【文档说明】[29883034]专题4.19 相似三角形判定定理的证明（培优篇）（专项练习）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(42)页，1.014 MB，由envi的店铺上传

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专题4.19相似三角形判定定理的证明（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A．3B．2C．23D．42．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，

E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A．1个B．2

个C．3个D．4个3．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE4=：3，且BF2=，则DF的长为()A．53B．73C．103D．1434．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于

点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=12BD；③BN+DQ=NQ；④ABBNBM+为定值．其中一定成立的是A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④5．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E

、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（）A．45B．35C．56D．676．如图，ABC是等边三角形，ABD是等腰直角三角形，90BAD=，AEBD⊥于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AHCD⊥交BD于点H

，则下列结论：①15ADC=；②AFAG=；③AHDF=；④AFGCBG；⑤(31)AFEF=−.．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．27．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是边CD上一点，将△ADP沿直线AP对

折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（）A．3B．2C．47−D．45−8．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则A

G∶GC等于()A．1∶2B．1∶5C．1∶4D．1∶39．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，P

N∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为512−．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P

是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（）A．125B．2C．52D．111．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，

EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题12．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边B

C、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=________．13．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y

轴于点E，那么点D的坐标为______．14．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从

A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=_____秒时，△PCQ的面积等于8cm2．16．如图，正方形

ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为_____．17．如图，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若点G、H、M、N分别在AB、CD、AD、BC上，线段M

N与GH交于点K．若∠GKM=45°，NM=35，则GH=__．18．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD

的垂线EF，则当点C运动了__s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．19．如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为__．20．如图，Rt△ABC中

，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF=CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2=EF•BF；②AG=2DC；③AE=EF；

④AF•EC=EF•EB．其中正确的结论有________21．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交

于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=________cm，AB=________cm．22．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边

交于点F．若3CF=，2DF=，连接BN，则BN的长为_______．三、解答题23．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．1（）已知ABC是比例三角形，AB2=，BC3=，请直接写出所有满足条件的AC的长；2（）如图1，在四边形AB

CD中，AD//BC，对角线BD平分ABC，BACADC.=求证：ABC是比例三角形．3（）如图2，在2（）的条件下，当ADC90=时，求BDAC的值．24．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我

们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140

°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．25．如图，以O为原

点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。（1）当点C在第

一象限时，求证：△OPM≌△PCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等

腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。26．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两

边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．27

．如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2

，当1CEEA=时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当2CEEA=时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEmEA=时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是．（直接写出结

论，不必证明）探究二：若2CEEA=且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求

出相应S的值或取值范围．28．如图，正方形ABGD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．求证：EF=CF；（2）当13AEAD=时，求EF的长．参考答案1．A【详解】【分析

】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=23，AC=2AO=43，根据三角形面积公式得S△ACD=12OD·AC=43，根据中位线定理得OE∥AD，根据

相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴AO=22

16423ADOD−=−=，∴AC=2AO=43，∴S△ACD=12OD·AC=12×2×43=43，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴12OEAD=，∴14COECADSS=，∴S△COE=14S△CAD=14×43=

3，故选A.【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.2．B【详解】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△F

CE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，设DE=EC=1，BM=a，则AB=2，BF=4，AM

=FM=4﹣a，在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×C

F，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，MNBMANAD=＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④

错误．综上所述，正确的结论有2个，故选B．点睛：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，

故外心到三角形三个顶点的距离相等．3．D【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出EBF∽CDF，再利用相似三角形的性质得出DF的长．【详解】解：在▱ABCD中，BE//CD，ABCD=，EBF∽CDF，BFBEDFCD=，AE：BE4=：3，且BF2=，BFBE32DFCD7

DF===，14DF3=．故选：D．【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，得出EBF∽CDF是解题关键．4．D【解析】试题解析：如图：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠A

MN=∠ABC=90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，∴∠ANM=∠NAM=45°，∴由等角对等边知，AM=MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM=

∠PMN，∴Rt△AHM≌Rt△MPN∴MP=AH=12AC=12BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，∴三角形ADQ绕点A顺时针旋转90度至ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ则BN=NU，DQ=U

Q，∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，∴△AMS≌△NMW，∴AS=NW，∴

AB+BN=SB+BW=2BW，∵BW：BM=1：2，∴2=22ABBNBM+=，故④正确．故选D．5．A【解析】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º，CE=DE，CF=DF．∵∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=

