根据抛物线与x轴的两个交点坐标写出即可；（2）根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可；（3）根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．解：（1）方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x

2＝2；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜2；（3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞2．故答案为：（1）x1＝﹣1，x2＝2；（2）﹣1＜x＜2；（3）x＜﹣1或x＞2．解题秘籍：本题考查了二次函数与不等式组，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学

中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．针对训练67．（2020•利辛县模拟）如图，已知二次函数y1=23𝑥2−43𝑥的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2.则x的取值范围是．思路引领：由二次函数y1=23x2−

43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），然后观察图象，即可求得答案．解：∵二次函数y1=23x2−43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A（3，2），与x轴交

于点B（2，0），∴由图象得：若0＜y1＜y2，则x的取值范围是：2＜x＜3．故答案为：2＜x＜3．解题秘籍：此题考查了二次函数与不等式的关系．注意掌握数形结合思想的应用是关键．第二部分专题提优测试（时间

60分钟总分100分）一、选择题（每题3分，共30分）1．（2020•亳州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝0思路引领：根据二

次函数的图象与性质即可求出答案．解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故A错误；（B）由对称轴可知：x=−𝑏2𝑎＜0，∴b＜0，故B错误；（C）由对称轴可知：x=−𝑏2𝑎=−1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a+c＝a

﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误；故选：D．解题秘籍：本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．（2021•梧州二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在下列说法中，与此函数的系数相关的一元二次方程ax2+

bx+c＝0的根的情况，说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程的实数根的积为负数C．方程有两个正的实数根D．方程没有实数根思路引领：根据抛物线与x轴交点个数和位置判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况即可．解：根据图象

可以看出抛物线与x轴有两个不同的交点，故与此函数的系数相关的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，由于两交点位于原点的两侧，故一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正根一负根，故只有B正确；故选：B．解题秘籍：本题考查了抛物线与x轴的交点．根据图象与x轴交点的个数和位置判断一

元二次方程根的情况．3．（2019•梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．

x1＜﹣1＜x2＜2思路引领：可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作直线y＝m与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出

x1与x2的取值范围，进而做出判断．解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m＞0）

与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；∴x1＜﹣1＜2＜x2，故选：A．解题秘籍：理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2的问题转化为二次函数m＝（x

+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．4．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+

c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．

①④D．②③④思路引领：根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，

n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x=−𝑏2𝑎=−1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式

为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：{𝑦=𝑘𝑥+1𝑦=𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎+𝑛，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1

的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，故选：C．解题秘籍：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，

一次函数的性质，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．（多选）5．（2021•潍坊模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项正确的有（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B

．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小思路引领：根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称

点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①

×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随

x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项不符合题意；故选：ABC．解题秘籍：本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．6．（2022•碑林区校级一

模）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量且a≠0），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最小值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．﹣2C．−√2或√2D．−√2思路引领：先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线

开口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最小值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量且a≠0），∴对称轴是直线x=−2𝑎2𝑎=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵﹣2≤x

≤1时，y的最小值为9，∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴a＝﹣2或a＝1（舍去）．故选：B．解题秘籍：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．

（2021•泸州）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2B．−√2或√2C．√2D．1思路引领：先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数

的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=−2𝑎2𝑎=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2

≤x≤1时，y的最大值为9，∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．故选：D．解题秘籍：本题考查了二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c

（a≠0）的顶点坐标是（−𝑏2𝑎，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎），对称轴直线x=−𝑏2𝑎，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−𝑏2𝑎时，y随x的增大而减小；x＞

−𝑏2𝑎时，y随x的增大而增大；x=−𝑏2𝑎时，y取得最小值4𝑎𝑐−𝑏24𝑎，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−𝑏2𝑎时，y随x的增大而增大；x＞−𝑏2𝑎时，y随x的增大而减小；x=−𝑏2𝑎时，y取

得最大值4𝑎𝑐−𝑏24𝑎，即顶点是抛物线的最高点．8．（2022•贺州二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，当a≤x≤0时，y取得最小值为﹣2，则a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2思路引领：先求出二

次函数图像的对称轴x＝1，再根据函数的增减性判断出当x＝a时，y＝﹣2，代入函数关系式求出a的值即可．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴二次函数图像的对称轴为x＝1，∵﹣1＜0，开口向下，

∴在对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大，∵当a≤x≤0时，即在对称轴左侧，y取得最小值为﹣2，∴当x＝a时，y＝﹣2，∴﹣a2+2a+1＝﹣2，解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），故a的值为﹣1．故选：A．解题秘籍：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本

题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．9．（2021•石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y＝x2+2B

．y＝（x﹣2）2+2C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x+2）2﹣2思路引领：已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．解：设这个二次函数的关系式为y＝a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2＝a（0+2）2﹣2解得：a＝1故这个二次函数的关系式是y＝（x+2）2﹣2，故选：D．解题秘籍：

本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．10．（2021•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x+2）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，

