【文档说明】专题2.1 三角函数与解三角形（解析版）-2023年高考数学阶段复习名校模拟题精选（新高考地区专用）.docx，共(17)页，830.263 KB，由envi的店铺上传

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专题2.1三角函数与解三角形题组一三角函数及其性质例1、（2022~2023学年度第一学期山东省潍坊市期中学情检测高三数学）(12分)在(1)(0)1f=,(2)函数()fx图像的一个最低点为4,23−,(3)函数()fx图像上相邻两个对称中心的距离为,这三

个条件中任选两个补充在下面问题中,并给出问题的解答.已知函数()2sin()02,02fxx=+,满足(1)求函数()fx的解析式及单调递增区间;(2)在锐角ABC中,()2,3fBb==,求ABC周长的取值范围.【解析】（1）若选①②，由①得，()02sin1

f==，所以26k=+或()526kk=+Z，又因为02，所以6=，由②得，函数()fx图像的一个最低点为4,23−，所以432362k+=+，()kZ，所以312k=+，()kZ，又因为02，所以1=，所以(

)2sin6fxx=+，xR，当22262kxk−+++，()kZ，函数()fx单调递增，即22233kxk−++，()kZ，所以函数()fx单调递增区间为22,233kk−++

，kZ，若选①③，由①得，()02sin1f==，所以26k=+或526k=+，()kZ，又因为02，所以6=，由③得，函数()fx图像上相邻对称中心的距离为，所以2T=，所以1=，所以()2sin6fxx

=+，xR，当22262kxk−+++，()kZ，函数()fx单调递增，即22233kxk−++，()kZ，所以函数()fx单调递增区间为22,233kk

−++，kZ若选②③，由③得，函数()fx图像上相邻对称中心的距离为．所以2T=，所以1=，由②得，函数()fx图像的一个最低点为4,23−，所以431232k+=+，()kZ

，即26k=+，()kZ，又因为02，所以6=，所以()2sin6fxx=+，xR，当22262kxk−+++，()kZ，函数()fx单调递增，即22233kxk−++，()kZ，所以函数()fx单调递增区间为22,23

3kk−++，kZ，（2）()2sin26fBB=+=，所以sin16B+=，又因为锐角三角形，所以3B=．因为3b=，所以32sin32bB==，由正弦定理可得22sin2sin3aAC==−，2

sincC=，所以ABC△的周长22sin2sin32sin2sin323336ABCLabcACCCC=++=++=−++=++△，因为ABC△是锐角三角形，由022032CC−，得62C，所以2,633C

+，所以3sin,162C+，所以(23sin333,336ABCLC=+++△，所以ABC△周长的取值范围为(33,33+题组二正余弦定理的运用例2、（

2022~2023学年度第一学期南通市期中学情检测高三数学）在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，其中2bc=，2a=，且cos13sinaAbB+=．（1）求A的大小；（2）求ABC的面积．【解析】（1）因为cos13sinaAbB+=

，根据正弦定理sinsinabAB=得sincos1sin3sinAABB+=，即π3sincos2sin16AAA−=−=，所以π1sin62A−=．因为0πA，所以ππ5π666A−−，所以ππ66A

−=，所以π3A=．（2）在ABC中，2bc=，2a=，π3A=，根据余弦定理，22222222cos4234abcbcAcccc=+−=+−==，解得243c=，所以214323sinsin2323A

BCSbcAcA====．2-1、（2022~2023学年第一学期连云港期中调研考试高三数学试题）在ABC中，AB＝4，AC＝3．（1）若1cos4C=−，求ABC的面积；（2）若A＝2B，求BC的长．【解析】【分析】（1）利用余弦定理列

方程，解得2a=，然后利用三角形面积公式求面积即可；（2）利用正弦定理和二倍角公式得到6cosaB=，然后再利用余弦定理列方程，解方程即可得到a，即BC.【小问1详解】在ABC中，设角A、B、C所对的边分别为

a，b，c．由余弦定理得2222cosABACBCABBCC=+−，即21169234aa=+−−，得2a=或72a=−（舍），由1cos4C=−，()0,C，得22115sin1cos144CC=−

=−−=，所以ABC的面积1115315sin322244SabC===．【小问2详解】在ABC中，由正弦定理得33sinsinsin2sin2sincossinabaaABBBBBB===，所以6cosaB=．在ABC中

，再由余弦定理得2222169cos224ABBCACaBABBCa+−+−==，所以2169624aaa+−=，解得21a=．2-2、（江苏苏州市2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数学）在

锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2sin30bAa−=．（1）求角B的大小；（2）求coscoscosABC的取值范围．【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化为角后即可求出角B的大小；(2

