【文档说明】第17讲 确定二次函数解析式的六种方法（解析版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）.docx，共(17)页，809.514 KB，由envi的店铺上传

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第17讲确定二次函数解析式的六种方法【学习目标】1.会用待定系数法求二次函数的表达式.2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.【基础知识】1.一般式法二次函数的表达式1）待定系数法求解二次函数一般式步骤：（1）设：表达式；（2）代

：坐标代入；（3）解：方程（组）；（4）还原：写解析式。2）一般式法求二次函数表达式的方法这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出

函数表达式.2.顶点法求二次函数的表达式方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换

掉，写出函数表达式.3．交点法求二次函数的表达式这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.交点法求二次函数的表达式其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一

次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.4.特殊条件的二次函数的表达式1）二次函数2yaxbxc=++的平移（1）将二次函数2yaxbxc=++左右平移：向左平移m个单位，函数解析式变为()()2yaxmbxmc=+++

+；向右平移m个单位，函数解析式变为()()2yaxmbxmc=−+−+．（2）将二次函数2yaxbxc=++上下平移：向上平移n个单位，函数解析式变为2yaxbxcn=+++；向下平移n个单位，函数解析式变为2yaxbxcn=++−．（3）通常，在平移前，

将二次函数2yaxbxc=++化成()2yaxmk=++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．2）二次函数的轴对称（1）关于x轴对称：2yaxbxc=++关于x轴对称后，得到的解析式

是2yaxbxc=−−−；()2yaxmk=++关于x轴对称后，得到的解析式是()2yaxmk=−+−．（2）关于y轴对称：2yaxbxc=++关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc=−+；()2yaxmk=++关于y轴对称后，得到的解析式是()2yaxmk=−+3）二次函数的中

心对称（1）关于原点对称：2yaxbxc=++关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc=−+−；()2yaxmk=++关于原点对称后，得到的解析式是()2yaxmk=−−−．（2）关于顶点对称：2yaxbxc=++关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca=−−+

−；()2yaxmk=++关于y轴对称后，得到的解析式是()2yaxmk=−++．【考点剖析】考点一：开放型例1．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（−1，0），请写一个符

合上述条件的二次函数表达式_______．【答案】y=x2+2x+1（答案不唯一）【分析】由待定系数法可设出函数的表达式，代入点坐标即可求得系数的关系式，进而可得到答案．【详解】解：设二次函数的表达式为2yxbxc=++∵二次函数过点（-1,0）∴1cb−=−令1c=，则2b=

∴二次函数的表达式为221yxx=++故答案为：221yxx=++．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．变式1.（2021•昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直

线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：．【分析】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐

标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．【详解】解：设抛物线y＝ax2+bx+c，对称轴x4，顶点到x轴的距离为2，即顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物

线解析式得：16a+4b+c＝±2，∵4，即：2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，2b+c＝2时则设a＝2，2b+c＝﹣2时，则，故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．故答案为：y＝﹣2x2﹣16x﹣34．答案不唯一．考点二：利

用一般式求解析式例2．（2022·浙江杭州·九年级期末）若二次函数的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（）A．y≤3B．y≤6C．y≥-3D．y≥6【答案】C【分析】根据图像经过三点求

出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．【详解】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），∴16164193abcabcabc=−+=++=++，解得：122ab

c==−=−，∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，∴函数的最小值为()()2412241−−−=3−，即y≥-3，故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．变式2.（2021•埇桥

区期末）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．【解题思路】根据A．B两点的坐标及点C在y轴正半轴上，且AB＝OC．求出点C的坐标为（0，5），然后根据待定系

数法即可求得．【解答过程】解：∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO＝1，OB＝4，AB＝AO+OB＝1+4＝5，∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵二次函数图象过A，C，B三点，∴，解得，∴二次函数的表达式为yx2x+5．考

点三：利用顶点式求解析式例3．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知抛物线的顶点坐标是(2,1)−，且与y轴交于点(0,3)，这个抛物线的解析式是（）A．243yxx=−+B．243yxx=++C．241yxx=+−D．241yxx=−−【答案】A【分析】用待

定系数法确定解析式，对照选择即可．【详解】∵抛物线的顶点坐标是(2,1)−，∴设抛物线的解析式为2(2)1yax=−−，把点(0,3)代入解析式，得23(02)1a=−−，解得ａ=1，∴22(2)143yxxx=−−=−+，故选A．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式

，熟练掌握解析式是解题的关键．变式3.（2021·浙江杭州·九年级阶段练习）某二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（）A．y＝12（x﹣2）2＋1B．y＝12（x﹣2）2﹣

1C．y＝12（x＋2）2＋1D．y＝﹣12（x＋2）2＋1【答案】C【分析】设二次函数的解析式为2()(0)yaxhka=−+，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，

