【文档说明】2022年高考真题——数学（天津卷）含解析.doc，共(21)页，1.943 MB，由envi的店铺上传

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2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022．06．一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}2,1,0,1,2U=--，集合

0,1,21,2A=−,B=，则()UAB=ð（）A.01，B.0,1,2C.1,1,2−D.0,1,1,2−【答案】A【解析】【分析】先求出UBð，再根据交集的定义可求()UAB∩ð.【详解】2,0,1UB=−ð，故()0,1UAB=ð，故选：A.2.“x为整数

”是“21x+为整数”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不允分也不必要【答案】A【解析】【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“x为整数”与“21x+为整数”的逻辑关系即可.【详解】由题意，若x为整数，则21x+为整数，故充分性成立；当12x=时，21x+为整数，但x不为整

数，故必要性不成立；所以“x为整数”是“21x+为整数”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()21xfxx−=的图像为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函数()fx的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0−上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数

()21xfxx−=的定义域为0xx，且()()()2211xxfxfxxx−−−−==−=−−，函数()fx为奇函数，A选项错误；又当0x时，()210xfxx−=，C选项错误；当1x时，()22111xxfxxxxx−−===−函数单调递增，故B选项错误；故选：D.4.为研究

某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方

图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.8B.12C.16D.18【答案】B【解析】【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.24

0.16)1+＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12．故选：B.5.已知0.72a=，0.713b=，21log3c=，则（）A.acbB.bcaC.abcD.cab【答案】C【解析】【分析】

利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log1log33=，故abc.故答案为：C.6.化简()()48392log3log3log2log2++的值为（

）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log3log3)(log2log2)232=++2343log3log2232==，故选：B

7.已知抛物线21245,,yxFF=分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F，与双曲线的渐近线交于点A，若124FFA=，则双曲线的标准方程为（）A.22110xy−=B.22116yx−=C.

2214yx−=D.2214xy−=【答案】C【解析】【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得112AFFF=，由此可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245yx=的准线方程为5x=−，则5c=，则()15,0F−、(

)25,0F，不妨设点A为第二象限内的点，联立byxaxc=−=−，可得xcbcya=−=，即点,bcAca−，因为112AFFF⊥且124FFA=，则12FFA△为等腰直角三角形，且112AFFF=，即2=bcc

a，可得2ba=，所以，22225baccab===+，解得125abc===，因此，双曲线的标准方程为2214yx−=.故选：C.8.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底

面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A.23B.24C.26D.27【答案】D【解析】【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AFDBHC−及直三棱柱DGC

AEB−组成，作HMCB⊥于M，如图，因为3,120CHBHCHB===，所以333,22CMBMHM===，因为重叠后的底面为正方形，所以33ABBC==,在直棱柱AFDBHC−中，AB⊥平面BHC，则ABHM⊥,由ABB

CB=可得HM⊥平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为,I则132713813333,=3333=322224IBCDAAFDBHCVV−−==则该几何体的体积为8127222742AFDBHCIBCDAVVV−

−=−=−=.故选：D.9.已知1()sin22fxx=，关于该函数有下列四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的取值范围为33,44−；④()

fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即

可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin22fxx=，所以()fx的最小正周期为2ππ2T==，①不正确；令ππ2,22tx=−，而1sin2yt=在ππ,22−上递增，所以()fx在ππ[,]44−

上单调递增，②正确；因为π2π2,33tx=−，3sin,12t−，所以()31,42fx−，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428xxx=+=+

，所以()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A．第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i

是虚数单位，化简113i1+2i−的结果为_______．【答案】15i−##5i1−+【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】()()()()113i12i113i11625i15i1+2i1+2i12i5−−−−−===−−．故答案为：

15i−．11.523xx+的展开式中的常数项为______.【答案】15【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得523xx+的展开式的通项为552153rrrrTCx−+=，令5502r−=，代入即可得解.【详解】由题意523xx+

的展开式的通项为()5552155233rrrrrrrTCxCxx−−+==，令5502r−=即1r=，则1553315rrCC==，所以523xx+的展开式中的常数项为15.故答案为：15.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了

运算求解能力，属于基础题.12.若直线()00xymm−+=与圆()()22113xy−+−=相交所得的弦长为m，则m=_____．【答案】2【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.

