【文档说明】第40讲-数学广角—找次品（讲义）-2022-2023学年五年级数学下册（人教版，讲解版）.docx，共(14)页，679.305 KB，由envi的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

26个零件中混有1个质量较轻的次品，其余25个是合格的。如果用天平称，要用最少的次数保证找到这个次品，第一次应该将26个零件分成三组，那么这三组的个数分别是()、()和()。五年级数学下册人教版《数学广角—找次品》精准讲练答案：998解析：找次品的最优策略：

（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。26÷3＝8（个）……2（个）8＋1＝9（个）第一次应该将26个零件分成三组，那么这三组的个数分别是9、9和8

。有7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，用天平至少称2次能保证把它找出来。()答案：√解析：7瓶钙片，其中有一瓶少了5片，说明有一瓶是次品，次品比正品轻，采用三分法进行判断。将7瓶钙片编号为1~7，分成3组，第一组1~2，第二组3~4，

第三组5~7；先将第一组和第二组进行称量：（1）若平衡，次品在5~7中，再选5和6称量，若平衡，次品是7号，若不平衡，轻的一瓶是次品，两次即可；（2）若平衡，次品在较轻的一组，假设第一组较轻，那么将1和2称量，肯定不平衡，轻的一瓶是次

品，两次即可；综上所述，至少称2次能保证把次品找出来；故答案为：√。有8个零件，其中7个质量相同，另有一个质量不足，略轻一些，乐乐说：“我用天平只称2次，就一定能找到这个略轻的零件。”请问他用的是（）。A．分成2份（4，4）B．分成3份（3，3，2）C

．分成4份（2，2，2，2）D．分成3份（6，1，1）答案：B解析：此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。把8个零件分成（3，3，2）三组，把两个3个一组的放在天平上称，

如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个零件分成（1，1），放在天平上称，下沉的是次品。如不平衡，则把下沉的一组3个零件分成（1，1，1），任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，上升的是次品．据此解答。将8个零件分成3份（3，3，2）；第一次称重，在天平两边各放

3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在清空的天平两边各方1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天

平平衡，则次品在手中。故要至少称2次能保证找到这个略轻的零件要分成3份（3，3，2）。故答案为：B我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检

的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？答案：第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继

续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。答：至少称3次能保

证将这盒质量较重的茶叶找出来。解析：15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。一、填空

题1．王老师为学校图书室购买了A、B两种型号的节能灯，两种节能灯外观一样，但A型号质量比B型号轻。工人师傅在安装时，不小心把1个A型号的节能灯与9个B型号的节能灯混在了一起。如果给你一个天平，至少称()次就一定可以找出A型号的节能灯。答案：3解析：把

10个节能灯分成（5，5）两组放在天平上称，找出上升的一组，再把这5个节能灯分成（2，2，1）三组，把2个一组的放在天平上称，如平衡，则没称的一个是A型号节能灯，如不平衡，再把上升的2个零件分成（1，1）放在天平上称，上升的一个就是A型号节能灯。据此解答。把10个节能灯分成（5，5）两组

放在天平上称，找出上升的一组，再把这5个节能灯分成（2，2，1）三组，把2个一组的放在天平上称，如平衡，则没称的一个是A型号节能灯，需2次。如不平衡，再把上升的2个节能灯分成（1，1）放在天平上称，上升的一个就是A型号节能灯，需3

次。所以至少称3次就一定能找出A型号节能灯。2．有25颗外表一模一样的玻璃珠子，其中有一颗稍轻一些，至少称()次才能把这颗玻璃珠子找出来。答案：3解析：找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分

的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。将25颗珠子分成（8、8、9），只考虑最不利的情况，先称（8、8），平衡，次品在9颗中；再将9颗分成（3、3、3），称（3、3），可确定次品在其中3颗；再将3颗分成（1、1、1），再称一次即

可确定次品，共3次。3．有9盒牛奶，其中一盒是次品（次品较轻），无法用手掂出来。现在用一架天平称来称。如果分成4份（2，2，2，3），先2盒2盒地称，至少要称()次。如果分成3份（3，3，3），称()次，就能保证找到这盒较轻的次品。答案：32解析：找次品的最优策略：（1

）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。如果分成4份（2，2，2，3），先称（2、2），平衡，再用称过的2盒与另外一个2盒称，都平衡，次品在3个中，再称1次，即可找到次品，共3次。如果分成3份（3，3，3），先称（3、3），

无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3盒，再将3盒分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共2次。4．小明在超市买了28个玻璃球，其中27个质量相同，另一个较轻些，至少称()次，才能确保找到它。答案：4解析：根据找次品的方法，不断缩小有较轻玻璃球的范围，从而找到这个