120º，∴∠ADE=∠BFD，又∵∠A=∠B=60º，∴△AED∽△BDF，∴DEADAEDFBFBD==，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以332xaaxyaya−==−，整理可得ay=3a

x-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，4455xaya==，即45CECF=，故选A．点睛：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的性质分别求出CE、CF的长度（

用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．6．B【详解】分析：①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△B

AH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP=22=3AFPF−x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE

=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得PFAPEHAE=，从而得出a与x的关系即可判断．详解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、

AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=

45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵45ADFBAHDAABDAFABH＝＝＝＝，∴

△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP=22=3AFPF−x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、

∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴PFAPEHAE=，即32xxaax=+，整理，得：2x2=（3-1）ax，由

x≠0得2x=（3-1）a，即AF=（3-1）EF，故⑤正确；故选B．点睛：本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．7．C【解析】如图1所示，过点作

于点，在矩形中，，所以，又，所以，所以，则，因为，，所以当最大、最小时，最小，最大，即当点与点重合时，最大。如图2所示，此时，点、重合，、、三点共线，由可知，所以，在和中，，所以，所以，故的最大值为。故选C

.8．B【解析】【分析】如图，延长FE，CD交于点H，易证△AFE∽△DHE，根据已知条件和相似三角形的性质可得HD＝3AF.再证得△AFG∽△CHG，根据相似三角形的性质即可解答【详解】延长FE，CD交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形

，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，∴AEAFDEHD==，即13AFHD=，∴HD＝3AF.∵AB∥CD，∴△AFG∽△CHG，∴1325AGAFAFGCHCAFAF===+.故选B.【点拨】本题考查了相似三角形的性质及判定，正确作出辅助线证明△AFE∽△DH

E及△AFG∽△CHG是解题的关键.9．D【解析】试题分析：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，190ABBCABEBCFBECF===

==，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故②正确；∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CBF＋∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，故③正确；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE＝∠BCF

，∠PBE＝∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴PEBECFBF=，∴CF•BE＝PE•BF，∵CF＝BE，∴CF2＝PE•BF，故④正确；∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G

，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝22BCBG+＝211()2+＝52，∵PG＝12AB＝12，∴CP＝CG﹣PG＝52﹣12＝512−，即线段CP的最小值为512−，故⑤正确；综上可知正确的有5个，故选D．点睛

：本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．10．A【详解】试题分析：设AP=x，PD

=4﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；∴△AEP∽△ADC，故=①；同理可得△DFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．故选A．考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．点评：此题比较简单，根据矩形的性质及

相似三角形的性质解答即可．11．C【分析】根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可.【详解】解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，∴∠MBC＝∠C=45°,BM=AM=MC∵DB＝DE,∴∠DBE＝∠DEB即∠DBM+45°＝∠CDE+45°.∴∠

DBM＝∠CDE.∵EF⊥AC,∴∠DFE＝∠BMD=90°在△BMD和△DFE中DFEBMDDBMCDEDBDE＝＝＝∴△BMD≌△DFE.故①正确.由①可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C∴△NBE∽△DCB，

故②错，对应字母没有写在对应的位置上.∵△BMD≌△DFE，∴BM=DF,∵BM=AM=MC，∴AC=2BM,∴AC＝2DF.故③正确易证△EFC∽△ABC,所以EFBC=FCAB,∴EFAB＝CFBC故④正确故选C.【点

拨】本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，掌握基础知识是解题的关键.12．154或307【详解】分析：分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=

PQ，∠PQB=90°时；详解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴BQPQBAAC=，∴10106xx−=，∴x=154，∴AQ=154．②当AQ=PQ，∠

PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴PQBQACBC=，∴1068yy−=，∴y=307．综上所述，满足条件的AQ的值为154或307．点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、

相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．13．（﹣45，125）【分析】首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE

=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【详解】解：如图，过D作DF⊥AO于F，∵点B的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=B

C=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE和△AOE中，CDEAOECEDAEOCDAO===，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，设OE=x，那么CE=3﹣

x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=43，∴OE=43，AE=CE=OC﹣OE=3﹣43=53，又∵DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，∴AE：AD