)已知3B=后可以将AC，全用B表示，将coscoscosABC表示为B的函数，利用三角恒等变换化为一般式求范围，注意锐角三角形对角范围的限制.【小问1详解】由正弦定理，2sinbRB=，2sincRC=，代入2sin30bAa−

=，有22sinsin32sin0RBARA−=，因为A是三角形的内角，sin0A，所以3sin2B=，在锐角ABC中，3B=．【小问2详解】由（1），3B=，23AC+=，23CA=−于是2

coscoscoscoscoscos()33ABCAA=−113cos(cossin)222AAA=−+231sincoscos44AAA=−311cos2sin2842AA+=−11sin(2)468A=−−在锐角ABC中，由于3B=，有62A

，52666A−，于是1sin(2)(,1]62A−，11sin(2)468A−−1(0,]8．所以coscoscosABC的取值范围是1(0,]8．2-3、（盐城市2023届高三年级第一学期期中考试高三数学）（本小题12分）AB

C△中，角A，B，C的对边分别是,,,2cos(coscos)0abcAbCcBa++=．（1）求角A的大小；（2）若37a=，ABC△的面积是33，求ABC△的周长．【解析】（1）2cos(sincoscossin)sin0ABCBCA++=2cossin()sin0ABCA++=，在ABC

△中，ABC++=，∴sin()sinBCA+=∴122cossinsin0cos,23AAAAA+==−=．（2）在ABC△中，由余弦定理2212372133322bcbcbc+−−==22237()37712bcbcbcbcbcbc++=+−=

+==∴ABC△周长为737abc++=+．2-4、（青岛一中2022-2023学年度第一学期第一次模块考试）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足sinsinsin3sinbBcCaAbC+=

+.（1）求角A的值；（2）若6B=，且ABC的面积为23，求BC边上的中线AM的长.【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，即可得到答案.（2）法一：由题意求出23C=，再由三角形的面积公式得22ab==，由M为BC的中点得2CM=

，在ACM△中，由余弦定理可得14AM=.法二：由题意求出23C=，再由三角形的面积公式得22ab==，()12AMACAB=+，两边同时平方，即可得到答案.【小问1详解】因为sinsinsin3sinbBcCaAbC+=+，由正弦定理可得

2223bcabc+=+，所以2223cos22bcaAbc+−==.因为()0,A，所以6A=.【小问2详解】法一：因为,66AB==，所以2,3abC==，又213sin2324SabCa===，所以22a

b==，又因为M为BC的中点，所以2CM=，在ACM△中，由余弦定理可得2222cos14AMCACMCACMC=+−=，所以14AM=.法二：因为,66AB==，所以2,3abC==，又213sin2324SabCa===，所

以22,26abc===，因为AM为中线，所以()12AMACAB=+，所以()()222221122cos1444AMACABACABbbcAc=++=++=，所以14AM=.2-5、（江苏省南京市江宁区2022-2023学年高三（上）期中复习数学试

卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知coscosaBbA=，23cb=．（1）求cosC的值；（2）D为边AC的中点，若11BD=，求ABC的面积．【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角

并结合两角和的正弦公式化简可得AB=，即ab=，再利用余弦定理求cosC；（2）在BCD△中，由余弦定理可得288a=，再利用面积公式求ABC的面积.【小问1详解】在ABC中，∵coscosaBbA=，由正弦定理得：s

incoscossinABAB=，所以()sin0AB−=，因为()π,πAB−−，所以AB=，即ab=由余弦定理得：2222222312cos228bbbabcCabb+−+−===−.【小问2详解

】在BCD△中，由余弦定理得：2222cosBDBCCDBCCDC=+−，即222111112228abab=+−−，解得288a=，因为()0,πC，所以237sin1cos8CC=−=，所以ABC的面积1337sin22

SabC==.2-6、（2023届广东省高三四校联考数学）(12分)在ABC中，内角CBA,,所对的边分别为,,,cbaD为边BC上一点，若DCDBACAB=.(1)证明：AD平分BAC；(2)若ABC为锐角三角形，7=A

B，8=AC，3=C，求AD的长．【解析】(1)在三角形ABD中，由正弦定理得BADDBADBAB=sinsin，在三角形ACD中，由正弦定理得CADDCADCAC=sinsin，-------------------------------2分因为ADB与ADC互补，所

以ADCADB=sinsin，由题意得DCDBACAB=，所以BADCAD=sinsin，即BADCAD=，所以AD平分BAC得证；-----------------------------5分(2

)ABC中，由余弦定理abcbaC2cos222−+=得：aa82783cos222−+=解得3=a或5=a-------------------------------7分若3=a，则有：222bca+，则B为钝角，不