则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．9B．12C．15D．18思路引领：作CD⊥AB于点D，交x轴于点E，由抛物线的解析式可以得出抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，根据AB∥x轴，就有D点的横坐标为﹣2，

就有AD＝2，由抛物线的对称性可以得出AB＝4，从而得出等边三角形ABC的周长为12．解：作CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∵AB∥x轴，∴∠DCO＝90°，∴四边形DEOA是矩形，∴OE＝AD．∵△ABC是等边三角形

，CD⊥AB，∴BD＝AD．AB＝BC＝AC．∵抛物线y＝a（x+2）2+k，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∴OE＝2，∴AD＝2，∴AB＝4∴等边△ABC的周长为：4×3＝12．故选：B．解题秘籍：本题考查了抛物线的解析式的顶点式的运用，抛物线的对称轴的运用

，等边三角形的性质的运用，解答时根据抛物线的解析式求出对称轴，再由对称轴求三角形的边长是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共20分）11．（2019秋•荔湾区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直

线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是．思路引领：根据二次函数图象的开口方向、

对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．∴x=−𝑏2𝑎=2，与x轴的另一个交点为（5，0），即，4a+b＝0，故①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；当x＜

2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；当x＝3时，y＝9a+3b+

c＞0，当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，∴25a+7b+2c＞0，又∵a＜0，∴8a+7b+2c＞0，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤，故答案为：①④⑤．解题秘籍：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．12．（2022•工业园区模拟）

如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为．思路引领：由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．

解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，∵D（6，4），∴点C坐标为（0，4），∴抛物线对称轴为直线x＝3，由B（8，0）可得点A坐标为（﹣2，0），∴S△ABC=12AB•OC=12×10×

4=20，故答案为：20．解题秘籍：本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．13．（2022•临清市三模）将二次函数y＝﹣x2+6x﹣5在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若

直线y＝x+b与这个图象恰好有3个公共点，则b的值为．思路引领：分类讨论直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相切，直线经过抛物线与x轴交点，结合图象求解．解：当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相切时满足题意，令﹣x2+6x﹣5＝x+b，整理得﹣x2+5x﹣5﹣b＝0，

∴Δ＝52﹣4×（﹣1）（﹣5﹣b）＝0，解得b=54，令﹣x2+6x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5，∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（5，0），当直线经过（1，0）时符合题意．将（1，0）代入y＝x+b得0＝1+b，解得b＝

﹣1，故答案为：54或﹣1．解题秘籍：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．14．（2020•长安区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），则下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根

是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a+2b+c＜0．其中正确结论的序号是．思路引领：由抛物线对称轴的位置确定ab的符号，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对A进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则可对B选

项进行判断；由对称轴公式可结C进行判断；由于x＝2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．解：①∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵对称轴为直线x＝1，∴ab＜0，∴abc＜0，所以此选项正确；②∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象

的对称轴是直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；所以此选项正确；③∵对称轴为直线x＝1，∴−𝑏2𝑎=1，b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以此选项正确；

④∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以此选项错误；其中正确结论的序号是①②③；故答案为：①②③．解题秘籍：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−𝑏2𝑎；抛物

线与y轴的交点坐标为（0，c），熟练掌握二次函数的性质是关键．15．（2022•贾汪区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则x2的取值范围是．思

路引领：由抛物线对称性及对称轴为直线x＝2可得𝑥1+𝑥22=2，根据﹣1＜x1＜0可得x2的取值范围．解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴𝑥1+𝑥22=2，∴x2＝4﹣x1，∵﹣1＜x1＜0，∴4＜x2＜5，故答案为：4

＜x2＜5．解题秘籍：本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．三、解答题（每题10分，共50分）16．（2022•宣州区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物

线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．思路引领：（1）先利用一次函数求出B、C坐标，设点A（m，0），求出点D（32+𝑚2，−12m+32），根据SABD＝4，列

出方程12（3﹣m）（−12m+32）＝4求出m的值，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，先证∠OCB＝∠OBC＝45°，利用平行线性质求出∠PEF＝∠OCB＝45°，利用三角函数得出PF＝PExsin45°=√22PE，点P到直线BC的

距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3）则点E（x，﹣x+3），求出PE＝﹣（x−32）2+94即可．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，∴C（0，3），B（3，0），设点A（m，0），∴抛物线对称轴为x=12

（3+m），∴点D（32+𝑚2，−12m+32），∵S△ABD＝4，∴12（3﹣m）（−12m+32）＝4，解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），∴点A（﹣1，0），将A，B，C三点坐标代入解析式得：{𝑐=3𝑎−�

�+𝑐=09𝑎+3𝑏+𝑐=0，解得：{𝑐=3𝑎=−1𝑏=2，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°

，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE×sin45°=√22PE，∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x−32）2+94，∵﹣1＜0，∴当x

=32时，PE最大值为94，∴PF最大=√22PE最大=√22×94=9√28，∴点P到直线BC的距离的最大值为9√28．解题秘籍：本题考查一次函数与两轴的交点坐标，等腰三角形面积，一元二次方程，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，两点距离，二次函数的性质