=EO：DF=AO：AF，即53：3=43：DF=1：AF，∴DF=125，AF=95，∴OF=95﹣1=45，∴D的坐标为：（﹣45，125）．故答案为（﹣45，125）．【点拨】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把

握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．14．121313【详解】【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得APDGAQBC=，据此知EF=DG=32（4﹣x），由EG=22EFGF+即可求

得答案．【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF=PQ，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，由DG∥BC知△ADG∽△ABC，∴APDGAQBC=，即446xDG−=，则EF=DG=32（4﹣x），∴EG=22EFGF+=()2234

2xx−+=2131614441313x−+，∴当x=1613时，EG取得最小值，最小值为121313，故答案为121313.【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形

的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．15．2或4或15+1293【详解】设经过t秒钟，△PCQ的面积等于8．①当0＜t≤4时，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，CQ=2t．∴△PCQ的面积=12PC•CQ

=1(6)282tt−=，解得：t=2或t=4．②当4＜t≤6时，P在AC上，Q在AB上，如图，∵AC=6，BC=8，∴AC=10．过Q作QH⊥AC于H，则PC=6-t，BQ=2t-8，AQ=18-2t．∵QH∥

BC，∴QHBCAQAB=，∴818210QHt=−，解得：QH=0.8（18-2t），∴△PCQ的面积=12PC•QH=1(6)0.8(182)82tt−−=，解得：t=4或t=11．∵4＜t≤6，故两个答案都舍去．

③当6＜t≤8时，P在BC上，Q在AB上，如图，∵AC=6，BC=8，∴AC=10．过Q作QH⊥BC于H，则PC=t-6，BQ=2t-8，AQ=18-2t．∵QH∥AC，∴QHQBACAB=，∴28610QHt−=，解得：QH=0.6（2t-8），∴△PCQ的面积=12PC•QH=1

(6)0.6(28)82tt−−=，解得：t=151293−或t=151293+.∵6＜t≤8，故t=151293+．故答案为2或4或15+1293．点睛：本题考查了由运动形成的三角形的面积．解题的关键是分三种情况讨论，针对每种情况画出图形，

建立不同的方程，然后解方程即可．16．213【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．【详解】作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如图所示，∵正方形A

BCD的边长为12，BE=8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，∴DF=4，CF=8，EF=12，∴MQ=4，PN=2，MF=6，∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，∴△EGB∽△FGD，∴EGBEFGDF=，即1284FGFG−=，解得，FG=4，∴FN=2，∴

MN=6﹣2=4，∴QH=4，∵PH=PN+QM，∴PH=6，∴PQ=22PHQH+=213，故答案为：213．【点拨】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行

解题是关键.17．310【解析】如图,过点A作交CD于E,作交BC于F,则,,,,作交CD的延长线于Q,则,,,ABFAQD,,,,在中,,过点E作于P,,是等腰直角三角形,设,则,,,计算得出,所以.因此，本题正确答案是:.【点拨】过点A作交CD于E,

作交BC于F,于是得到,,因为,得到,作交CD的延长线于Q,推出,通过ABFAQD,根据相似三角形的性质得到,求得,在中,由勾股定理得到,过点E作于P,得到是等腰直角三角形,设,则,然后利用的正切值列出方程求解即可.18．1

78．【详解】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，此时，CF=1.5，∵AC=2t，BD=32t，∴OC=8−2t，OD=6−32t，∵点E是OC的中点，∴CE=12OC=4−t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO∴△EFC∽△DC

O∴=EFCFODOC,∴32692==1648tEFt−−=32，由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，∴(4−t)2=982+(32)2，解得：t=178或t=478，∵0⩽t⩽4，∴t=178.故答案为178点睛：本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三

角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加的一定的难度，很好地考查学生综合运用知识的能力.19．83【解析】试题分析：△ABC和△AED均为等边三角形，∴EBC==,6

0BADCAD+=,EAFCAD=,60EAFBAD+=∴BDFCAD=∴AEF~∆ACD,又AFEDFB=,∴AFEDFB,∴EAFBDF=,∴EAFCAD=,∴ACDDBF

,∴BFBDCDAC=即124412BF−=，所以BF=83故答案为83点睛：本题主要考查①相似三角形的判定，利用两角对应相等的三角形相似进行判定，要掌握相似三角形的判定方法并灵活运用。②相似三角形的性质，对相似三角形的性质要理解