玻璃球。①将28个玻璃球平均分成2堆，每堆有14个玻璃球，将这2堆玻璃球分别放在天平的两端，哪端轻一些哪端就含有轻的玻璃球；②将14个玻璃球平均分成2堆，每堆有7个玻璃球，将这2堆玻璃球分别放在天平的两端，哪端轻一些哪端就含有轻的玻璃球；③将7个玻璃球分成3

堆，2堆各有3个，1堆只有1个，将这2堆各有3个的玻璃球分别放在天平的两端，哪端轻一些哪端就含有轻的玻璃球，如果平衡了，那么没称的那个玻璃球是较轻的；④将3个玻璃球平均分成3堆，每堆只有1个，任意将这2堆玻璃球分别放在天平的两端，哪端轻一些哪端就是轻的玻璃

球，如果平衡了，那么没称的那个玻璃球是较轻的；所以，至少称4次，才能确保找到它。5．有6瓶水，其中有1瓶是糖水，比其他的水略重一些，可以用天平称量的方法把它找出来，先在天平两边各放()，至少要称()次才可以保证把那瓶糖水找出来。答案：2瓶2解析：找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份

；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。将6瓶分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡都可确定次品在其中2瓶，再称1次即可，共2次。6．学徒工小王加工了30个零件，其中有一个是次品，略微轻一点，用眼观察或用手掂都没有办法找出。如

果用不带砝码的天平称，最少称()次就可以找出。答案：4解析：用天平找次品时，如果待测物品有3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少，第一次，把

30个分成3份，分别是（10，10，10），先放其中2组，即天平每边放10个，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中；若不平衡，次品在轻的一边；第二次，把10个分成3份：分别是（3，3，4），取3个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的

次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第三次，取含有次品的一份（3个或4个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品；第四次，取含有次品的两个分别放在天平两侧，即可找到次品

。用天平至少称4次能保证找出次品。二、判断题1．在23枚硬币中，有一枚假硬币，假硬币除了质量轻一些外，其它无任何差别，如果用天平称，至少称4次就能保证找出这枚假硬币硬币。()答案：×解析：第一次，把23枚硬币分成三份（7，7，9），取相等的两份分

别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，较轻的硬币在天平上升的一端；第二次，如果次品在7个中，分成三组（3，3，1）；如次品在9个中，分成三组（3，3，3）；如果是7个，若天平平衡，则剩下

那个是次品；若天平不平衡，较轻的硬币在天平上升的一一端；如果是9个，若天平平衡，则剩下那个是次品；若天平不平衡，较轻的硬币在天平上升的一端；第三次，取含有较轻的一份，任取其中的2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，较

轻的产品在天平上升的一端。所以要想找出这枚假硬币至少要称3次。据此解答。根据分析得：在23枚硬币中，如果用天平称，至少称3次就能保证找出这枚假硬币硬币。所以原题说法错误。故答案为：×2．从10件物品中找1件次品，至少要用天平称2次才能找出来。(

)答案：×解析：假设次品较重；把10件物品分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3件，如果天平不平衡，次品就在较重的3件中；如果天平平衡，次品在剩下的4件中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把

有次品的4件物品分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1件，如果天平不平衡，次品就是较重的那一件；如果天平平衡，次品在剩下的2件中；最后把有次品的2件物品分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较重的那一件。所以至少称3次保证

就一定能找出次品。从10件物品中找1件次品，至少要用天平称3次才能找出来。故答案为：×3．李师傅生产7个机器零件，其中有1个次品（次品轻些），至少称3次就能找出次品。()答案：×解析：将7个零件选6个分成2组，每组3个分别放在天平两头，如果两端保持平衡，则剩下那个是次品；如果不

平衡，则次品在较轻的那一组中，再称一次就能找到次品。将7个零件选6个分成2组，每组3个分别放在天平两头，如果两端保持平衡，则剩下那个是次品；如果不平衡，则次品在较轻的那一组中，再从这组中任选2个，放在天平两头，如果平衡，则剩下的那个是次品，如果不平衡，则轻的那个是次品。至少称2次能

找到次品。故答案为：×4．有30颗钢珠，其中29颗质量一样，1颗质量轻一些，用天秤称，至少称4次才能保证找到较轻的一颗。()答案：√解析：天秤是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天秤来比较物体质量的大小，所以，在调好的天秤两盘中分别放上物体，当

哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。30÷2＝15，第一次两边分别放15颗钢珠，取较轻的一边继续称量；15÷2＝7.....1，第二次两边分别放7颗钢珠，如果两边一样重，那么剩下的一颗为较轻的钢珠，如果天秤不平衡，那么取较轻的一边继续称量；7÷2＝3……1，第三次两边分别放3颗钢珠，

