【文档说明】2022高考人教版数学一轮：练案【50理】【47文】 直线的倾斜角、斜率与直线的方程含解析.docx，共(9)页，157.786 KB，由envi的店铺上传

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[练案50理][练案47文]第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、选择题1．(2021·浙江衢州质检)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是(D)A．π6B．π3C．2π3D．5π6[解析]由直线的方程得直线的斜率为k＝－33

，设倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2[解析]直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3

的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D．3．直线3x＋2y＝6的倾斜角的余弦值为(B)A．31313B．－21313C．21313D．－23[解析]记直线3x＋2y＝6的倾斜角为α，则tan

α＝－32，∴1－cos2αcos2α＝94π2<α<π，解得cosα＝－21313，故选B．4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(B)A．2x＋y＝0B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0D．x－2y－5＝0

[解析]设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为x2＋y－4＝1，即2x－y－4＝0.5．(2021·成都诊断)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜

角小π4的直线方程是(A)A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2[解析]直线y＝－x－1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2,1)，所以所求直线方程为x＝2.6．(2021·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1

)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(B)A．0，π4B．3π4，πC．0，π4∪π2，πD．π4，π2∪3π4，π[解析]k＝－1a2＋1∈[－1,0)，因此倾斜角的取值范围3π4，π，选B．7．(2021

·重庆一中期中)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(D)A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0[解析]当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y

＝0，当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，代入A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0，故选D．8．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(A)A．(－2,1)B．(－1,2)C．(－∞，0)D．(

－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]由题意知k＝a－1a＋2<0，∴(a－1)(a＋2)<0，即－2<a<1.故选A．9．(2021·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(A)A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0D

．ab<0，bc<0[解析]由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即－ab<0，－cb>0，，∴ab>0bc<0，故选A．10．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(C)A．第一象限B．第二象

限C．第三象限D．第四象限[解析]由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0知，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．11．下列说法正确的是(A)A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．过点(0,2)的直线方程为y＝kx＋2C

．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0[解析]A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，过点(0,2)的直线方程为y＝kx＋2或x＝0，所以B错

误，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.二、填空题12．(2021·福建六校联考改编)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx

＋y＋a＝0有可能是__②④__.[解析]当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知②符合，当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项④符合，当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故填②④

.13．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程可以是__2x＋y－12＝0或2x－5y＝0__.[解析]设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝25x，即2x－5

y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为xa＋y2a＝1，又直线过点(5,2)，所以5a＋1a＝1，解得a＝6，∴所求直线方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.14．经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为__3x＋4y＋15＝0

__.[解析]由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)．因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y

＋15＝0.15．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为__x－2y－1＝0__.[解析]设M(0，a)，N(b,0)，C(m，

n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，∴点C的坐标为(－5，－3)，则kBC＝3－(－3)7－(－5)＝12，∴BC的方程为

y－3＝12(x－7)，即x－2y－1＝0.16．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为__x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0__.[解析]设所求直线l的方程为xa＋yb＝1.∵k＝16，即ba＝－16，∴a＝－6b.又三角形面积S＝3＝12|a|

·|b|，∴|ab|＝6.则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6.∴所求直线方程为x－6＋y1＝1或x6＋y－1＝1.即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.B组能力提升1．(2021·北京东城期末)已知直线l的

倾斜角为α，斜率为k，那么“α>π3”是“k>3”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B．2．

(2021·湖北孝感调研)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(A)A．k≥34或k≤－4B．k≥34或k≤－14C．－4

≤k≤34D．34≤k≤4[解析]直线l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化为k(1－x)＋y－1＝0，∴直线l过定点P(1,1)．如图所示．直线PA的斜率kPA＝－3－12－1＝－4，直线PB的斜率kPB＝－2－1－3－1＝34，则直线l与线段AB相

交时，它的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥34.故选A．3．(2021·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若fπ4－x＝fπ4＋x，则直线ax－by＋c＝0的倾斜

角为(D)A．π4B．π3C．2π3D．3π4[解析]由fπ4－x＝fπ4＋x知函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称，所以f(0)＝fπ2，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝ab＝－1，所以直线的倾斜角

为3π4，故选D．4．(2021·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16__.[解析]根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为xa＋yb＝1，又C(－

2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以1＝21－a＋1－b≥41ab，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线

l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程；(4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程，[解析](1)证明：设直线过

定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)．另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然x＝－2，y＝1时对

任意k方程都成立，故直线过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则k≥0，1＋2k≥0，解得k的取值范围是k≥0.(3)依题意，直线l在x轴

上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，由题意得(2k＋1)2|2k|＝4，解得k＝12或k＝22－32或k＝－22＋32，故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(22－3)x－2y＋4(2－1)＝0或(22＋3)x＋2y＋4(2＋1)＝0.(4

)又－1＋2kk<0，且1＋2k>0，∴k>0，∴S＝(2k＋1)22k＝124k＋1k＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，等号成立．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4

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