及重点掌握。相似三角形的判定方法及性质是重点及难点。20．①②④．【解析】根据等边对等角的性质求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根据等边对等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根据直角三角形的性质求出△BCF和△CEF相似，根据相似三角形对应

边成比例列式整理即可得到①正确；根据互余关系求出∠G=∠ACG，再根据等角对等边的性质求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角边”证明△BCE和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BC，从而判断②正确；根据角的互余关系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠D

FC=90°再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，从而得到AE≠EF，判断出③错误；根据根据直角三角形的性质求出△CEF和△BCE相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出E

C2=EF•EB，再根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，从而判断出④正确．解：∵DF=CD，∴∠DCF=∠DFC，∵AC=BC，点D是BC的中点，∴DF=DB=DC，∴∠DBF=∠DFB，又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，∴∠BFC=1

2×180°=90°，∴CF⊥BE，∴Rt△BCF∽Rt△CEF，∴CFEF=BFCF，∴CF2=EF•BF，故①正确；∵AG⊥AD，∴∠G+∠AFG=90°，又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵AC=BC，∴AG=BC，又∵∠CB

E=∠ACG，∴∠CBE=∠G，在△BCE和△AGF中，∵∠GAF=∠BCE=90°，∠CBE=∠G，AG=BC，，∴△BCE≌△AGF（AAS），∴AG=BC，∵点D是BC的中点，∴BC=2DC，∴AG=2DC，故②正确；根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，

∵tan∠ADC=2，∴∠ADC≠60°，∵∠DCF=∠DFC，∴∠FDC≠∠DFC，∴∠EAF≠∠EFA，∴AE≠EF，故③错误；∵∠ACB=90°，CF⊥BE，∴△CEF∽△BCE，∴ECEB=EFEC，∴

EC2=EF•EB，∵△BCE≌△AGF（已证），∴AF=EC，∴AF•EC=EF•EB，故④正确；所以，正确的结论有①②④．“点睛”本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出AG=AC，然后证明△BCE和△

AGF全等是证明的关键，也是本题的难点．21．5,13【解析】AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线,AE,CMDMBE,EFMN是平行四边形，∠DAB+∠CDA=180°，∠DFA=90°

，FM=3cm，EF=4cm，勾股定理知,EM=5cm，∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB,设DF=3k，则AF=4k,∵∠AFD=90°，∴AD=5k,∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1

），∴AB=5（k+1）,∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21,∴5（k+1）+5k=21,∴k=1.6,∴AB=13（cm）．22．257【解析】如图，连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K.∵四边形ABCD是正方形，DF=2.CF=3

，∴AD∥BG，AD=BC=CD=5，23ADDFCGFC==,152CG=.∵四边形ENCM是正方形，∴NH=HM=CH=EH，MN⊥EC，设CH=x，∵MH∥CG，HMFHCGFC=，31532xx−=，157x=.在RT△BNK中,∵∠BKN=90°,157NKCH==,207

BKBCCK=−=,2222152025777BNBKNK=+=+=23．()1当4AC3=或92或6时，ABC是比例三角形；()2证明见解析；()3BD2AC=．【详解】【分析】()1根据比例三角形的定义分2ABBCAC=、2B

CABAC=、2ACABBC=三种情况分别代入计算可得；()2先证ABC∽DCA得2CABCAD=，再由ADBCBDABD==知ABAD=即可得；()3作AHBD⊥，由ABAD=知1BHBD2=，再证ABH∽DBC得ABBCBHDB=，即21ABBCBD2=，结合2AB

BCAC=知221BDAC2=，据此可得答案．【详解】()1ABC是比例三角形，且AB2=、AC3=，①当2ABBCAC=时，得：43AC=，解得：4AC3=；②当2BCABAC=时，得：92AC=，解得：9AC2=；③当2ACABBC=时，得：AC6=，解

得：AC6(=负值舍去)；所以当4AC3=或92或6时，ABC是比例三角形；()2AD//BC，ACBCAD=，又BACADC=，ABC∽DCA，BCCACAAD=，即2CABCAD=，AD//BC，

