【文档说明】辽宁省大连市庄河市高级中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（A卷） 含答案.docx，共(17)页，856.014 KB，由envi的店铺上传

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辽宁省庄河市高级中学2022-2023学年度第一学期12月月考高二数学A一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知0ab，0bc，则直线0axbyc++=

通过A．第一、二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限2．333345CCC++=（）A．45CB．56CC．36CD．46C3．若数列na中，433nan=−，则nS取得最大值时，n=（）A．13B．14C．15D．14或154．已知袋子中有10个小球，其中红球

2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立.若()0.5PAB+=，则()PC=（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.85．若()1,1,3a=−，()1,2,1b=−，若a为直线l的方向向量，b为平面的法

向量，则l与（）A．//lB．l⊥C．l与相交（但不垂直）D．//l或l在内6．若函数()3239fxxxxa=−+++在区间[21]−−，上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（）A．-5B．7C．10D．-197．已知数列{}na的各项均为正数，13a=，点1(,)n

nAaa+在抛物线24yx=+上，则过点(,)nPna和*2(2,)()nQnanN++的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．1(2,)2B．(1,1)−−C．1(2−，1)−D．1(2−，2)−8．一次试验中，当变量x取值分别为1111,,,234时，变量y的值依次为2,3,4,5，则

x与y之间的回归曲线方程为（）A．1ˆ1yx=+B．2ˆ3yx=+C．ˆ21yx=+D．ˆ1yx=+.二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选

对的得2分．9．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有na个球，从上往下n层球的总数为nS，则（）A．

1nnnaa+−=B．535S=C．()112nnnnSS−+−=，2nD．1232021111120211011aaaa++++=10．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A．全部投入4个不同的盒子里，共有54种放法B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有45C种放法C．将其中

的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有4541CC种放法D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有2454CA种不同的放法11．如图，正方体1111ABCDABCD−中，M，N是线段11AC上的两个动点，则下列结论正确的是（）A．BM，C

N始终在同一个平面内B．//MN平面ABCDC．BDCM⊥D．若正方体的棱长和线段MN的长均为定值，则三棱锥BCMN−的体积为定值12．如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，1A，2A分别为左、右顶点，1B，2B分别为上、下顶点，1F，2F分别为左、右

焦点，P为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆C的离心率为512−的有（）A．2112212AFFAFF=B．11290FBA=C．1PFx⊥轴，且21POAB∥D．四边形1221ABAB的内切圆过焦点1F，2F三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．一袋中装有

分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设YX=−，则()E=______

.14．已知函数()()20xfxaxa=−在()1,2上单调递减，则a的取值范围是______.15．在52+xx的二项展开式中，3x的系数为_________．16．已知函数()4fxxxx=−，则该函数的单调递增区间为______，若方程()fxk=有三个不同的实根，则实

数k的取值集合是______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球．（1）若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？（2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？18．

在平行六面体1111ABCDABCD−中，N是1AD的中点，2AMMB=.(1)化简：11122BNADAA−−;(2)设ABa=，ADb=，1AAc=，若MNxaybzc=++,求xyz++.19．在等差数列

{an}中,已知a1+a3＝12,a2+a4＝18,n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求a3+a6+a9+…+a3n.20．已知椭圆C的方程为()222210xyabab+=，双曲线2

2221xyab−=的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l，交椭圆于,AB两点，记AOF的面积为1S，BOF的面积为2S，当122SS=时，求OAOB的值.21．

函数()2gxxmxn=−+，关于x的不等式()4gx的解集为()1,3−.（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）设()()gxfxx=.（i）若不等式()3352loglog093fxkx−+在3,9x上恒成立，求实数k的取值范围；（ii）若函数

()()()()32111xxxheexfekk−−−=−+有三个不同的零点，求实数k的取值范围（e为自然对数的底数）.22．已知关于x的一元二次方程()2222160xaxb−−−+=（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．（2）若]6[2a，，]4[0b，

，求方程没有实根的概率．参考答案1．A试题分析：因为0ab，0bc，所以,ab同号，,cd异号，所以0axbyc++=,即acyxba=--.0,0acba-<->通过第一、二、四象限，故选A．考点：直线

的方程2．D利用组合数的性质可求三者的和.333433434345445556CCCCCCCCC++=++=+=．故选：D.本题考查组合性质的应用，一般组合数knC具有如下性质：（1）递推性质：111kkknnnCCC++++=；（2）对称性质：knknnCC−=；（3）11kknnkCnC

−−=.本题属于基础题.3．B根据数列的通项公式可以判断该数列是等差数列，求出nS的表达式，运用配方法求出nS取得最大值时n的值.当2,nnN时，1433[433(1)]3nnaann−−=−−−−=−，所以数列na是以40为首项，3−为公差的等差数列，故222

