【文档说明】2009年高考试题——数学理（天津卷）解析版.doc，共(11)页，1.214 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）参考公式：。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）i是虚数单位，52ii−=（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。解析：iiiii215)2(525+−=+=−，故选择D。（2）设变量x，y满足约束条件：3

123xyxyxy+−−−.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式3123xyxyxy+−−−表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zxy+−=在可行域上平移

，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组=−=+323yxyx得)1,2(，所以734min=+=z，故选择B。（3）命题“存在0xR，02x0”的否定是（A）不存在0xR,02x>0（B）存在0xR,02x0（C）对任意的xR,2

x0（D）对任意的xR,2x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在Rx0，使020x”，故选择D。（4）设函数1()ln(0),3fxxxx=−则()yfx=A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均

无零点。C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。8642-2-4-15-10-5510152x-y=3x-y=1x+y=3qx()=-2x3+7hx()=2x-3gx()=x+1fx()=-x+3ABD在区

间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析：由题得xxxxf33131)`(−=−=，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；0)`(=xf得3=x，故知函数)(xf

在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+为增函数，在点3=x处有极小值03ln1−；又()0131)1(,013,31)1(+=−==eefeeff，故选择D。（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A26B35C40D5

7【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。解：当1=i时，2,2==ST；当2=i时，7,5==ST；当3=i时，15,8==ST；当4=i时，26,11==ST；当5=i时，40,14==ST；当6=i时，57,17==ST，故选择C。(6）设0,

0.ab若11333abab+是与的等比中项，则的最小值为A8B4C1D14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为333=ba，所以1=+ba，4222)11)((11=+++=++=+baabbaabbababa，当

且仅当baab=即21==ba时“=”成立，故选择C（7）已知函数()sin()(,0)4fxxxR=+的最小正周期为，为了得到函数()cosgxx=的图象，只要将()yfx=的图象w.w.w.k.s.5.

u.c.o.mA向左平移8个单位长度B向右平移8个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC向左平移4个单位长度D向右平移4个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查诱导公

式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知2=，所以)8(2cos)42cos()]42(2cos[)42sin()(−=−=+−=+=xxxxxf，故选择A。（8）已知函数−+=0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)(),fafa−则实

数a的取值范围是A(,1)(2,)−−+B(1,2)−C(2,1)−D(,2)(1,)−−+【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa−22，解得12−a，故选择C。（9）．设抛物线2y

=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=（A）45（B）23（C）47（D）12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共

线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知12122121++=++==ABABACFBCFxxxxACBCSS，又323221||−===+=BBByxxBF由A、B、M三点共线有BMBMAMAMx

xyyxxyy−−=−−即23330320−+=−−AAxx，故2=Ax，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴5414131212=++=++=ABACFBCFxxSS，故选择A。（10）ab+10,若关于x的不等

式2()xb−＞2()ax的解集中的整数恰有3个，则（A）01−a（B）10a（C）31a（D）63a【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式2()xb−＞2()ax即02)1(222−+−bbxxa，它的解应在两根之间，故有04)1(44

22222=−+=baabb，不等式的解集为11+−−abxab或110−−+abxab。若不等式的解集为11+−−abxab，又由ab+10得110+ab，故213−−−−ab，即312−

ab二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专

业应抽取____名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。解析：C专业的学生有4004203801200=−−，由分层抽样原理，应抽取401200400120=名。642-2-4-6-10-55x=-0.5F:(0.51,

0.00)hx()=-2x+3gy()=-12fy()=y22ABFC（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则=a_______【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以

有333322==aa。(13)设直线1l的参数方程为113xtyt=+=+（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4则1l与2l的距离为_______w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程

、两条平行线间的距离，基础题。解析：由题直线1l的普通方程为023=−−yx，故它与与2l的距离为510310|24|=+。(14)若圆224xy+=与圆22260xyay++−=（a>0）的公共弦的长为23，则=a___________w.w.w.k.s.5

.u.c.o.m。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知22260xyay++−=的半径为26a+，由图可知222)3()1(6=−−−+aa解之得1=a(15)在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBD

BABCBD+=，则四边形ABCD的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的3倍，所以21222622cos−=−+=ABD，故23sin=

ABD，323)2(2==SABCD。（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。

解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：901333143323=+CACAC种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23413332313143323=+CACCCAC种，所以共有32423490=+个

。三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinAw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)求AB的

值：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(II)求sin24A−的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦

定理，ABCCABsinsin=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m于是AB=522sinsin==BCBCAC（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=5522222=•−+ACABBDACAB于是sinA=55cos12=−A从而sin

2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=102（18）（本小题满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品

中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基

础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为Ck3，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CCkk−373，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一

等品的概率为P(X=k)=CCCkk310373−,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P24740214071203X的数学期望EX=109120134072402112470=+++（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品

件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而,403)(31023131=CCCAPP(A2)=P(X=2)=407,P(A3)=P(X

=3)=1201,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=403+407+1201=12031（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD,AD

//BC//FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12ADw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD⊥平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w

.k.s.5.u.c.o.m本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为A

D的中点，连结EP，PC。因为FE//=AP，所以FA//=EP，同理AB//=PC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=

a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a2，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）证明：因为.CEMPMP.CEDMCEM⊥⊥=，则连结的中点，所以为且DEDC.

CDEAMDCDECE.AMDCEMDMMP平面，所以平面平面而平面，故又⊥⊥=（III）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CDEQDECE.EQPQCDQ⊥=.ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角，故，所以−−⊥=由（I）可得，.2226EQaPQaPQEP==⊥，，，中，

于是在33cosEPQRt==EQPQEQPw.w.w.k.s.5.u.c.o.m方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设，1=AB依题意得()，，，001B()，，，011C()，，，020D()，，

，110E()，，，100F.21121M，，（I）()，，，解：101BF−=()，，，110DE−=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.2122100DEBFDEBFDEcos=•++=•

=，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.（II）证明：，，，由=21121AM()，，，101CE−=()0AMCE020AD=•=，可得，，，.AMDCEAADAM.ADCE

AMCE.0ADCE平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=•.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而⊥w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（III）=•=•=.0D0)(CDEEuCEuzyxu，，则，，的法向量为解：设平

面w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.111(1.00），，，可得令，于是===+−=+−uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，，=v.3313100cos=•++=•=vuvuvu，所以，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（20）（本小题满

分12分）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR=+−+其中aR（1）当0a=时，求曲线()(1,(1))yfxf=在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。w.w.w.k

.s.5.u.c.o.m本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解：.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx=+===，故，时，当.3))1(,1()(efxf

y处的切线的斜率为在点所以曲线=（II）.42)2()('22xeaaxaxxf+−++=解：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.2232.220)('−−−=−==aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若＞32，则a2−＜2−a.当x变化时，

)()('xfxf，的变化情况如下表：x()a2−−，a2−()22−−aa，2−a()+−，2a+0—0+↗极大值↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以−−+−−−aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf−=−−−=，且处取得极大

值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.)34()2()2(2)(2−−=−−−=aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若＜32，则a2−＞2−a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：

x()2−−a，2−a()aa22−−，a2−()+−，a2+0—0+↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf−−+−−−.)34()2()2(2)(2−−=−−−=aeaafafaxxf，且处取得极大值在函

数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf−=−−−=，且处取得极小值在函数（21）（本小题满分14分）以知椭圆22221(0)xyabab+=的两个焦

点分别为12(,0)(,0)(0)FcFcc−和，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与,AB两点，且1212//,2FAFBFAFB=。（1）求椭圆的离心率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求直线AB的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（3）设点C与点A关于

坐标原点对称，直线2FB上有一点(,)(0)Hmnm在1AFC的外接圆上，求nm的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，

满分14分（I）解：由1FA//2FB且12FA2FB=，得2211EFFB1EFFA2==，从而22a1a2cccc−=+整理，得223ac=，故离心率33cea==w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）解：由（I）得22222bacc=−=，所以椭圆的方程可写为222236xyc