【详解】圆()()22113xy−+−=的圆心坐标为()1,1，半径为3，圆心到直线()00xymm−+=的距离为1122mm−+=，由勾股定理可得22322mm+=，因为0m，解得2m=.故答案为：2.13.52

张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________【答案】①.1221②.117【解析】【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公

式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则()()()()1431411221,(),|1525122152131713BCPBCPB

PCBPBP=======.故答案为：1221；117.14.在ABC中，,CAaCBb==，D是AC中点，2CBBE=，试用,ab表示DE为___________，若ABDE⊥，则ACB的最大值为____________

【答案】①.3122ba−②.6【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以,ab为基底，表示出,ABDE，由ABDE⊥可得2234baba+=，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可

求出．法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)EBCAxy，由ABDE⊥可得点A的轨迹为以(1,0)M−为圆心，以2r=为半径的圆，方程为22(1)4xy++=，即可根据几何性质可知，当且仅当CA与M相切时，C最大，即求出．【

详解】方法一：31=22DECECDba−=−，,(3)()0ABCBCAbaABDEbaba=−=−⊥−−=，2234baab+=222333cos244ababbaACBababab+===，当且仅当3ab=时取等号，而0πACB，所以(0

,]6ACB．故答案为：3122ba−；6．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)EBCAxy，3(,),(1,)22xyDEABxy+=−−=−−，23()(1)022xyDEABx+⊥−+=22(1)4xy++=，所以点A

的轨迹是以(1,0)M−为圆心，以2r=为半径的圆，当且仅当CA与M相切时，C最大，此时21sin,426rCCCM====．故答案为：3122ba−；6．15.设aR，对任意实数x，记()2min2,35fxxxaxa=−−+−．若

()fx至少有3个零点，则实数a的取值范围为______.【答案】10a【解析】【分析】设()235gxxaxa=−+−，()2hxx=−，分析可知函数()gx至少有一个零点，可得出0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的

取值范围.【详解】设()235gxxaxa=−+−，()2hxx=−，由20x−=可得2x=.要使得函数()fx至少有3个零点，则函数()gx至少有一个零点，则212200aa=−+，解得2a或10a.①当2a=时，()221gxx

x=−+，作出函数()gx、()hx的图象如下图所示：此时函数()fx只有两个零点，不合乎题意；②当2a时，设函数()gx的两个零点分别为1x、()212xxx，要使得函数()fx至少有3个零点，则22x−，所以，()22

24550aga−−=+−，解得a；③当10a=时，()21025gxxx=−+，作出函数()gx、()hx的图象如下图所示：由图可知，函数()fx的零点个数为3，合乎题意；④当10a时，设函

数()gx的两个零点分别为3x、()434xxx，要使得函数()fx至少有3个零点，则32x，可得()222450aga=+−，解得4a，此时10a.综上所述，实数a的取值范围是)10,+.故答案为：)10,+.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根

）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、

解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知16,2,cos4abcA===−.（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求si

n(2)AB−的值.【答案】（1）1c=（2）sin104B=（3）10sin(2)8AB−=【解析】【分析】（1）根据余弦定理2222cosabcbcA=+−以及2bc=解方程组即可求出；（2）由（1）可求出2b=，再根据正弦

定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2,cos2AA，再根据两角差的正弦公式即可求出．【小问1详解】因为2222cosabcbcA=+−，即22162bcbc=++，而2bc=，代入得22264ccc=++，解得：1c=．【小问2详解】由（1）可求

出2b=，而0πA，所以215sin1cos4AA=−=，又sinsinabAB=，所以152sin104sin46bABa===．【小问3详解】因为1cos4A=−，所以ππ2A，故π02B，又215sin1cos4AA