可确定函数的解析式．【详解】解：设二次函数的解析式为2()(0)yaxhka=−+，∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），∴二次函数的解析式为2(2)1yax=++，∵二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，∴二次函数的解析式为：()21212

yx=++，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．考点四：利用两根式求解析式例4．（2021•任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝

2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣4【解题思路】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．【解答过程】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（

2，8）代入，可得8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），化简得，y＝2x2+2x﹣4．故选：D．变式4.（2021•长安区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点

B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；【解题思路】由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；【解答过程】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．∴B（2，0），C（0，2），设

过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；考点五：利用平移变换求解析式例5．（2022·河南初三月考）将抛物线216212yxx=−+向左平移2

个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（）A．()21852yx=−+B．()21452yx=−+C．()21832yx=−+D．()21432yx=−+【答案】B【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛

物线解析式即可．【解析】解：抛物线y＝12x2﹣6x+21＝12（x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）．将其向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5），所以新抛物线的解析式是：y＝12（x﹣4）2+5．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握二次

函数的平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键．变式5.（2022·上海市西南模范中学九年级期中）抛物线2yxbxc=++图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为223yxx=−

−，那么原抛物线的解析式为____________【答案】22yxx=+【分析】将抛物线223yxx=−−的图像先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得．【详解】解：将抛物线2223(1)4yxxx=−−=−−先向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为2(1)43yx=−−+，即为2(

1)1yx=−−，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为2(12)1yx=−+−，即为22(1)12yxxx=+−=+，则原抛物线的解析式为22yxx=+，故答案为：22yxx=+．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．考点六：

利用对称变换求解析式例6．（2022·湖北恩施·二模）抛物线y＝5x2＋3x＋2关于x轴对称的抛物线解析式为（）A．y＝5x2＋3x＋2B．y＝－5x2－3x－2C．y＝－5x2－3x＋2D．y＝－5x2＋3x＋2【答案

】B【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．【详解】解：抛物线y＝5x2＋3x＋2关于x轴对称的抛物线解析式为-y＝5x2＋3x＋2，∴所求解析式为：y＝－5x2－3x－2，∴A、C、D错误，不符合题意，B正确，

符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．变式6.（2021.绵阳市九年级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物

线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．【解题思路】（1）直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案；（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于原点对

称的特点得出答案．【解答过程】解：（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，得﹣y＝﹣2

（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7所以二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．【真题演练】1．（2022·吉林吉林·一模）顶点为(﹣2，1)，且开口方向、形状与函数y

＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（）A．y＝﹣2(x﹣2)2﹣1B．y＝2(x+2)2+1C．y＝﹣2(x+2)2﹣1D．y＝﹣2(x+2)2+1【答案】D【分析】根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵此函数的开口方向、形状与函数22yx=−，∴该函数的关系式中2a=−，根据顶点式

可得该函数关系式为：y＝﹣2（x+2）2+1，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的知识解答．2.（2021•宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其

中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，FB．E，GC．E，HD．F，G【解题思路】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y＝a（x﹣3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入

求出a即可得到抛物线解析式．【解答过程】解：∵F（2，2），G（4，2），∴F和G点为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴H（3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，把E（0，10）代入得9a+1＝1

0，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1．故选：C．3．（2022·四川眉山·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线245yxx=−+，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A．245yxx=−

−+B．245yxx=++C．245yxx=−+−D．245yxx=−−−【答案】C【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．【详解】∵2245(2)

1yxxx=−+=−+，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线245yxx=−+沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为2(2)1=−−−yx，化简后为：245yxx=−+−．故选：C．【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解

析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．4．（2021·全国·九年级课时练习）若抛物线经过()()()0,1,1,0,1,0−三点，则此抛物线的表达式为（）A．21=−+yxB．21yx=−−C．21yx=+D．

21yx=−【答案】A【分析】利用交点式设出抛物线解析式再计算即可.【详解】∵抛物线经过()()1,0,1,0−∴设抛物线解析式为(1)(1)yaxx=+−把()0,1代入得：1(01)(01)a=+−1a=−∴抛物线解析式为2(1)(1)1yxxx=−+−=−+故选A.【点睛】本

题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选择合适的方法是解题的关键.5．（2021·北京昌平·九年级期中）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．223yxx=+−B．223yxx=−−C．223yxx=−+−D．223yxx=−−+【答案】B【分析】根据题意，由

函数图像的对称轴及与x轴的一个交点，则可以知道函数与x轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为1x=，与x轴的一个交点为(1,0)−，则函数与x轴的另一个交点为(3,0)，故设二次函数的表达式为2yaxbxc

=++，函数另外两点坐标(1,0)−，(1,4)−可得方程组0=9304abcabcabc++=−+−=++，解得方程组得123abc==−=−，所以二次函数表达式为223yxx=−−．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法

