【文档说明】福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题.docx，共(19)页，1.121 MB，由envi的店铺上传

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龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考高二数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）命题学校：永定一中一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.1.若函数()2fxxx=−，则函数()fx从1x=到3x=的平均变化率为A．6B．3C．2D．12.已知空间中三角形ABC的三个顶点的坐标分别为()2,1,1A，()0,3,2B，()0,1,0C，则BC边上的中线的长度为A．

6B．3C．2D．53.已知函数()fx的导函数为()'fx，若()()2'1lnfxxfx=+，则()'2f=A．1−B．1C．32−D．324.2024年4月4日是我国的传统节日“清明节”.这天，李华的妈妈煮了五

个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，李华随机拿了两个青团子，若李华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为A．14B．34C．110D．3105.设O为坐标原点，向量()1,2,3OA=，()2,1,2OB

=，()1,1,2OP=，点Q在直线OP上运动，则QAQB的最小值为A．23B．23−C．13D．13−6.已知函数()fx在定义域内可导，()fx的图象如下，则其导函数()'fx的图象可能为A．B．C．D．7.在平行六面体

1111ABCDABCD−中，M，N分别为线段1AB，1AC上的点，则“112AMMB=且113ANNC=”是“M，N，1D三点共线”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8.已知正方体1111ABCDABCD−的

棱长为1m.平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为.平面与正方体表面相交形成的多边形记为M，下列结论正确的是A．M可能为三角形、四边形或六边形B．3cos3=C．M的面积的最大值为235m4D．正方体1

111ABCDABCD−内可以放下直径为1.2m的圆二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()31fxxx=−+，则A．

()fx有两个极值点B．()fx有三个零点C．点()0,1是曲线()yfx=的对称中心D．直线2yx=是曲线()yfx=的切线10.甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，分别用1A，

2A和3A表示从甲口袋取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙口袋中随机取出1个球，用B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是A．1A，2A，3A是两两互斥的事件B．()2311PBA=C．事件1A与事件B相互独立D．()2

5PB=11.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长等于2，K为正方形ABCD的中心，M，N分别为棱BF，EF的中点.下列结论正确的有A．111222KMABADAE=−+B．1KMAB=C．3KM=D．△KMN的面积为62三、填空题：本题共3小题，每小题5

分，共15分.12.设()PM表示事件M发生的概率，若()12PA=，()14PBA=，()23PBA=，则()PB=.13.若函数()()()()()()12332024fxxxxxx=−−−−−，则()'2024f=.14.某生物科学

研究院为了研究新科研项目需建造如图所示的全封闭生态穹顶，该建筑（不计厚度，长度单位：m）的上方为半球形，下方为圆柱形，符合设计要求的生态穹顶建筑的容积为380m3，且83lr≥（其中l为圆柱的高，r为半球的半径），假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米的建造

费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c（1114c≤）万元，当r=m时，该生态穹顶建筑的总建造费用最少.四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点E为AD的中点，设OAa=，OBb=，OCc=.（1）试用向量a，b，c表示向量OE；（2）若2OAOBOC===，60AOCBOCAOB===，求OEBC

的值.16.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率.17

.已知函数()21xaxfxe=−，aR.（1）若曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线平行于直线yx=，求该切线的方程.（2）若1a=，求证：当0x时，()0fx.（3）若()fx的极小值为3−，求a的值.18.如图，

在长方体1111ABCDABCD−中，11ADAA==，2AB=，点E在棱AB上移动.（1）求证：11DEAD⊥.（2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面1ACD的距离.（3）在棱AB上是否存在点M，使平面1DMC与平面AMC所成的角为6？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理

由.19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO＇为铅垂线（O＇在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离1h（米）与D到OO

＇的距离a（米）之间满足关系式21140ha=；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离2h（米）与F到OO＇的距离b（米）之间满足关系式3216800hbb=−+.已知点B到OO＇的距离为40米.（1）求桥AB的长

度.（2）计划在谷底两侧建造平行于OO＇的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米的造价为k（万元），桥墩CD每米的造价为32k（万元），0k，问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考

联考高二数学参考答案1.B（改编自《湘教版高中数学选择性必修》P3例2【详解】因为()2fxxx=−，所以()21101f=−=，()23336f=−=，故函数()fx从1x=到3x=的平均变化率为()()31603312ffyx−−===

−.故选B.2.D【分析】利用空间的坐标运算求解.【详解】由题可得BC的中点坐标为()0,2,1，所以BC边上的中线的长度为()()()2222012115−+−+−=.故选D.3.C【详解】由函数()()

2'1lnfxxfx=+，可得()()1'2'1fxfx=+，令1x=，可得()()12'11ff=+，解得()1'1f=−，所以()2lnfxxx=−+，()1'2fxx=−+，()3'22f=−.故选C.4.A【详解】设事件A为“李华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件B为“