+=设直线AB的方程为2aykxc=−，即(3)ykxc=−.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由已知设1122(,),(,)AxyBxy，则它们的坐标满足方程组222(3)236ykxcxyc=−+=消去y整理，得2222

22(23)182760kxkcxkcc+−+−=.依题意，223348(13)033ckk=−−，得而21221823kcxxk+=+①2212227623ckccxxk−=+②w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由题设知，点B为线段AE的中点，所以1

232xcx+=③联立①③解得2129223kccxk−=+，2229223kccxk+=+将12,xx代入②中，解得23k=.(III)解法一：由（II）可知1230,2cxx==w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当23k=−时，得(0,2)Ac，由已知得(0,2

)Cc−.线段1AF的垂直平分线l的方程为22222cycx−=−+直线l与x轴的交点,02c是1AFC外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x22ccyc−+=+.直线2FB的方程为2()yxc=−，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

2229242()ccmnnmc−+==−，由0,m解得53223mcnc==故225nm=当23k=时，同理可得225nm=−.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解

法二：由（II）可知1230,2cxx==当23k=−时，得(0,2)Ac,由已知得(0,2)Cc−由椭圆的对称性可知B，2F，C三点共线，因为点H（m，n）在1AFC的外接圆上，且12//FAFB，所以四边形1AFCH为等腰梯形.由直线2FB的方程为2()yxc=−,知点H的坐标为(,22)

mmc−.因为1AHCF=，所以222(222)mmcca+−−=，解得m=c（舍），或53mc=.则223nc=，所以225nm=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当23k=时同理可得n225m=−（22）（本小题满分14分）已知等差数列{na}的公差为d（d0），等比数列{nb}的公比

为q（q>1）。设ns=11ab+22ab…..+nnab,nT=11ab-22ab+…..+(-11)n−nnab,nN+w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)若1a=1b=1，d=2，q=3，求3S的值；(II)若1b=1，证明（1-q）2nS-（1+q）2nT=222(1)1ndqq

q−−，nN+；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅲ)若正数n满足2nq，设1212,,...,,,...,12...nnkkklll和是，，，n的两个不同的排列，12112...nkkkncababab=+++，12212...nlllncababab

=+++证明12cc。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。（Ⅰ）解：由题设，可得1*21,3,nnnanbnN−=−=所以，31

1223311335955Sababab=++=++=w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）证明：由题设可得1nnbq−=则22121232.....,nnnSaaqaqaq−=++++①232121234232122242..

...,2(...)nnnnnnnTaaqaqaqaqSTaqaqaq−−=−+−+−−=++−②①式减去②式，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m①式加上②式，得2222213212(....)nnnnSTaaqaq−

−+=+++③②式两边同乘q，得321221321()2(....)nnnnqSTaqaqaq−−+=+++所以，222222(1)(1)()()nnnnnnqSqTSTqST−−+=−−+3212*22()2(1),1nndqqqdqqnNq−=+++−=−Kw.w.w.k.s.5.

u.c.o.m(Ⅲ)证明：11221212()()()nnklklklnccaabaabaab−=−+−++−Kw.w.w.k.s.5.u.c.o.m11112211()()()nnnkldbkldbqkldbq−=−+−++−K因为10,0,db所以11211221()()()nnnc

cklklqklqdb−−=−+−++−K（1）若nnkl，取i=nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）若nnkl=，取i满足iikl且,1jjklijn=+由（1）,(2)及题设知，1in且21121122111()()()()iiii

iiccklklqklqklqdb−−−−−=−+−+−+−K①当iikl时，得1,1,1,2,3.....1iiiiklqnklqii−−−−=−由，得即111klq−−，22()(1)klqqq

−−…，2211()(1)iiiiklqqq−−−−−−又11(),iiiiklqq−−−−所以1211211(1)(1)(1)(1)1iiiccqqqqqqqqdbq−−−−−=−+−+−−=−−K因此12120,cccc−即②当iikl同理可得1211ccdb−−，因此1

2ccw.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上，12cc