=−=，所以11515sin22sincos2448AAA==−=−，217cos22cos121168AA=−=−=−，而sin104B=，所以26cos1sin4BB=−=，故15671010sin(2)sin2cosc

os2sin84848ABABAB−=−=−+=．17.直三棱柱111ABCABC−中，112,,AAABACAAABACAB===⊥⊥，D为11AB的中点，E为1AA的中点，F为CD的中点．

（1）求证：//EF平面ABC；（2）求直线BE与平面1CCD所成角的正弦值；（3）求平面1ACD与平面1CCD所成二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）45（3）1010【解析】【分析】（1）以点1A为

坐标原点，1AA、11AB、11AC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线BE与平面1CCD夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值.【小问1详解

】证明：在直三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面111ABC，且ACAB⊥，则1111ACAB⊥以点1A为坐标原点，1AA、11AB、11AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()2,2,0B、()2,0,2C、

()10,0,0A、()10,0,2B、()10,0,2C、()0,1,0D、()1,0,0E、11,,12F，则10,,12EF=，易知平面ABC的一个法向量为()1,0,0m=，则0EFm=，故EFm⊥，EF平面ABC，故//EF平面ABC.

【小问2详解】解：()12,0,0CC=，()10,1,2CD=−，()1,2,0EB=，设平面1CCD的法向量为()111,,uxyz=，则111112020uCCxuCDyz===−=，取12y=，可得()0,2,1u=，4cos,5EBuEBuEBu==

.因此，直线BE与平面1CCD夹角的正弦值为45.【小问3详解】解：()12,0,2AC=，()10,1,0AD=，设平面1ACD的法向量为()222,,vxyz=，则122122200vACxzvADy

=+===，取21x=，可得()1,0,1v=−，则110cos,1052uvuvuv==−=−，因此，平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值为1010.18.设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ab

abab==−=−=．（1）求na与nb的通项公式；（2）设na的前n项和为nS，求证：()1111nnnnnnnSabSbSb+++++=−；（3）求211(1)nkkkkkaab+=−−．

【答案】（1）121,2nnnanb−=−=（2）证明见解析（3）2(3n1)4169n+−+【解析】【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212

221212122(1)(1)kkkkkkkkaabaab−−−+−−+−−，进而由并项求和可得114nknkTk+==，再结合错位相减法可得解.【小问1详解】设na公差为d，nb公比为q，则11(1),nnnandbq−=+−=，由2

2331abab−=−=可得2112121dqdqdq+−===+−=（0dq==舍去），所以121,2nnnanb−=−=；【小问2详解】证明：因为120,nnbb+=所以要证1111()nnnnnnnSabSbSb+++++=−，即证111()2nnnnnnnSabSbSb

++++=−，即证1112nnnnSaSS++++=−，即证11nnnaSS++=−，而11nnnaSS++=−显然成立，所以1111()nnnnnnnSabSbSb+++++=−；【小问3详解】因为212221212122(1)(1)kkkkkkkkaabaab−−−+−

−+−−2121(4143)2[41(41)]24kkkkkkkk−+=−+−++−−=，所以211(1)nkkkkkaab+=−−2122212121221[((1))((1))]nkkkkkkkkkaabaab−−−+==−−+−−114nkkk+==，设

114nknkTk+==所以23411424344nnTn+=++++，则345241424344nnTn+=++++，作差得22341224(14)344444414nnnnnTnn+++−−=++++−=−−()2134163nn+−−=，所以2(

31)4169nnnT+−+=，所以211(1)nkkkkkaab+=−−=2(3n1)4169n+−+.19.椭圆()222210xyabab+=的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足32BFAB=．（1）求椭圆的离心率e；（2）直线l与

椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若=OMON，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程．【答案】（1）63e=（2）22162xy+=【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x

ya+=，设直线l的方程为ykxm=+，将直线l的方程与椭圆方程联立，由0=可得出()222313mak=+，求出点M的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a的值，即可得出椭圆的方程.【小问1详解】解：()2222222222234332BFbcaabaabABbaba