两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为()2314nAC=+=，事件AB包含的基本事件的个数为()1nAB=，所以()PBA=()()14nABnA=.故选A.5.B（改编自《湘教版高中数学选择性必修》P83第9题）【详解】∵()1,1,2OP=

，点Q在直线OP上运动，∴可设(),,2OQOP==.又向量()1,2,3OA=，()2,1,2OB=，∴()1,2,32QA=−−−，()2,1,22QB=−−−，则()()()()()()21221322261610QA

QB=−−+−−+−−=−+.易得当43=时，QAQB取得最小值23−.故选B.6.A（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P32练习第1题）【分析】根据给定函数()fx的图象，确定函数()fx的单调性，再探讨()fx的正负及零点个数.【详解】观察图象知，当0x

时，()fx单调递减，()'0fx，选项BD不满足.当0x时，函数()fx先递增，再递减，然后又递增，有一个极大值点和一个极小值点，则()'fx的值先为正，再为负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C错误.故选A.7.B（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P66

例3）【详解】设ABa=，ADb=，1AAc=，则11ABABAAac=−=−.又112AMMB=，所以()111133AABacM==−，()()111111333DDAAbacaMbMc=+=−+−=−−.因为11AA

BBCacACDacb=+=−+=−+，113ANNC=，所以()111144AAabNCc==−+，所以()()111111344DDAAbacbabcNN=+=−+−+=−−，所以1143DDMN=，可知11DMND∥.又1D是直线1DM和1DN的公共点，所以1DM和1DN共线，即M，N

，1D三点在一条直线上.又易知由M，N，1D共线无法确定112AMMB=且113ANNC=.故选B.8.D【分析】A选项，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量知识可知平面可为与1AC垂直的平面，即可判断选项正误；B选项，由A选

项分析及线面角计算公式可判断选项正误；C选项，由A选项分析可表示出两种情况下M的面积表达式，即可判断选项正误；D选项，问题等价于判断M内部最大圆直径的最大值是否大于1.2m.【详解】A选项，如图，以A

为原点建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()1,0,0B，()10,0,1A，()0,1,0D，()1,0,0AB=，()10,0,1AA=，()0,1,0AD=.设平面的法向量为(),,nxyz=，因为平面与正

方体的每条棱所成的角均相等，所以1sincos,cos,cos,nABnAAnAD===222222222xzyxyzxyzxyzxyz=====++++++.由对称性，不妨取1xyz===，则法向量n可为()1,1,1，又()11,1,1AC=，所以平面可为与

1AC垂直的平面.如图1，连接1AB，BD，1DA，AC.图1因为1CC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1BDCC⊥，又BDAC⊥，1ACCCC=，AC，1CC平面1ACC，所以BD⊥平面1ACC，又1AC平面1ACC，所以1ACBD⊥，同理可

得11ACAB⊥.又BD，1AB平面1ABD，1ABBDB=，所以1AC⊥平面1ABD，即平面可为与平面1ABD平行的平面.当平面与1AA（不含A）相交时，M为与1ABD相似的正三角形；当平面与11AB（不含1A，1B）相交时

，M为如图2所示的六边形；图2当平面与11BC（不含1C）相交时，M为与1ABD相似的正三角形.所以M可能为三角形或六边形，故A错误.B选项，由A选项分析可知，36sincos33==，故B错误.选项，由A选项分析可知，当平面

过1A，B，D或1B，1D，C时，所得正三角形的面积最大，由题可得其边长为2，则相应面积为()233242=.当M为六边形时，如图3所示，11RSBD∥，1RTDC∥，1160BDC=，图3结合图形可知120SRT=，且由题可知六边形RSU

VWT为中心对称图形.设其对称中心为O，则四边形RSOT≌四边形WTOV≌四边形UVOS，则六边形的面积为相应四边形面积的3倍.设RS，RT的中点分别为F，E，连接EF，OE，OF.因为OSOROT==，所以9

0OEROFR==∠∠，四边形RSOT的面积为四边形REOF面积的2倍，则六边形的面积为四边形REOF面积的6倍.设1ARx=，11BRx=−，()0,1x，由题结合图形可知，2RSx=，()21RTx=−，22xRF=，()212xRE−=.在△E

FR中，由余弦定理得22222cos12012EFRERFRERFxx=+−=−+.注意到90REORFO==，180REORFO+=，则R，E，O，F四点共圆，则△REF外接圆的直径等于OR，由正弦定理可得261sin1203

EFORxx==−+，()22616OEORREx=−=+，()22626OFORRFx=−=−.六边形的面积()2211331333622122222224SOEREOFFRxxx=+=−++=−−+

