【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2014年北京高考理科数学试题及答案.docx，共(14)页，479.095 KB，由envi的店铺上传

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绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每

小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合2{|20}Axxx=−=，{0,1,2}B=，若AB=(A){0}(B){0,1}(C){0,2}(D){0,1,2}(2)下列函数中，在区间(0,}+上为增函数的是(A)1yx=+(B)2=(1

)yx−(C)2xy−=(D)0.5log(1)yx=+(3)曲线1cos2sinxy=−+=+，（为参数）的对称中心(A)在直线2yx=上(B)在直线2yx=−上(C)在直线1yx=−上(D)在直线1yx=+上(4)当7m=,3n=时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)7

(B)42(C)210(D)840(5)设{}na是公比为q的等比数列，则“1q”是“{}na”为递增数列的(A)充分且不必要条件(B)必要且不充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件(6)若,xy满足20200xykxyy+−−+

且zyx=−的最小值为4−，则k的值是(A)2(B)2−(C)12(D)12−否开始输出S,1kmS==SSk=1kk=−结束是1kmn−+输入m,n的值(7)在空间坐标系Oxyz−中，已知(2,0,0)A，(

2,2,0)B，(0,2,0)C，(1,1,2)D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC−在xOy，yOz，zOx则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A)1S=2S=3S(B)1S=2S且31SS(C)1S=3S且

32SS(D)2S=3S且13SS(8)有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一

样的。问满足条件的多少学生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)复数211ii+=−_____．(10)已知向量a、b满足||1a=，a、(2,1)b=且0a

b+=，则||=_____．(11)在设曲线C经过点(2,2)，且2214yx−=具有相同渐近线，则C的方程是．(12)若等差数列{}na满足7890aaa++，7100aa+，则当n=______时，{}na的前n项和最大．(13)把5件不同的产品

摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种．(14)设函数()sin()fxAx=+（,,A是常数，0,0A），若()fx在区间[,]62上具有单调性，且2()()-()236fff==，则()fx的

最小正周期为．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。(15)（本小题13分）如图，在ABC中，3B=，8AB=，点D在BC边上，且CD=2，1cos7ADC=（Ⅰ）求sinBAD．（Ⅱ）求BD，AC的长．BA

CD(16)（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（Ⅰ）从

上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场

，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比()EX和x的大小。(17)（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM和MD的中点，在五棱锥PABCDE−中，F为PE的中点，平面ABC与棱PD，PC分别相较于点G、H．（Ⅰ）求证：//ABFG；（Ⅱ）若PA⊥平面A

BCDE，且A为垂足，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段P的长EDCMFBAPHG(18)（本小题13分）已知函数()cossinfxxxx=−，[0,]2x（Ⅰ）求证：()0fx；（Ⅱ）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值．(

19)（本小题14分）已知椭圆C：2224xy+=．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线2y=上，且OAOB⊥，求直线AB与圆222xy+=的位置关系，并证明你的结论．(20)

（本小题13分）对于数对序列11(,)Pab，22(,)ab，…，(,)nnab，记111()TPab=+,112()max{(),}kkkkTPbTPaaa−=++++(2)kn，其中112max{(),}kkTPaaa−+++表示1()kTP−和12k

aaa+++两个数中最大的数．（Ⅰ）对于数对序列(2,5)P，(4,1)，求1()TP，2()TP；（Ⅱ）记m为四个数a、b、c、d的最小值，对于两个数对(,)ab，(,)cd组成的数对序列(,)Pa

b，(,)cd和'(,)Pcd，(,)ab，试分别对ma=和mb=时的情况比较2()TP和2(')TP的大小；（Ⅲ）在由5个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的有序

数对序列中，写出一个数对序列P使5()TP最小，并写出5()TP的值（只需写出结论）。绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）

D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）−1（10）5（11）221312xy−=2yx=（12）8（13）36（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在ADC

中，因为17COSADC=，所以43sin7ADC=。所以sinsin()BADADCB=−sincoscossin4311333727214ADCBADCB=−=−=（Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得338sin143sin437ABBADBDADB===

，在ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCABBCB=+−22185285492=+−=所以7AC=（16）（共13分）解：（I）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以

在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场

不超过0.6”。则C=ABAB，A,B独立。根据投篮统计数据，32(),()55PAPB==.()()()PCPABPAB=+33225555=+1325=所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.