合题意，舍去；--------------8分若5=a，则有：222bca+，则B为锐角，合题意，所以5=a由(1)知：87==DCDBACAB，所以37=BD，38=DC----------------------

--------10分在ACD中，由余弦定理得：3cos2222−+=CDACCDACAD解得：738=AD所以738=AD------------------------------12分2-7、（江苏泰州市2022～2023学年度第一

学期期中考试高三数学试题）在①sin(coscos)sinsinsinCaBbAaBaAbB+−=+；②22sinsin3sincos3sincosBABBAA−=−两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a

b¹，．（1）求角C的大小；（2）若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且4,4CDBDAD==，求△ABC的面积．【解析】【分析】（1）应用正余弦边角关系、倍角正余弦及辅助角公式化简条件公式，结合三角形内角性质求角C的大小.（2）过B作//

BEAC交CD延长线于E，利用角平分线性质、相似三角形的等比例关系求出,ACBC，再应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】选①：由正弦边角关系得22(coscos)caBbAabab+−=+，再由余弦边

角关系得22222222()22acbbcacababcc+−+−+−=+，所以222cabab−=+，而2221cos22abcCab+−==−且0πC，所以2π3C=.选②：1cos21cos2cos2cos23(si

n2sin2)2222BAABBA−−−−==−，所以cos23sin2cos23sin2AABB+=+，即ππsin(2)sin(2)66AB+=+，又ab¹，则AB且0πAB+，所以ππ22π66AB+++=，可得π3AB+=，所以2π3C=.

【小问2详解】过B作//BEAC交CD延长线于E，因为CD为角平分线，且4BDAD=，则4BCAC=，由ADCBDE△△，则14ADCDACBDEDBE===，又4CD=，所以16ED=，4BEAC=，故BEBC=，又

60BCE=，故△BCE为等边三角形，则20BEBCCECDED===+=，5AC=，结合（1）结论，△ABC的面积为1sin1202532ACBC=.题组三运用三角函数及正余弦定理研究实际问题例3、（江苏省徐州市2022-2023学年高三期中数

学试卷）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距62+海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立

即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以32海里/小时的速度沿着直线追击（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】（1）两船相距3海里.（2）巡

逻艇应该北偏东75方向去追，才能最快追上走私船.【解析】【分析】（1）在ABC中，解三角形得23BC=，45ABC=，在BCD△中，由余弦定理求得CD.（2）在BCD△中，解三角形得60BCD=，90BDC=，得到135CDE=，在CDE中，由正弦定理求得30=DCE，结合

图形知巡逻艇的追赶方向.【小问1详解】由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时313,22122BDAC====，由题意知903060BAC=−=在ABC中，62,22ABAC=+

=由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC=+−221(62)(22)2(62)22122=++−+=所以23BC=在ABC中，由正弦定理得sinsinACBCABCBAC=，即222

3sinsin60ABC=所以2sin,45,2ABCABC==（135舍去）所在180604575ACB=−−=又18045456030CBD=−−−=在BCD△中，30,3,23CBDBDBC===由余弦定理得2222

cos30CDBCBDBCBD=+−()222332233cos330=+−=3CD=，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距3海里.【小问2详解】当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船，则32,3,3CEtDEtCD===在BCD△

中，由正弦定理得：sinsinsinCDBDBCCBDBCDBDC==则3323sin30sinsinBCDBDC==所以3sin,602BCDBCD==，90,135BDCCDE==在CDE中，由正弦定理得：sinsinCEDECDEDCE=则

3sin1351sin232tDCEt==，故30=DCE（150舍）ACEACBBCDDCE=++7560309075=+++＝故巡逻艇应该北偏东75方向去追，才能最快追上走私船.题组四正余弦定理的综合运用例4、（2022—2023学年度第一学期期中天津八校联考试卷）

已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且32sincaC=．（1）求A；（2）若7a=，2b=，求c；（3）若2cos3B=，求sin(2)BA−的值．【解析】【分析】（1）由正弦定理可求解答案；（

2）由余弦定理可求解答案；（3）由正弦的两角差公式再结合二倍角公式可求得答案.【小问1详解】由于02C，所以sin0C，由32sincaC=得3sin2sinsinCAC=，所以3sin2A=，且三角形ABC锐角三角形，所以3A=.【小问2详解】在ABC中，由余弦定理有2222247

1cos230242bcacAccbcc+−+−===−−=，解得3c=或1c=−（舍），故3c=.【小问3详解】由2cos3B=，可得5sin3B=，221cos2cossin9BBB=−=−，45sin22sinc

os9BBB==.所以sin(2)sin2coscos2sinBABABA−=−45113()9292=−−45318+=.4-1、（江苏省南通市通州区2022-2023学年高三（上）期中复习数学试卷）ABC的外接圆半径为1，角为A、B、C的对边分