≤，当且仅当12x=时，等号成立.又33342，所以M的面积的最大值为233m4，故C错误.D选项，先判断M内部的最大圆直径的最大值是否超过1.2m.当M为正三角形时，M内部的最大圆为三角形的

内切圆.易知当平面过1A，B，D或1B，1D，C时，所得内切圆半径最大.设此时内切圆的半径为r，三角形的面积为S＇，周长为C，则内切圆的直径34462233'2SrC===.当M为六边形时，M内部

的最大圆半径1r满足1min,rOEOF=，由C选项分析，可知，()()1611,62612,62rxxxx+=−≤，则当12x=时，1r取得最大值64，此时M内部的最大圆的直径为62.因为22.45.766=

，所以61.22，即正方体1111ABCDABCD−内可以放下直径为1.2m的圆，故D正确.故选D.图4【点睛】本题首先需要通过向量方法，得到满足题意的平面的具体特征，后利用几何知识，结合正余弦定理可得图形M的面积的最大值及其内部最大圆的直径.9.A

C【详解】由题知()231'fxx=−，令()0'fx，得33x或33x−，令()0'fx，得3333x−，所以()fx在33,33−上单调递减，在3,3−−，3,3+上单调递增，所以

33x=是极值点，故A正确.因为3231039f−=+，3231039f=−，()250f−=−，所以()fx在3,3−−上有一个零点.当33x≥时，()303fxf

≥，即()fx在3,3+上无零点.综上，()fx有一个零点，故B错误.令()3hxxx=−，该函数的定义域为R，()()()()33hxxxxxhx−=−−−=−+=−

，则()hx是奇函数，点()0,0是()hx图象的对称中心，将()hx的图象向上移动一个单位长度得到()fx的图象，所以点()0,1是曲线()yfx=的对称中心，故C正确.令()22'31xfx=−=，可得1x=，又()()111ff=−=，所以当切点为()1,1时，切线方程为21yx=−，当

切点为()1,1−时，切线方程为23yx=+，故D错误.故选AC.10.CD【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.【详解】由题意可知1A，2A，3A是两两互斥的事件，故A正确.∵(

)1310PA=，()221105PA==，()312PA=，∴()()()2211335111115PBAPBAPA===，故B正确.由()()()111344101131110PBAPBAPA===，得()()()()1234313133111051121110PBP

BAPBAPBA=++=++=，()()1PBAPB，则事件1A与事件B不独立，故CD错误.故选CD.11.ACD（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P83练习第12题）【详解】以点E为坐标原点，EF，EH，EA所在直线分别为x，y，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A，()2,0,2B，()2,2,2C，()0,2,2D，()0,0,0E，()2,0,0F，()2,2,0G，()0,2,0H，()1,1,2K，()2,0,1M，()

1,0,0N.A：()2,0,0AB=，()0,2,0AD=，()0,0,2AE=−，()1111,1,1222KMABADAE=−−=−+，∴A正确.B：2KMAB=，∴B错误.C：()()2221113KM=+−+−=，∴C正确.D：因为()1,0,1MN=−−，则

1010KMMN=−++=，所以KMMN⊥，3KM=，()()2221012MN=−++−=，所以△KMN的面积1622KMNSKMMN==，∴D正确.故选ACD.12.724【分析】根据题意分别求出()PBA，()PA

，进而利用()()()PBPABPAB=+即可求出结果.【详解】因为()()113PBAPBA=−=，()()112PAPA=−=，所以()()()()()()()11117242324PBPABPABPAPBAPAPBA=+=+=+=.13.2

023！（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P51第15题【详解】设()()()()()1232023gxxxxx=−−−−，则()()()2024fxgxx=−，()()()()()20242024'''

fgxgxxxx=−+−，()()()()'2024'20242024202420242023!fgg=−+=.14.2【分析】根据题意结合圆柱以及球的体积公式表示出l，r的关系式，确定r的取值范围，利用面积确定总建造费用与半径的函数关系式，再利用导数确定总建造费用最少时

r的值.【详解】设该建筑的容积为3mV，由题意知2323Vrlr=+，又803V=，所以322228022403333Vrrlrrrr−==−=−.由于83lr≥，即2240833rrr−≥，因此02r≤.设该建筑的总建造费用为y万元，则()222222240

1602323623213yrlrcrrrrcrcrrr=++=−++=−+，(0,2r，于是()()32222116080'22121cycrrrrc−=−−=−−，由于1114c≤，所

以1608080921c−≤.当(0,2r时，'0y，所以y在(0,2上单调递减，故当2r=时，建筑的总建造费用y取得最小值.【点睛】解答本题的关键是由题意求出建筑的总建造费用的表达式，进而利用导数求解其最值问题.15.解：（1）因为2BDDC=，所以()1133BD