取较轻的一边继续称量；3÷2＝1......1，第四次两边分别放一个钢珠，如果两边一样重那么剩下的一颗就是较轻的钢珠，如果两边不一样重那么较轻的一边就是较轻的那颗钢珠；因此第4次一定可以称出较轻的钢珠。所以原题说法正确。5．从3件物品中找出1件次品

，次品较轻，至少要称2次才能找出。()答案：×解析：找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。把3件物品平均分成3份，每份1件，即（1，1，1），第一次称，天

平两边各放1件，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1件；如果天平平衡，次品就是剩下的那1件；所以至少称1次就能找出次品。原题说法错误。故答案为：×三、选择题1．王师傅做了7个零件，其中有一个次品（比正品重一些）被混放在一起了，如果请你用没有砝码的天平来找这个次品。下面说法错误的是（）。A．称1次

可能会找到它B．称1次保证能找到它C．称2次可能会找到它D．称2次保证能找到它答案：B解析：第一次在已经调好的天平两边各放3个零件，如果天平平衡，则剩余的零件为次品；如果天平不平衡，次品在托盘偏低那边的三个里面，则需进行第二次称量；第二次，将托盘偏低的托盘中的3个零件，分成1、1、1三组，在托盘中

各放一个，如果天平平衡，则剩余的那个为次品；如果天平不平衡，次品在托盘偏低的那边。根据分析得，称1次就可能找出次品；称2次就一定可以找出次品。A．考虑最好的情况，称1次可能会找到它，所以原题说法正确；B．通过分析得，称1次并不能保证一定找到它，所以原题说法错误；C．通过分析得，

称2次不仅可能找到它，也是一定能找到它，所以原题说法正确；D．通过分析得，称2次能保证一定找到它，所以原题说法正确；故答案为：B2．12包葡萄干中有1包质量不足，包装都一样。我们将这12包葡萄干平均分成3份，至少称（）次才能

保证找出那包质量不足的葡萄干。A．1B．2C．3D．4答案：C解析：质量不足1包的看作次品，将12包葡萄干分组，考虑最不利的情况，逐次利用天平的平衡性称出次品。第一次，把12包葡萄干平均分成（4，4，4）共3份，取其中的

两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量不足的在未取的一份中，若天平平衡，取较轻的一份继续称；第二次，取含有质量不足的一份，取其中的2包分别放在天平两侧，若天平平衡，质量不足的在未取的2包中，若天平不平衡，则较轻的一包质量不足；第三次，取含有质量不足的2包，分别放在天平两侧，

天平较低的一端就是质量不足的那包。所以，至少称3次才能保证找出那包质量不足的葡萄干。故答案为：C3．王师傅加工一批零件，其中有1个不合格，略轻一些。质检人员说用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个

数范围是（）。A．4~9B．10~27C．28~91D．以上都不对答案：B解析：因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称3次，其中有1个不合格，则第一堆零件的个数在10个与27个之间。23110+=（个）3

327=（个）所以这批零件的个数范围为10~27。故答案为：B4．有26枚金币，其中有1枚是假金币（假金币轻一些）。用天平称，要保证3次能找出次品，比较合适的分法是（）。A．（13，13）B．（12，12，2）C．（11，11，4）D．

（9，9，8）答案：D解析：找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。将26枚金币分成（9，9，8），只考虑最不利的情况，先称（9，9），不平衡

，次品在9枚中；再将9枚分成（3，3，3），称（3，3），平衡不平衡都可确定次品在其中3枚中；将3枚分成（1，1，1），再称1次即可确定次品，所以至少称3次可找出次品。故答案为：D5．在六一儿童节到来之际，郊区某小学五年级某班发明

一项趣味运动，需要7个相同质量且必须足气的足球，活动开始前虽然凑够七个足球，其中有1个足球是气不足些（即质量稍轻一些），但是不知道哪一个气不足。当时班长特别着急且不知道如何找到这个足球，聪明的你当时也在现场，你提出用天平称就能快速找到足球，请问：如果天平两边各放3个，称一次（）找出这个次

品。A．一定能够B．不能够C．可能D．以上答案都不对答案：C解析：判断事件发生的可能性的几种情况：可能、不可能、一定；要结合生活实际，做出正确的判断。用天平称物体的质量，如果天平平衡，则天平两边物体的质量相

等；如果天平不平衡，则物体两边的质量不相等；据此解答即可。把7个足球分成3份，即（3，3，1），天平的两边各放3个足球，若天平平衡，则剩下的那个足球是次品，所以称一次可能找出这个次品。故答案为：C四、解答题1．学校买来8盒口罩，每盒装10个，其中有一盒用