，本题难度一般，是常考题型．17．（2022•辉县市二模）如图，抛物线𝑦=12(𝑥−ℎ)2+𝑘的顶点A是直线OD上一个动点，该抛物线与直线OD的另一个交点为C，与y轴的交点为B，点D的坐标是（2，2）．（1）求点B的纵坐标的最小

值，并写出此时点A的坐标．（2）在（1）的条件下，若该抛物线与x轴的两个交点分别为E和F，请直接写出线段EF的长度．思路引领：（1）由点D坐标求出直线OD解析式，设点A坐标为（m，m），进而求解．（2）令

y＝0求出E，F的横坐标，进而求解．解：（1）设直线OD解析式为y＝kx，将（2，2）代入y＝kx得2＝2k，解得k＝1，∴y＝x，设点A坐标为（m，m），则抛物线解析式为y=12（x﹣m）2+m，将x＝0代入y=12（x﹣m）2+m得y=12m2+m=12（

m+1）2−12，∴点B纵坐标最小值为−12，此时m＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1）．（2）由（1）得y=−12（x+1）2﹣1，将y＝0代入y=−12（x+1）2﹣1得0=−12（x+1）2﹣1，解得x1＝﹣1+√2，x2

＝﹣1−√2，∴EF＝﹣1+√2−（﹣1−√2）＝2√2．解题秘籍：本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•浦北县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动

点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．思路引领：（1）把点A、点C的坐标代入抛物线的表达式，形成关于b、

c的方程组，解方程组即可；（2）由题意可得，P、D、E这三个点的横坐标相同，根据横坐标相同的两个点之间的距离等于其纵坐标差的绝对值可得出线段PD的长，再根据取最大值时，求出点P的坐标．解：（1）由题意得，{9+3𝑏+�

�=0𝑐=−3，解得{𝑏=−2𝑐=−3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设过A、C两点直线的解析式为y＝kx+n，由题意得，{3𝑘+𝑛=0𝑛=−3，解得{𝑘=1𝑛=−3．∴

直线AC的解析式为y＝x﹣3．∵点P在第四象限的抛物线上，∴设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）且0＜x＜3．∵PE⊥x轴交直线AC于点D，∴可设点D的坐标为（x，x﹣3），∴PD＝|x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）|，∵点D在点P的上方，∴PD＝﹣x2+3x（0＜x＜3

），即线段PD的长为﹣x2+3x（0＜x＜3）．∵线段PD的长为﹣x2+3x，∴﹣x2+3x是开口向下的抛物线，∴PD有最大值，∴当x=−𝑏2𝑎=32时，PD最大值=94．∴此时点P的纵坐标为y=94−2×32−3

=−154．∴此时点P的坐标为（32，−154）．解题秘籍：本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及函数图象上两点距离的求法，其中垂直于坐标轴的直线上两个点之间距离的求法：垂直于x轴上两个点之间的距离等于两点纵

坐标差的绝对值；垂直于y轴上两个点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值．19．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．

（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．思路引领：（1）根

据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；（

3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（

2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=−𝑏2𝑎=32．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝

2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]

．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m=52．解题秘籍：本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x

﹣x2）．20．（2022•安次区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣3，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，连接BC、AC．（1）用含a的代数式求S△ABC；（2）若S△ABC＝6，求抛物线的函数表达式；（3）

在（2）的条件下，当m﹣1≤x≤1时，y的最小值是﹣2，求m的值．思路引领：（1）根据点A坐标和对称轴可以求出点B坐标，再把点B坐标代入抛物线解析式得出a+b+c＝0，由对称轴x＝﹣1得出b＝2a，然后求出c＝﹣3a

，从而得出点C坐标，再用三角形面积公式求解即可；（2）由S△ABC＝6求出a即可；（3）分m﹣1≥﹣1，即m≥0；当m﹣1＜﹣1即m＞0，两种情况，分别求解即可．解：（1）∵A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，点B的坐标为：（1，0）；∵点B（1，0）在抛物

线y＝ax2+bx+c上，∴a+b+c＝0，∵函数的对称轴为：x＝﹣1=−𝑏2𝑎∴b＝2a，将b＝2a代入a﹣b+c＝0得：c＝﹣3a，故抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，∴C（0，﹣3a），∵a＞0，∴OC＝3a，∴S△ABC=12AB•OC=12×4×3a＝6a；（

2）∵S△ABC＝6a＝6，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（3）①当m﹣1≥﹣1时，即m≥0，函数在x＝m﹣1时，取得最小值，即：（m﹣1）2+2（m+1）﹣3＝﹣2，解得：m＝±√2（舍去负值），故m=√2

；②当m﹣1＜﹣1，即m＜0时，函数在顶点处取得最小值，而顶点纵坐标为﹣4≠﹣2，故不存在m值；综上，m=√2．解题秘籍：本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．获得更多资源请扫码加入享学资源

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