1()38338383()2222624nnSaannnn+==−+=−−+，当14n=时，nS取得最大值.故选：B本题考查了等差数列前n项和最大时项数的值，考查了等差数列的判定，考查了配方法，考查了数学运算能力.4．C先利用互斥事

件的概率公式求得()PB，进而利用对立事件的概率公式即可求得(C)P的值由题意可知，2()0.210PA==.因为A与B互斥且()0.5PAB+=，故()0.3PB=.又因为随机事件C与B对立，所以()10.30.7PC=−=.故选：C5．D根据0ab=得到ab⊥，从而得到答案.因

为()()1112310ab=−+−+=，所以ab⊥.所以//l或l在内.故选：D6．A利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可求得a，再求函数在该区间的最小值.()()()2369313fxxxxx=−++=

−+−，2,1x−−，当2,1x−−时，()0fx，函数单调递减，所以函数的最大值是()2812182fa−=+−+=，得0a=，函数的最小值是()11395f−=+−=−.故选：A7．D由已知可知41nan=−，即可求

得(,41)Pnn−，(2,4(2)1)Qnn++−，利用两点连线的斜率公式即可得解.13a=，点1(,)nnAaa+在抛物线24yx=+上，14nnaa+=+，即数列{}na是首项为3，公差为4的等差数列，3(1)441nann=+−=−，(,41)Pnn−，

(2,4(2)1)Qnn++−，[4(2)1](41)2PQnnknn+−−−=+−842==，即直线的方向向量为(),40kkk故选：D8．A分别将变量x代入进行验证即可．解：A．当x＝1时，y＝1+1＝2，当x＝12时，y＝2+1＝3，当x＝13时，y＝3+1＝4，当x＝14时，y＝4+

1＝5，都满足条件，B．当x＝14时，y＝2×14+1＝32，远远小于5，不满足条件．C．当x＝14时，y＝8+3＝11，远远大于5，不满足条件．D．当x＝14时，y＝14+1＝54，远远小于5，不满足条件．故选A．本题主要考查回归

方程的求解，注意本题不是线性回归直线方程，不能求样本中心（xy，）的值．9．BCD根据123aaa、、的值可得1nnaan−−=，利用累加法可得na，再计算前5项的和即可判断B；由递推公式即可判断A；由1=nnnaSS−−即可判断C；

利用裂项相消求和法即可判断D.因为11a=，212aa−=，323aa−=，……，1nnaan−−=，以上n个式子累加可得：()11232nnnan+=++++=，所以512345136101535Saaaaa=++++=++++=，故选

项B正确；由递推关系可知：11nnaan+−=+，故选项A不正确；当2n，()112nnnnnSSa−+−==，故选项C正确；因为()1211211nannnn==−++，所以12202111111111120212122212232021202220221011aaa

+++=−+−++−=−=，故选项D正确；故选：BCD.10．ACD对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断B不正确；对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D，先将5个球分为

4组，再全排，计算可判断D正确；对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有5444444=种放法，故A正确；对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒

子里，每盒至少一个，共有2454CA240=种放法，故B不正确；对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有4541CC种放法，故C正确；对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同

的盒子里，没有空盒，共有2454CA240=种放法，故D正确；故选：ACD.11．BCDA．根据点,,,BCMN与平面11AACC的关系作出判断；B．根据线面平行的判定定理进行分析；C．根据BD与平面11AACC的位置关系作出判断；D．设出正方体棱长以及MN的长度，根据条件得到B到平面1

1AACC的距离，从而可计算出三棱锥BCMN−的体积并完成判断.因为C，M，N同在平面11AACC上，而B不在平面11AACC上，所以BM，CN不在同一个平面内，故A错误；因为//MNAC，AC平面ABCD，MN平面ABCD，所以//MN平面ABCD，故B正确；因为1AA⊥平

面ABCD，而BD平面ABCD，所以1AABD⊥，连接AC，BD交于点O，则ACBD⊥，而1AAACA=I，1AA平面11AACC，AC平面11AACC，所以BD⊥平面11AACC.因为CM平面11AACC，所以BDCM⊥，故C正确；不妨设正方体的棱长为a，MNb=，则11122CM

NSMNCCab==△.由于BD⊥平面11AACC，则BO⊥平面11AACC，22BOa=，所以211122232212BCMNCMNVSBOabaab−===△.因为a，b为定值，所以三棱锥BCMN−的体积为定值，故D正确.故选：BCD.易错点睛：空间中线面平行的证明以