BCOCOB==−，所以()121333ODOBBDOBOCOBOBOC=+=+−=+.因为点E为AD的中点，所以11112111112222332362OEOAODOAOBOCOAOBOC=+=++=++=1136abc

++.（2）因为BCOCOB=−，111236OEOAOBOC=++，所以()111236OEBCOAOBOCOCOB=++−221111126623OCOAOCOBOCOBOAOB=++−−221111111112222

2222226262233=++−−=−.16.解：（1）从甲箱中任取2个产品的事件数为2887282C==，这2个产品都是次品的事件数为233C=.∴这2个产品都是次品的概率为328.（2）设事件A为“从乙箱中取出的1个产

品是正品”事件1B为“从甲箱中取出的2个产品都是正品”事件2B为“从甲箱中取出1个正品和1个次品”，事件3B为“从甲箱中取出的2个产品都是次品”，则事件1B，事件2B，事件3B两两互斥.()25128514CPBC==，()1

1532281528CCPBC==，()23328328CPBC==，()123PAB=，()259PAB=，()349PAB=，∴()()()()()()()1122335215534714328928912PAPBPABPBPABPBPAB=++=+

+=.17.（1）解：由函数()21xaxfxe=−，可得()()2'xaxfxex−=，所以()1'1afe=−=，可得ae=−，所以()112afe=−=，即切点为()1,2，所以切线方程为21yx−=−，即1yx=+.（2）证明：当1a=时，()21xxf

xe=−，可得()()2'xxxfex−=.当()0,2x时，()'0fx，()fx单调递减；当()2,x+时，()0'fx，()fx单调递增.所以()fx的最小值为()24102fe=−，所以当0x时，()0fx成立.（3）解：对于函数()21xxfxe=−，aR，

可得()()2'xaxfxex−=，①若0a=，可得()1fx=，此时()fx无极值点，不符合题意（舍去）.令()'0fx=，解得0x=或2x=.②若0a，则当(),0x−时，()0'fx，(

)fx单调递增，当()0,2x时，()'0fx，()fx单调递减，当()2,x+时，()0'fx，()fx单调递增，所以当2x=时，()fx取得极小值()2421afe=−，令2413ae−=−，解得2

ae=.③若0a，则当(),0x−时，()'0fx，()fx单调递减，当()0,2x时，()0'fx，()fx单调递增，当()2,x+时，()'0fx，()fx单调递减，所以当0x=时，()fx取得极小值()103f=−，不符合题意（舍去

）.综上，实数a的值为2e.18.（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P112第19题）（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，1DD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设AEx=，02x，则()11,0,1A，()10,0,1D，()1,,0

Ex，()1,0,0A，()0,2,0C.因为()()111,0,11,,10DADxE=−=，所以11DADE⊥，所以11DEAD⊥.（2）解：因为E为AB的中点，所以()1,1,0E，从而()11,1,1DE=−，()1,2,0AC=−，()11,0,1AD=−.

设平面1ACD的法向量为(),,nabc=，则100nACnAD==，即200abac−+=−+=，得2abac==，从而()2,1,2n=，所以点E到平面1ACD的距离1212133DEndn+−===.（3）解：设这样的点M存在，且AMx=，02x，平面

1DMC与平面AMC所成的角为6，则()1,,0Mx，()10,0,1D，()0,2,0C，()1,2,0CMx=−，()10,2,1CD=−.设平面1DMC的法向量为()',','mabc=，则()1'2'02''0m

CMaxbmCDbc=+−==−+=，取'1b=，得()2,1,2mx=−.平面AMC的一个法向量()0,0,1p=，所以()223cos6225mpmpx===−+，由02x，解

得323x=−.所以满足题意的点M存在，此时323AM=−.19.解：（1）如图，设1AA，1BB，1CD，1EF都与MN垂直，1A，1B，1D，1F是相应垂足.由条件知，当'40OB=时，31140640160800BB=−+=，则1160AA=.由

21'16040OA=，得'80OA=.所以''8040120ABOAOB=+=+=（米）.（2）以O为原点，OO＇为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示.设()2,Fxy，()0,40x，则3216800yxx=−+，3211601606800EFyxx=−=+−.因为

80CE=，所以'80OCx=−.设()180,Dxy−，则()2118040yx=−，所以()221111601608044040CDyxxx=−=−−=−+.记桥墩CD和EF的总造价为()fx万元，则()3213116064800240fxkxxkxx

=+−+−+321316080080kxx=−+（040x）.()()233320800800'40fkkxxxxx=−=−，令()0'fx=，得20x=.当x变化时，()fx，()'fx的变化情况如下：x()0,2020(

)20,40()'fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以当20x=时，()fx取得最小值.答：（1）桥AB的长度为120米；（2）当O＇E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低.