【文档说明】2021北师大版数学必修4作业：第二章 5　从力做的功到向量的数量积含解析.docx，共(7)页，80.860 KB，由envi的店铺上传

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[课时作业][A组基础巩固]1．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．72B．－72C．36D．－36解析：∵a·b＝|a||b|cos60°＝12，∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b

2＝36－12－96＝－72.答案：B2．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝()A．1B．4C．2D．5解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5.答案：

D3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝22，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：设向量a与b的夹角为θ.∵a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝a·b|a||b|＝222×2＝22，∴θ＝π4.答案：B4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝

4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2B．4C．6D．12解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.

又|a|≥0，∴|a|＝6.答案：C5．若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．π解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0.设a

与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，又|a|＝223|b|，所以3(223|b|)2－223|b|2cosθ－2|b|2＝0.因为|b|≠0，所以上式可变形为83－223cosθ－2＝0，解得cosθ＝22.因为0≤θ≤π，所以θ＝π4.故选A.答案：A6．设向量a，b满足|a＋b|

＝3，|a－b|＝1，a与b夹角为θ，则|a||b|cosθ＋|b||a|cosθ＝()A.12B.52C.54D．3解析：∵|a＋b|＝3，∴a2＋2a·b＋b2＝9①.又|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1②.由①②得a·b＝2，a2＋b2＝5，∴|a||b|cosθ＋|b||

a|cosθ＝|a|2|a||b|cosθ＋|b|2|a||b|cosθ＝a2＋b2a·b＝52.故选B.答案：B7．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则|2e1－e2|＝________.解析：|2e1－e2|＝(2e1－e2)2＝4e2

1－4e1·e2＋e22＝5－4×1×1×cos120°＝7.答案：78．已知△ABC，O为△ABC所在平面上任一点，且OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，试判断点O为△ABC的_______

_心．解析：∵OA→·OB→＝OB→·OC→⇒OA→·OB→－OB→·OC→＝0⇒OB→·(OA→－OC→)＝OB→·CA→＝0，∴OB→⊥CA→，即BO⊥AC.同理，AO⊥BC，CO⊥AB.∴点O为△ABC的垂心．答案：垂9．已知|a|＝1，|b|＝2，设a

与b的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a＋b|；(2)若a与a－b垂直，求θ.解析：(1)|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2cosπ3＋2＝3＋2.(2)由a·(a－b)＝0，得a2＝a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝a2|a

||b|＝11×2＝22.∴θ＝π4.10．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为锐角时λ的取值范围．解析：设a＋λb与λa＋b的夹角为θ.则cosθ＝(a＋λb)·(λa＋b)|a＋λb||λa＋b|＞0，即(a＋λb)·(λa＋b)＞0，展开得

，λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0.∵|a|＝2，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|cos45°＝3，∴2λ＋3(λ2＋1)＋9λ＞0，即3λ2＋11λ＋3＞0.∴λ＜－11－856或λ＞－11＋856.另外θ＝0°时，λ＝1.故λ≠1，∴λ∈(－

∞，－11－856)∪(－11＋856，1)∪(1，＋∞)．[B组能力提升]1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于()A．－49B.49C

．－43D.43解析：由题意可知，PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·2PM→＝PA→·AP→＝－PA→2＝－(23AM→)2＝－49.答案：A2．若O为平面内任一点，且满足(OB→＋OC→－2OA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC一定是(

)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：∵(OB→＋OC→－2OA→)·(AB→－AC→)＝(OB→－OA→＋OC→－OA→)·(AB→－AC→)＝(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2＝0，∴|

AB→|＝|AC→|.答案：A3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0.又|a－b|2＝4|a|2，∴|a|2－2a·b＋|b

|2＝4|a|2∴|b|2＝3|a|2∴|b|＝3|a|∴cosθ＝(a＋b)(a－b)|a＋b|·|a－b|＝|a|2－|b|24|a|2＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案：2π34．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b

|恒成立，则a，b的夹角的大小为________．解析：由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，即a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2，设a与b的夹角为θ，则4＋4xcosθ＋x2≥4＋

4cosθ＋1，即x2＋4cosθx－1－4cosθ≥0.因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，所以Δ＝(4cosθ)2＋4(1＋4cosθ)≤0，即(2cosθ＋1)2≤0，所以2cosθ＋1＝0，cosθ＝－12.又θ∈[0，π]，所

以θ＝2π3.答案：2π35．设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(t)的最小值．解析：(1)∵a⊥b，∴a·

b＝0.又x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝14(t2－3t)．(2)由(1)知，k＝14(t2－3t)＝14(t－32)2－916，

即函数k＝f(t)的最小值为－916.6．已知非零向量AB→，AC→和BC→满足(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0，且AC→·BC→|AC→||BC→|＝22，试判断△ABC的形状．解析：∵AB→|AB→|，AC→|AC→|分

别表示与AB→，AC→同向的单位向量，∴以AB→|AB→|，AC→|AC→|为邻边的平行四边形为菱形．∴表示向量AB→|AB→|＋AC→|AC→|的有向线段在角A平分线上．∴由(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0知角A的平分线垂直于BC

，∴△ABC为等腰三角形．又AC→·BC→|AC→||BC→|＝cosC＝22，∴C＝π4，从而可知，A＝π2，所以，△ABC为等腰直角三角形．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com