及三棱锥体积计算的注意事项有：（1）证明线面平行时，注意说明哪一条直线在面内，哪一条直线不在面内；（2）求解三棱锥体积时，注意选择合适的点作为顶点，合适的三角形作为底面积，这样可以很大程度上简化计算.12．BD由已知结合两点之间的距

离公式知3ac=，进而判断A；由已知结合勾股定理构造齐次式计算离心率可判断B；由已知结合两点连线的斜率公式可得bc=，进而求得离心率判断C；由已知可知四边形1221ABAB的内切圆的半径为c，利用等面积法及构造齐次式可判断D.由椭圆2222:1(0)xyCabab+=，可

得12(,0),(,0)AaAa−，12(0,),(0,)BbBb−，12(,0),(,0),FcFc−对于A，2112212AFFAFF=，即22()(2)acc−=，化简得2acc−=，即13cea==，不符合题意，故A错误；对于B，11290FBA

=，则222211112||||||AFBFBA=+，即2222()()acaab+=++，化简得220caca+−=，即有210ee+−=，解得512e−=（512e−−=舍去），符合题意，故B正确；对于C，1PFx⊥轴，且21POAB∥，所以2,bPca−，由21POABkk=

，可得2bbaac=−−，解得bc=，又222abc=+，所以222cceac===，不符合题意，故C错误；对于D，四边形1221ABAB的内切圆过焦点1F，2F，即四边形1221ABAB的内切圆的半径为c，则22abc

ab=+，结合222bac=−，即42310ee−+=，解得2352e+=（舍去）或235,2e−=即512e−=，符合题意，故D正确；故选：BD13．43##113先求出YX=−的可能取值，再求出相应的概率，进而求出期望.YX=−的可能取值为0,1,2，连续取3次

球，它的取法共有3327=种，其中0=的取法共有3种，为111,222,333，其中1=有12种，为112,121,211,122,212,221,223,232,323,332,233,322，其中2=有12种，为

113,123,311,321,312,213,231,131,133,311,331,313，因此它们的概率分别为144,,999，故()14440129993E=++=．故答案为：4314．)1,+先求导，求出函数的单调递减区间，由()()1,20,2a即可求解.()()()2

222()(2)xxaxxxafxxaxa−−−==−−，令()0fx，得02xa，即()fx的单调递减区间是()0,2a，又()fx在()1,2上单调递减，可得22a，即1a.故答案为：)1,+.15．10根据二项式定

理写出52+xx展开式的通项，即可得3x的系数.52+xx展开式的通项为：()515215522kkkkkkkkTCxxCx−−−+==令1k=，得113325210TCxx==，所以3x的系数为：10本题主要考查了二项式系数的性质，

关键是记住二项式展开式的通项，属于基础题.16．(,2−−和)2,+()4,4−作出函数()4fxxxx=−，根据图象可得单调递增区间，通过()fx的图象与yk=有三个不同的实根，即可求解实数k的取值集合．解：由函数()

224,044,0xxxfxxxxxxx−=−=−−，作出函数()fx如图所示：方程()fxk=有三个不同的实根，即()fx的图象与yk=有三个不同的交点，故答案为：(,2−−和)2,+；()4,4−此题考查函数与方程，考查

函数的单调性，考查数形结合的思想，属于基础题17．（1）194（2）115试题分析：（1）由题意知可以采用分类加法，分三类：3红1白，2红2白，1红3白，相加即可；（2）可分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理，相加即可试题解析：（1）分三类：3红1白，2红2白，1红3白

这三类，由分类加法计数原理有：312213464646CCCCCC++＝194（种）．（2）分三类：4红，3红1白，2红2白，由分类加法计数原理共有：4312244646CCCCC++＝115（种）．考点：排列、

组合及简单计数问题18．（1）BA；（2）13xyz++=.（1）由N是1AD的中点，根据三角形法则与平行四边形法则，即可得出结果；（2）由2AMMB=，先得到211322MNabc=−++，再由题意，即可求出结果.（1）∵在平行六面体1111ABCDABCD−中，N是1AD的中点，∴1

1111222BNADAABNADBNANBA−−=−=−=（2）∵2AMMB=，∴()11221123322MNANAMADAAABabc=−=+−=−++∵MNxaybzc=++∴211,,322

xyz=−==∴13xyz++=.本题主要考查向量的运算法则，熟记三角形法则与平行四边形法则即可，属于常考题型.19．（1）an＝3n,n∈N*（2）()292nn+（1）依题意a1+a3＝12,a2+a4＝18,两式相减得d＝3,将d＝3代

入一式可得a1,则通项公式可求.（2）因为数列{an}是等差数列,所以数列{a3n}也是等差数列,且首项a3＝9,公差d'＝9,则其前n项和可求.解：(1)因为{an}是等差数列,a1+a3＝12,a2+a4＝18,所以1122122418.adad+=+=，1122122418

