【文档说明】2009年高考试题——数学文（北京卷）解析版.doc，共(10)页，1.002 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名

、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题，

每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设集合21{|2},{1}2AxxBxx=−=，则AB=（）A．{12}xx−B．1{|1}2xx−C．{|2}xxD．{

|12}xx【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.∵1{|2},2Axx=−2{1}|11Bxxxx==−，∴{12}ABxx=−，故选A.2．已知向量(1,0),(0,1),(),abckabk

Rdab===+=−，如果//cd，那么A．1k=且c与d同向B．1k=且c与d反向C．1k=−且c与d同向D．1k=−且c与d反向【答案】D.w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属

于基础知识、基本运算的考查.∵a()1,0=，b()0,1=，若1k=，则c=a+b()1,1=，d=a−b()1,1=−，显然，a与b不平行，排除A、B.若1k=−，则c=−a+b()1,1=−，d=−a+b()1,1=−−，即c//d且c与d反向，排除C，故选D..

o.m3．若4(12)2(,abab+=+为有理数），则ab+=（）A．33B．29C．23D．19【答案】B.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵()()()()()()4012340123444444

1222222CCCCC+=++++1421282417122=++++=+，由已知，得171222ab+=+，∴171229ab+=+=.故选B..k.s.5.u.c.o.m4．为了得到函数3lg10xy+=的图像，只需把函数

lgyx=的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.mB．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向

右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.A．()()lg31lg103yxx=++=+，B．()()lg31lg103yxx=−+=−，C．()3lg31lg10xyx+=+−=，D．()3lg3

1lg10xyx−=−−=.故应选C.5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【答案】C.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有122A=种排法，其余三位数从余下的四

个数中任取三个有3443224A==种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448=（个）.故选C.6．“6=”是“1cos22=”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．充分必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.

o.mD．既不充分也不必要条件【答案】A.w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当6=时，1cos2cos32==，反之，当1cos22=时，有()2236

kkkZ=+=+，或()2236kkkZ=−=−，故应选A.7．若正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，则11AC到底面ABCD

的距离为()A．33w.w.w.k.s.5.u.c.o.mB．1C．2D．3【答案】D.w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160BAB=，如图，11tan603BB==

，故选D.8．设D是正123PPP及其内部的点构成的集合，点0P是123PPP的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}iSPPDPPPPi==，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B

．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域【答案】D【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.大光明如图，A

、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，()021,3iPAPAPAi==即点P可以是点A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（第8题解答图）第Ⅱ卷（110分）注意事项：1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号

二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。9．若4sin,tan05=−，则cos=.【答案】35−【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.由已知，在第三象限，∴2243cos1sin

155=−−=−−−=−，∴应填35−.10．若数列{}na满足：111,2()nnaaanN+==，则5a=；前8项的和8S=.（用数字作答）【答案】.w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m属于基础知识、基本运算的考查.1213

243541,22,24,28,216aaaaaaaaa========，易知882125521S−==−，∴应填255.11．若实数,xy满足20,4,5,xyxx+−则sxy=+的最大值为.【答案】9【解

析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查.如图，当4,5xy==时，459sxy=+=+=为最大值.故应填9.（第11题解答图）12．已知函数3,1,(),1,xxfxxx=−若()2fx=，则x=..w.w.k.s.5【答案】3log2

.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.由31log232xxx==，122xxx−==−无解，故应填3log2.13．椭圆22192xy+=的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF

=，则2||PF=；12FPF的大小为.【答案】2,120.w【解析】u.c.o.m本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵229,3ab==，∴22927cab=−=−=，∴1227FF=，又1124,26PFPFPFa=+

==，∴22PF=，（第13题解答图）又由余弦定理，得()2221224271cos2242FPF+−==−，∴12120FPF=，故应填2,120.14．设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA−且1kA+，那么k是A的一个“孤立元

”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S=，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.【答案】6.w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必

须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,

8共6个.故应填6.15．（本小题共12分）已知函数()2sin()cosfxxx=−.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间,62−上的最大值和最小值.【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数