ADBCBD=，BD平分ABC，ABDCBD=，ADBABD=，ABAD=，2CABCAB=，ABC是比例三角形；()3如图，过点A作AHBD⊥于点H，ABAD=，1BHBD2=，AD//BC，ADC90=，BCD90=，BHABCD90

==，又ABHDBC=，ABH∽DBC，ABBHDBBC=，即ABBCBHDB=，21ABBCBD2=，又2ABBCAC=，221BDAC2=，BD2AC=．【点拨】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．2

4．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=22．【详解】【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=32FE，继而

求出FG•FE=8，即可得出结论．【详解】（1）由图1知，AB=5，BC=25，∠ABC=90°，AC=5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴12

ACABCDBC==或2ACBCCDAB==，∴CD=10或CD=2.5同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°，∴∠BDC

+∠ADB=140°，∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△BDC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH=∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴FEFHFHFG=，

∴FH2=FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ=FE•sin60°=32FE，∵12FG×EQ=23，∴12FG×32FE=23，∴FG•FE=8，∴FH2=FE•FG=8，∴FH=22．【点拨】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确

理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.25．（1）证明见解析；（2）21221(0)22Smmm=−+（3）使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（22,1－22）【解析】解：（1）∵OM∥BN，MN∥O

B，∠AOB=900，∴四边形OBNM为矩形。∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900∵AMPMAOBO=，AO=BO=1，∴AM=PM。∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，∴OM

=PN，∵∠OPC=900，∴∠OPM+CPN=900，又∵∠OPM+∠POM=900∴∠CPN=∠POM，∴△OPM≌△PCN.（2）∵AM=PM=APsin450=2m2，∴NC=PM=2m2，∴B

N=OM=PN=1-2m2；∴BC=BN-NC=1-2m2-2m2=12m−（3）△PBC可能为等腰三角形。①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）②当点C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1－22m，∴BC=PB=2PN=2-m，∴NC=BN+BC=1

－22m+2-m，由⑵知：NC=PM=22m，∴1－22m+2-m=22m，∴m=1.∴PM=22m=22，BN=1－22m=1－22，∴P（22,1－22）.∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）

或（22,1－22）26．（1）见解析；（2）y=4﹣x+44x−（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣233．【解析】【分析】（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；（2）先判断出△

BEG∽△CFE进而得出CF=44x−，即可得出结论；（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即

可得出BG，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF

，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠E

BG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=44x−，由（1）知，BF'=CF=44x−，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+44x−当CF=4时，即：44x−=

4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+44x−（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）

知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=233，∴AG=AB﹣B

G=4﹣233，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣233．【点拨】本题考核知识点：相似三角形综合.解题

关键点：熟记相似三角形的判定和性质.27．探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2，证明见解析；（3）EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+6；探究二：（1）当x=102时，面积最小，是50cm2；当x=103时，面积最大，是75cm2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角

形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．【解析】【分析】探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，∠PBE=∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证

明结论；（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析；探究二：（1）设E

Q=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．【详解】探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，∠PBE=∠C，又∠BEP=∠CEQ，则△BEP≌△CE

Q，得EP=EQ；（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过

E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），∴∠MPE=∠EQN（等量代换），∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴EPMEEQEN=，

在Rt△AME∽Rt△ENC，∴CEENmEAME==，∴1EEPAEEQmCE==，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+6；（当m＞2+6时，EF与BC不会相交）．探究二：若AC=30cm，（1）设EQ=x，则S=14

x2，所以当x=102时，面积最小，是50cm2；当x=103时，面积最大，是75cm2；（2）当x=EB=510时，S=62.5cm2，故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三

角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解是关键．28．见解析【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；

（2）设EF=x，根据勾股定理解答即可．试题解析：（1）证明：∵正方形ABGD，又∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，在△ADE

与△GDC中，ADEGDCADDGADGC===∴△ADE≌△GDC（ASA）．∴DE=DC，且AE=GC．在△EDF和△CDF中，DEDCEDFDCDFDFDF====∴△EDF≌△CDF（SAS）．∴EF=CF；（2）解：∵13AEAD=∴AE=GC

=4．设EF=x，则BF=16﹣CF=16﹣x，BE=12﹣4=8．由勾股定理，得x2=（16﹣x）2+82．解之，得x=10，即EF=10．