别为a、b、c.向量(),4cosmaB=，()cos,nAb=满足//mnurr．（1）求sinsinAB+的取值范围；（2）若实数x满足abxab=+，试确定x的取值范围．【解析】【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得出4coscosabAB=，进一步得出π2A

B+=且π02A，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得sinsinAB+的取值范围；（2）分析可得11sincossincosxAAAA=+−+，令(sincos1,2tAA=+，求出函数1ytt=−在(1,2的值域，进而可求得x的取值范围.【小问1详解】解：因为//

mnurr，则4coscosabAB=，因为ABC的外接圆半径为1，则4sinsin4coscosABAB=，所以，()cos0AB+=，0πAB+，π2AB+=且π02A，则ππ3π444A+，所

以，(ππsinsinsinsinsincos2sin1,224ABAAAAA+=+−=+=+.【小问2详解】解：因为()2sincos12sincosAAAA+=+，由题意可得()22sin

2sinsincossincos114sinsin2sincossincos1sincossincosabABAAAAxabABAAAAAAAA++++=====+−+−+，设(sincos1,2tAA

=+，因为函数yt=、1yt=−在(1,2上均为增函数，故函数1ytt=−在(1,2上为增函数，所以，12sincos0,sincos2AAAA+−+，因此，)12,1sincossincosx

AAAA=++−+.4-2、（2022-2023学年第一学期高三年级第二次阶段考试数学试卷（南菁高中、泰兴中学、常州市第一中学联考卷））ABCD的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知()()sin=sinbcBbAC−−(1)求角A；(2)若ABC为锐角三角

形，且ABC的面积为S，求222abcS++的取值范围．【解析】：（1）()()sinsinbcBbAC−=−，所以()()sinsincoscossinbcBbACAC−=−，所以222222222coscos22abcbcabbcabCbcAac+−+−−=−=−=−，又2

222cosabcbcA=+−，所以1cos2A=，因为()0,A，所以3A=．…………………………………………4分（2）由（1）可知13csin24SbAbc==，222abcbc=+−．则2222222243432283433333abcabcbcbcbcSbcbc

cb+++++−===+−．………………6分因为ABC锐角三角形，所以022032CC−，整理得62C．因为()sinsinsincoscossin31sinsinsin2tan2ACbBAC

ACcCCCC++====+，所以122bc．………………10分令btc=，则函数1ytt=+在12,1上单调递减，在()1,2上单调递增，所以52,2y，即52,2bccb+，故2

22abcS++的取值范围为43163,3.…………………………………………12分4-3、（南京一中2022~2023学年第一学期期中考试试卷高三数学）在斜三角形ABC中，角A，B，C的对

边分别为a，b，c，且22cabcosC=.（1）若ABC的面积为S，且满足24Sc=，求角C的大小；（2）证明：211tanCtanAtanB=+.【答案】（1）4；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式以及24Sc

=求解出2c的表示，再根据已知的2c的表示可求tanC的值，则角C可求；（2）根据22cabcosC=以及正弦定理可得2sinCcosCsinAsinBsinC=，根据ABC++=将C表示为()AB−+的形式，结合诱导公式以及两角和的正弦公式

进行化简，从而可完成证明.【详解】解：()1由12SabsinC=，24Sc=，得22sincabC=，又22cabcosC=，22absinCabcosC=，1tanC=.0C，4C=.()2由22cabcosC=及正弦定理得

：22sinCsinAsinBcosC=，2sinCcosCsinAsinBsinC=.ABC+=−，()sinCsinABsinAcosBcosAsinB=+=+，2cosCsinAcosBcosAsinBsinCsinAsinB+=，211tanCt

anAtanB=+.4-4、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）己知，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，点P为AM与BN的交点

，求的余弦值．解析：（1）ABC△cos3sin2aCaCbc−=−26ABAC==，1||||3ANAC=MPNcos3sin2aCaCbc−=−sincos3sinsinsin2sinsin()2sinACACBCACC−=−=+−化简得：3分，求得即．5分（

2）点为BC的中点7分10分．即的余弦值为．12分sincos3sinsinsin2sinsincoscossin2sinACACBCACACC−=−=+−2sincossin3sinsinCACAC=+π2cos3sin2sin6AAA=+=+πsin16A+=π

π62A+=π3A=M1()2AMABAC=+1||||,3ANACBNANAB==−13BNACAB=−221111112223236AMBNABACACABABABACAC=+−=−−+=2221||()13||

134AMAMABACAM==+==2221||4||23BNBNACABBN==−==213cos,13||||132AMBNAMBNAMBN===MPN1313