掉两个。假如用天平称，至少称几次能保证找出这盒口罩？请你想办法把称的过程表示出来。答案：把8盒口罩分成（3，3，2）分成3组，在天平两边各放3盒；如果天平平衡，则次品在剩下的2盒里，把剩下的2盒放入天平，哪边轻，

那边就是较轻的口罩；如果不平衡，再把较轻的部分口罩3盒，分成（1，1，1）组，把其中2盒放入天平，如果平衡，剩下那盒就是较轻的口罩，如果不平衡，哪边轻，那边就是较轻的口罩，至少称2次能保证找出这盒较轻的

口罩。解析：天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。2．（1）用无砝

码的天平称，至少称几次就能找出小猴吃的是哪一筐？（2）你能用图表示称的过程吗？答案：（1）根据分析得，至少称3次。答：用无砝码的天平称，至少称3次就能找出小猴吃的是哪一筐。（2）画图如下：解析：（1）①把12筐

分成两组：6个1组，进行第一次称量，那么小猴吃的那筐就在较轻的那一组中；②由此再把较轻的6筐分成2组：3个为1组，进行第二次称量，那么小猴吃的那筐就在较轻的那一组中；③再把较轻的3筐分成3组：天平两边各放1个还剩1个，如果左右相等，那么说明剩下的一

个是小猴吃的那筐，如果左右不等，那么较轻的那个是小猴吃的那筐，（2）根据上面的分析，用图表示出称的过程即可。3．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭

只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？答案：第一次：把10袋金子平均分成两份，分别放在天平秤两端。第二次：从较高端的5袋中任取4袋，平均分成两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为质量稍轻的，若天平秤不平衡；第三次：

把天平秤较高端的2袋，分别放在天平秤两端，较高端即为装的是每锭9两的金子。答：不能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子，至少要3次才能称出哪袋装的是每锭9两的金子解析：第一次：把10袋金子平均分成两份，分别放在天平秤两端，天平秤较高端的一定有稍轻的那袋；第

二次：从较高端的5袋中任取4袋，平均分成两份，分别放在天平秤两端，平衡则未取那袋是，若不平衡，把较高端2袋，再分别放在天平秤两端即可找出，据此即可解答。4．有两堆零件，第一堆比第二堆多一个零件，这两堆零件中各有一个次品（次品比正品重一些），现在用天平分别找这两堆零件中的次品，

第一堆零件需要称5次，才能保证找出次品；第二堆零件需要称4次，才能保证找出次品，你知道这两堆零件分别有多少个吗？答案：第一堆零件需要称5次。33331+＝9×9＋1＝81＋1＝82（个）33333＝9×9×3＝81×3＝243（个）第一堆零件的个数在82个与243个之间；

第二堆零件需要称4次。3331+271=+28=（个）3333＝9×9＝81（个）则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有81个零件。答：第一堆有82个零件，

第二堆有81个零件。解析：因为需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，所以第一堆零件需要称5次，则第一堆零件的个数在82个与243个之间；第二堆零件需要称4次，则第二堆零件的个数在28个与81个之间，又知第一堆比第二堆多一个零件，所以第一堆有82个零件，第二堆有8

1个零件。5．在4个金饰品中有一个是次品，次品与正品外观完全一致，只是重量有些差别，现有一个标准金饰品和一架没有砖码的天平，那么最多称多少次能找出次品？答案：第一次：任取一个金饰品和标准金饰品放在天平两端，如果平衡，那么次品在未称

重的3个金饰品中，如果不平衡，那么任取的这个金饰品是次品；第二次：将含有次品的3个金饰品，任取2个放在天平两端，如果平衡，那么未称重的1个是次品，如果不平衡，则进行第三次称重；第三次：将含有次品的2个金饰品，任选一个和标准金

饰品放在天平两端，如果平衡，那么未称重的是次品，如果不平衡，那么任选的这个金饰品是次品。答：最多用3次就能找出次品。解析：根据找次品的方法，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出次品。6．某奶粉厂做促销活动，在原有500g一袋的奶粉中赠

送50g共550g，还按原价出售。由于工作人员一时疏忽，把一袋没有添加赠送的奶粉混入了包装箱中。在包装箱的6袋中，你能找到没有添加赠送的那一袋奶粉吗？答案：把6袋奶粉平均分成两份，每份3袋，用天秤称，然后再把轻的平

均分成三份再称一次就可以找出没有添加赠送的那一袋奶粉。解析：根据找次品的办法，一般把物品分成几份，尽量平均分，然后进行称量，由此进行解答即可。