和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．6．（2022·山西·三模）已知抛物线12()()yaxxxx=−−与坐标轴的交点分别为()1,0，()0,3，()3,0，现将该抛物线先向上平移2个单位长

度，再向左平移3个单位长度，则新抛物线的函数表达式为（）A．2(1)3yx=++B．2(5)3yx=−+C．2(5)1yx=−−D．2(1)1yx=++【答案】D【分析】根据抛物线与x轴的交点为()1,0，()3,0得出(1)(3)yaxx=−−，将点（0，3）代入抛物线解析式，求出a，再

根据抛物线的平移规律回答即可．【详解】解：∵抛物线12()()yaxxxx=−−与坐标轴的交点分别为()1,0，()3,0，()()13yaxx=−−，将点（0，3）代入上式，得()()30103a=−−，∴a=1，∴抛物线的解析式为：

(1)(3)=−−yxx，将抛物线化为顶式：()221yx=−−该抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后为：()23212yx=+−−+，即：()211yx=++，故选：D．【点睛】本题考查了图形的平移规律，待定系数求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的顶点式，掌握抛

物线的平移规律是解本题的关键．7.（2021·辽宁鞍山·九年级阶段练习）一条抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，请写出一个符合条件的抛物线的解析式________．（只需写一个）【答案】答案不唯一，例如22yxx=+等（只需写一个）【分析】抛物线开口向上，二次项系数为正，对称轴在y轴的左侧，选择

顶点的横坐标为负数即可．【详解】解：依题意写出抛物线的顶点式：2(1)1yx=+−，即22yxx=+．故答案是：22yxx=+（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质．该题是结论开放型题型，通过开口方向，对称轴的位置反映的数量关系写二次函数解析式．8．（2021·内蒙古·包头市九年级阶段练

习）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），则抛物线的表达式为_____．【答案】2142yxx=−−+【分析】利用待定系数法问题可解．【详解】解：抛物线过点(4,0)A−，(2,0)B，设抛物线表达式为：(4

)(2)yaxx=+−，把(0,4)C代入得4(04)(02)a=+−，12a=−，抛物线表达式为：211(4)(2)422yxxxx=−+−=−−+，故答案是：2142yxx=−−+．【点睛】本题考查

二次函数的解析式、解题的关键是掌握待定系数法进行求解．9．（2021·重庆·北京师范大学江津附属学校九年级期中）已知二次函数的图象经过原点及点（12−，14−），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为__________________．

【答案】21133yxx=−+或2yxx=+【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（-1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（-

12，-14）或（0，0）、（-1，0）、（-12，-14）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，把（0，0）、（1，0）、（-1

2，-14）代入得00111424cabcabc=++=−+=−，解得13130abc=−==，则二次函数的解析式为21133yxx=−+；当图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0）时，把（0

，0）、（-1，0）、（-12，-14）代入得00111424cabcabc=−+=−+=−，解得110abc===，则二次函数的解析式为y=x2+x．所以该二次函数解析式为y=-13x2+13x或y=x2+x．故答案为：y=-

13x2+13x或y=x2+x．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后把二次函数图象上三个点的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定

二次函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用．10.已知二次函数yx2﹣3x+1，（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达

式．（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．【解题思路】（1）先利用配方法将二次函数整理为用顶点式表示的形式，再根据平移的规律即可得出新抛物线的解析式；（2）根据图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，即可得出图象的函

数解析式；（3）根据图象绕x轴翻折后，其顶点与原顶点关于x轴对称，得出所求抛物线的顶点坐标，再由图象翻折后开口向下，得出二次项系数a的值，即可求出所求的解析式．【解答过程】解：（1）∵yx2﹣3x+1（x2﹣6x）+1（x﹣3）2，∴把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位得到

的函数的解析式为：y（x﹣3﹣1）23，即y（x﹣4）2x2﹣4x；（2）因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，所以所得图象的函数解析式为y（x﹣3）2x2+3x﹣8；（3）

∵yx2﹣3x+1（x﹣3）2的图象绕x轴翻折后，∴顶点为（3，），∵图象翻折后开口向下，∴所求解析式为y（x﹣3）2x2+3x﹣1．【过关检测】1．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），

则这二次函数的表达式为（）A．y=-6x2+3x+4B．y=-2x2+3x-4C．y=x2+2x-4D．y=2x2+3x-4【答案】D【解析】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4）

，（1，1）分别代入，得：541abccabc−+−−++＝＝＝解得234abc−＝＝＝所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．2．一个二次函数的图象的顶点坐标为()3,1−，与y轴的交点()0,4−，这个二次函数的解析式是（）A．21yx2x43=−

+B．21yx2x43=−+−C．21y(x3)13=−+−D．2yx6x12=−+−【答案】B【解析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把