6，一场不超过0.6的概率为1325.（Ⅲ）EXx=.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE。又因为AB平面PDE，所以AB∥平面PDE，因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDFFG=，所以AB∥FG。（Ⅱ）因为PA⊥底面ABC

DE,所以PAAB⊥，PAAE⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz,则(0,0,0)A,(1,0,0)B,(2,1,0)C,(0,0,2)P,(0,1,1)F,BC(1,1,0)=.设平面ABF的法向量为(,,)nxyz=，则0,0,nABnAF==即

0,0.xyz=+=令1,z=，则1y=−。所以(0,1,1)n=−，设直线BC与平面ABF所成角为a,则1sincos,2nBCanBCnBC===。设点H的坐标为(,,).uvw。因为点H在棱PC上，所

以可设(01),PHPC=，即(,,2)(2,1,2).uvw−=−。所以2,,22uvw===−。因为n是平面ABF的法向量，所以0nAB=，即(0,1,1)(2,,22)0−−=。解得23=，所以点H的坐标为422(,,

).333。zyxABCDEFGPMH所以222424()()()2333PH=++−=（18）（共13分）解：（I）由()cossinfxxxx=−得'()cossincossinfxxxxxxx=−−=−

。因为在区间(0,)2上'()fxsin0xx=−，所以()fx在区间0,2上单调递减。从而()fx(0)0f=。（Ⅱ）当0x时，“sinxax”等价于“sin0xax−”“sinxbx”等价于“sin0xbx−”。令()gxsinxcx=−，则'()gxcosxc

=−，当0c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立。当1c时，因为对任意(0,)2x，'()gxcosxc=−0，所以()gx在区间0,2上单调递减。从而()gx(0)0g=对任意(0,)2x恒成立。当01c时，存在唯一的0(0

,)2x使得0'()gx0cosxc=−0=。()gx与'()gx在区间(0,)2上的情况如下：x0(0,)x0x0(,)2x'()gx+0-()gx↗↘因为()gx在区间00,x上是增函数，

所以0()(0)0gxg=。进一步，“()0gx对任意(0,)2x恒成立”当且仅当()1022gc=−，即20c，综上所述，当且仅当2c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立；当且仅当1c时，

()0gx对任意(0,)2x恒成立。所以，若sinxabx对任意(0,)2x恒成立，则a最大值为2，b的最小值为1.（19）（共14分）解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy+=。所以224,2ab==，从而2222cab=−=。因

此2,2ac==。故椭圆C的离心率22cea==。（Ⅱ）直线AB与圆222xy+=相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为00(,)xy，(,2)t，其中00x。因为OAOB⊥，所以0OAOB=，即0020txy+=，

解得002ytx=−。当0xt=时，202ty=，代入椭圆C的方程，得2t=，故直线AB的方程为2x=。圆心O到直线AB的距离2d=。此时直线AB与圆222xy+=相切。当0xt时，直线AB的方程为0022()

yyxtxt−−=−−，即0000(2)()20yxxtyxty−−−+−=，圆心0到直线AB的距离0022002(2)()xtydyxt−=−+−又220024xy+=，002ytx=−故2000222000202244yxxdyxyx+=+++00420020428162xxxxx+==

++此时直线AB与圆222xy+=相切。（20）（共13分）解：（I）1()257TP=+=11()1max(),24TPTP=++1max7,6=+=8（Ⅱ）2()TPmax,abdacd=++++2(')TP=max,cdbcab++

++.当m=a时，2(')TP=max,cdbcab++++=cdb++因为cdbcbd++++，且acdcbd++++，所以2()TP≤2(')TP当m=d时，2(')TPmax,cdbcab=++++cab=++因为abd++≤cab++，且acdcab++++所以2()

TP≤2(')TP。所以无论m=a还是m=d，2()TP≤2(')TP都成立。（Ⅲ）数对序列:P（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()TP值最小，1()TP=10，2()TP=26，3()TP=42，4()TP=50，5()T

P=52