+====+=++，离心率为22263cabeaa−===.【小问2详解】解：由（1）可知椭圆的方程为2223xya+=，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm=+，联立2223ykxmxy

a=++=得()()222213630kxkmxma+++−=，由()()()222222223641330313kmkmamak=−+−==+，①2331Mkmxk=−+，213MMmykxmk=+=+，由=OMON可得()()22222913

1mkmk+=+，②由3OMNS=可得2313213kmmk=+，③联立①②③可得213k=，24m=，26a=，故椭圆的标准方程为22162xy+=．20.已知abR，，函数()()sin,xfxeaxgxb

x=−=（1）求函数()yfx=在()()0,0f处的切线方程；（2）若()yfx=和()ygx=有公共点，（i）当0a=时，求b的取值范围；（ii）求证：22eab+．【答案】（1）(1)1=−+yax（2）（i）)

2e,b+；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f可求切线方程；（2）（i）当0a=时，曲线()yfx=和()ygx=有公共点即为()2e,0tstbtt=−在)0,+上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求[2,)be+.（ii）曲线(

)yfx=和()ygx=有公共点即000sine0xaxbx+−=，利用点到直线的距离得到022200esinxabxx++，利用导数可证22e>esinxxx+，从而可得不等式成立.【小问1详解】()ecosxfxax=−，故(0)1fa=−，而(0)1f=，

曲线()fx在点(0,(0))f处的切线方程为()()101yax=−−+即()11yax=−+.【小问2详解】（i）当0a=时，因为曲线()yfx=和()ygx=有公共点，故exbx=有解，设tx=，故2xt=，故2etbt=在)0,

+上有解，设()2e,0tstbtt=−，故()st在)0,+上有零点，而()22e,0tsttbt=−，若0b=，则()2e0tst=恒成立，此时()st在)0,+上无零点，若0b，则

()0st在()0,+上恒成立，故()st在)0,+上为增函数，而()010s=，()()01sts=，故()st在)0,+上无零点，故0b，设()22e,0tuttbt=−，则()()2224e0tutt

=+，故()ut在()0,+上为增函数，而()00ub=−，()()22e10bubb=−，故()ut在()0,+上存在唯一零点0t，且00tt时，()0ut；0tt时，()0ut；故00tt时，()0st

；0tt时，()0st；所以()st在()00,t上为减函数，在()0,t+上为增函数，故()()0minstst=，因为()st在)0,+上有零点，故()00st，故200e0tbt−，而2002e0tt

b−=，故220020e2e0ttt−即022t，设()22e,0tvttt=，则()()2224e0tvtt=+，故()vt在()0,+上为增函数，而2002etbt=，故122e2eb=.（ii）因为曲线()yfx=和()ygx=有公共点，

所以esinxaxbx−=有解0x，其中00x，若00x=，则100ab−=，该式不成立，故00x.故000sine0xaxbx+−=，考虑直线000sine0xaxbx+−=，22ab+表示原点与直线000si

ne0xaxbx+−=上的动点(),ab之间的距离，故022200esinxabxx++，所以0222200esinxabxx++，下证：对任意0x，总有sinxx，证明：当2x时，有sin12xx，故sinxx成立.当02x

时，即证sinxx，设()sinpxxx=−，则()cos10pxx=−（不恒为零），故()sinpxxx=−在)0,+上为减函数，故()()00pxp=即sinx成立.综上，sinxx成立

.下证：当0x时，e1xx+恒成立，()e1,0xqxxx=−−，则()e10xqx=−，故()qx在()0,+上为增函数，故()()00qxq=即e1xx+恒成立.下证：22e>esinxxx+在()0,+上

恒成立，即证：212esinxxx−+，即证：2211sinxxx−++，即证：2sinxx，而2sinsinxxx，故2sinxx成立.故0200eesinxxx+，即22eab+成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合

零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.