.adad+=+=，解得d＝3,a1＝3.则an＝3+（n﹣1）×3＝3n,n∈N*.(2)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3＝9,公差为9的等差数列.则()()236931991922naa

aannnnn++++=+−=+.本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.20．(1)22162xy+=(2)114OAOB=（1）因为直线l1的倾斜角为30°，所以3tan303ba==，因为

双曲线的焦距为42，所以4c=，再根据,,abc的关系，可得椭圆方程；（2）由(1)知()2,0F，设直线AB的方程为2xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，直线与椭圆联立得()223420tyty++

−=，1212224233tyyyytt−−+==++，，又122SS=知122yy=−，即可得得215t=，进而可得1212OAOBxxyy=+的值.（1）由一条渐近线与x轴所成的夹角为30，可知3tan303ba=

=，即223ab=，又双曲线中22c=，所以228ab+=，解得26a=，22b=，所以椭圆C的方程为22162xy+=.（2）由(1)知()2,0F，设直线AB的方程为2xty=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立22162

2xyxty+==+得()223420tyty++−=，所以1221224323tyytyyt−+=+−=+①②由题意122SS=知122yy=−③由①②③得215t=.将21

5t=代入②，得1258yy=−，又()()()2121212122722248xxtytytyytyy=++=+++=，所以121227511884OAOBxxyy=+=−=.本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次

的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽

视判别式的作用．21．（Ⅰ）2,1mn==（Ⅱ）（i）(,1−（ii）()10,2+−（Ⅰ）根据三个“二次”的关系可知，240xmxn−+−=的两根为-1和3，再根据韦达定理即可求出；（Ⅱ）（i）

由（Ⅰ）中求出的解析式可将不等式化简成，()233514193loglogkxx−+，换元，311,1log2tx=，即只需求()224251339stttt=−+=−+在1,12上的最小值，

即可求出实数k的取值范围；（ii）换元，令)10,xqe=−+，则函数()()2113221xxehxkke−+−+−+=有三个不同的零点，等价于()()23221Hqqkqk=−+++在)0,q+有两个零点，再根据函数

与方程思想，以及二次函数的有关性质即可求出．（Ⅰ）因为()2440xmxngx−+−的解集为()1,3−，即方程240xmxn−+−=的两根为-1和3，由韦达定理可知()()13134mn−+=−=−，

解得21mn==.（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可得：()()12gxfxxxx==+−，所以不等式()3352loglog093fxkx−+在3,9x上恒成立，等价于()233514193loglog

kxx−+在3,9x上恒成立，令31logtx=，因为3,9x，所以1,12t，则有254193ktt−+在1,12t恒成立，令()224251339stttt=−+=−+，1,12t，则()min

2539sts==，所以5599k，即1k，所以实数k的取值范围为(,1−.（ii）因为()()2113221xxehxkke−+−+−+=，令1xqe=−，由题意可知)0,q+，令()()23221Hqqkqk=−+++，)0,q+，则函数

()()2113221xxehxkke−+−+−+=有三个不同的零点，等价于()()23221Hqqkqk=−+++在)0,q+有两个零点，当0q=时，方程()102Hqk==−，此时()212

Hqqq=−，解得0q=或12q=，关于x的方程有三个零点，符合题意；当0q时，记两个零点为1q，2q，且12qq，101q，21q，所以()()2021010940HkHkkk=+=−=+，综上实数k的取值范围是()10,2+−

.本题主要考查三个“二次”的关系，韦达定理的应用，不等式恒成立问题的解法，二次函数的性质应用，以及由函数的零点个数求参数范围，意在考查学生的数学运算能力，转化能力和逻辑推理能力，属于较难题．22．（1）19（2）4（1）由题

意知本题是古典概型，计算基本事件ab（，）的总数和“方程有两个正根”的事件数，计算所求的概率值；（2）由题意知本题是几何概型，计算试验的全部结果构成区域和满足条件的事件组成区域，计算面积比即可．（1）由题意知本题是一

个古典概型，用ab（，）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件ab（，）的总数有36个，二次方程()2222160xaxb−−−+=有两正根，等价于()222201604(2)4160abab−−

=−+−即22244(2)16abab−−+“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为：6,1)（、62（，）、63（，）、53（，），共4个，∴所求的概率为41()369PA==.（2）由题意知本题是一个几何概

型，如图所示：试验的全部结果构成区域,2604{|}abab=（），，其面积为16S=（），满足条件的事件为：22{|}2604,216Bababab=+（，），（﹣）＜，其面积为21()44

4SB==，所求概率为4()164PB==.本题考查几何概型以及用列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于中档题.