（0，﹣4）代入得：a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣13，所以抛物线解析式为y=﹣13（x﹣3）2﹣1=﹣13x2+2x﹣4．3．（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．向下平移该二次函数的

图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（）A．y＝x2﹣2xB．y＝x2﹣4xC．y＝x2﹣4x﹣3D．y＝x2﹣4x+3【答案】B【分析】根据对称轴可求得a，进而根据向下平移经过原点即可求得平移后的解析式【详解】解：

∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2∴122a+=解得3a=()()21343yxxxx=−−=−+向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，平移后图象所对应的二次函数的表达式为24yxx=−故选B【

点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的平移，求得二次函数的解析式是解题的关键．4．（2021·山东泰安·九年级期末）如图，将二次函数2yxx2=−−的图像沿x轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（）A．

22yxx=−+B．22yxx=−−−C．22yxx=−+−D．22yxx=−++【答案】D【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可．【详解】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴将二次函数2

yxx2=−−的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为22yxx−=−−，即22yxx=−++．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴的对称点的坐标特点是解答此题的关键．5．（2022·黑龙江大庆·九年级期末）抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣

1，0），利用两点式抛物线解析式可设为：_____．【答案】(2)(1)yaxx=−+【分析】根据两点式解析式的特点设(2)(1)yaxx=−+．【详解】解：∵抛物线与x轴交于点（2，0），（﹣1，0），∴抛物线解析式可设为(2)(1)yaxx=−+，故答案为：(2)(1)yaxx=−+．【点

睛】此题考查两点式解析式的公式12()()yaxxxx=−−，正确掌握公式及字母表示的意义是解题的关键．6．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．【答案】221yxx=++【解析】此题考

查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．根据对称轴解析式，设抛物线顶点式解析式，然后把点A、B的坐标代入解析式，利用待定系数法求函数解析式求解即可．设抛物线的解析式为y=a（x

+1）2+k，∵抛物线经过A（1，4），B（-2，1）两点，∴44,1,akak+=+=解得1,0,ak==∴这个抛物线的解析式为y=（x+1）2，即y=x2+2x+1．7.（2020•西城区校级模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的

一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式．【解题思路】利用二次函数的性质可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，二次项系数为1，然后

利用顶点式写出满足条件一个二次函数表达式．【解答过程】解：∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，∴二次项系数为1，∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1

）2．故答案为y＝（x﹣1）2．8．（2021·全国·九年级课时练习）顶点坐标为(3,0)−，开口方向与抛物线2yx=−的方向相反，形状相同求抛物线解析式．【答案】2(3)yx=+【分析】由题意设所求抛物线的解析式为2(3)yax=+，再由开口方向与抛物线2yx=−的方向相反且形状相同，即可得

a的值，从而求得解析式．【详解】设所求抛物线的解析式为2(3)yax=+∵抛物线2(3)yax=+与抛物线2yx=−的开口方向相反∴a>0∵抛物线2(3)yax=+与抛物线2yx=−的形状相同∴a=1或a=－1∴a=1即所求抛物线的

解析式为2(3)yx=+【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，关键掌握二次函数的二次项系数决定抛物线的开口方向及形状．9．（2022•荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（

﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．【解题思路】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答过程】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（

0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为（5，4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A、C、D，∴，解得．故抛物线的解析式为yx2x+4．10．（2021•汉阳区校级月考）已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解

析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2．所以抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．11.（2022

•漳州月考）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣4），再利用B点坐标和BC＝5得到C点坐标，然后把C点坐标代入可求出a的值

，从而得到两个解析式．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），∵B（4，0）两点，交y轴于C，BC＝5，∴C点坐标为（0，3）或（0，﹣3），当C点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a，所以此时抛物线的解

析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x+3；当C点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a，所以此时抛物线的解析式为y（x﹣1）（x﹣4）x2x﹣3，所以该二次函数的解析式为yx2x+3或yx

2x﹣3．12.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【解题思路】先确定出抛物线经过点（1，0），

再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出原抛物线的顶点坐标，然后设出抛物线顶点式形式，再把点的坐标代入求出a的值，即可得解．【解答过程】解：∵a+b+c＝0，∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∵向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后

抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），∴原抛物线的顶点坐标为（3，1），设抛物线顶点式形式y＝a（x﹣3）2+1，则a（1﹣3）2+1＝0，解得a，所以，原抛物线的解析式为y（x﹣3）2+1．13.已知抛物线的顶点为

P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．【解题思路】先求出点P的坐标，再令y＝0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标，然后根

据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可．【解答过程】解：点P的坐标为（﹣2，﹣5），令y＝0，则（x+2）2﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝﹣5，所以，点B的坐标为（1，0），∵点P、M关于点B对称，∴点M的坐标为（4，5），∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得

到C3，∴抛物线C3的解析式为y（x﹣4）2+5