在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵()()2sincos2sincossin2fxxxxxx=−==，∴函数()fx的最小正周期为.（Ⅱ）由2623xx−−，∴3sin212x−，∴

()fx在区间,62−上的最大值为1，最小值为32−.16．（本小题共14分）如图，四棱锥PABCD−的底面是正方形，PDABCD⊥底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB⊥平面；w.w.w.k.s.5.u.c

.o.m（Ⅱ）当2PDAB=且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PDAB

CD⊥底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AECPDB⊥平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，12

OEPD=，又∵PDABCD⊥底面，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，1222OEPDABAO===，∴45AOE=，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz−，设,,ABaPDh==则()(

)()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,AaBaaCaDPh，（Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0ACaaDPhDBaa=−==，∴0,0ACDPACDB==，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面

AECPDB⊥平面.（Ⅱ）当2PDAB=且E为PB的中点时，()1120,0,2,,,222PaEaaa，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵11

22,,,0,0,2222EAaaaEOa=−−=−，∴2cos2EAEOAEOEAEO==，∴45AOE=，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.17．（本小题共1

3分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.【解析】本题主要考查随机事件、

互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事

件A的概率为()11141133327PA=−−=.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件()0,1,2

kBk=.则由题意，得()40216381PB==，()()132212142412321224,33813381PBCPBC====.由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B的概率为(

)()()()01289PBPBPBPB=++=.18．（本小题共14分）设函数3()3(0)fxxaxba=−+.（Ⅰ）若曲线()yfx=在点(2,())fx处与直线8y=相切，求,ab的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和

极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233fxxa=−,∵曲线()yfx=在点(2,())fx处与直线8y=相切，∴()()()'203404,24.86828faababf=−===−+==

（Ⅱ）∵()()()'230fxxaa=−,当0a时，()'0fx，函数()fx在(),−+上单调递增，此时函数()fx没有极值点.当0a时，由()'0fxxa==，当(),xa−−时，()'0fx，函数()fx单调递增，当(),

xaa−时，()'0fx，函数()fx单调递减，当(),xa+时，()'0fx，函数()fx单调递增，∴此时xa=−是()fx的极大值点，xa=是()fx的极小值点.19．（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为3，右准线方程为3

3x=。（Ⅰ）求双曲线C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）已知直线0xym−+=与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆225xy+=上，求m的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本题主要考查

双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得2333acca==，解得1,3ac==，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴2222bca=−=，∴所求双曲线C的方

程为2212yx−=.（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为()()1122,,,xyxy，线段AB的中点为()00,Mxy，由22120yxxym−=++=得22220xmxm−−−=（判别式0）,∴12000,22xxxmyxmm+===+=,∵点()00,M

xy在圆225xy+=上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴()2225mm+=，∴1m=.20．（本小题共13分）设数列{}na的通项公式为(,0)napnqnNP=+.数列{}nb定义如下：对于正整数m，mb是使得不等式nam成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若11,23p

q==−，求3b；（Ⅱ）若2,1pq==−，求数列{}mb的前2m项和公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）是否存在p和q，使得32()mbmmN=+？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概

念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123nan=−，解11323n−，得203n.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴11323n−成立的所有n中的最小整数为7，即37b=.（Ⅱ

）由题意，得21nan=−，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m对于正整数，由nam，得12mn+.根据mb的定义可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当21mk=−时，()*mbkkN=；当2mk=时，()*1mbkkN=+.∴()()1221321242m

mmbbbbbbbbb−+++=+++++++()()1232341mm=++++++++++()()213222mmmmmm++=+=+.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pnqm+及0p得mqnp−.∵32()mbmmN

=+,根据mb的定义可知，对于任意的正整数m都有3132mqmmp−++，即()231pqpmpq−−−−−对任意的正整数m都成立.当310p−（或310p−）时，得31pqmp+−−（或231pqmp+−−），这与上述结论矛盾！w.w.w.k.s.5.u

.c.o.m当310p−=，即13p=时，得21033qq−−−−，解得2133q−−.∴存在p和q，使得32()mbmmN=+；p和q的取值范围分别是13p=，2133q−−.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w

.w.k.s.5.u.c.o.m