【文档说明】高考数学培优专题55讲：第17讲 离散型随机变量及分布列.docx，共(18)页，501.455 KB，由envi的店铺上传

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1第十七讲离散型随机变量及分布列、均值与方差A组一选择题1.随机变量的分布列为024P0.40.30.3，则=+)45(E()A．13B．11C．2.2D．2.3【答案】A【解析】由已知得：8.13.043.024.00)(=+

+=E，∴1348.154)(5)45(=+=+=+EE2.带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则2=X时的概率是()A.530410120CCCB.5303102

20CCCC.530210320CCCD.530110420CCC【答案】B【解析】X服从超几何分布，320310220)2(CCCXP==3.随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中cba,,成等差数列，则==)1(XP()A.31B32.C.21D.41【答案】B【解析】∵c

ba,,成等差数列，∴cab+=2又1=++cba，∴31=b，2∴32)1(=+==caXP4.已知随机变量X的分布列为：)3,2,1(2)(===iaiiXP则)2(=XP等于()A.91B.61C.31D.41

【答案】C【解析】1232221=++aaa，解得3=a，31322)2(===XP.二填空题5.某一离散型随机变量的概率分布如下，且5.1)(=E，则=−ba（）．0123P0.1ab0.1【答案】0【解析】由分布列的性质知：11.01.0

=+++ba，∴8.0=+ba．又5.11.03211.00)(=+++=baE即2.12=+ba解得4.0,4.0==ba，∴0=−ba．6.设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且)4,3,2,1()(=+==kbakkP，3=E，则.

______=+ba【答案】；【解析】由分布列的概率和为1，有1)4()3()2()(=+++++++babababa，又3=E，即3)4(4)3(3)2(2)(1=+++++++babababa解得0,1.0==ba，故1.0=+ba。三解答题7.一盒中装有零件12个，其中

有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．0.13【解析】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3当0=

时，即第一次取得正品，试验停止，则43129)0(===P当1=时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则449119123)1(===P当2=时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则2209109112123)2(===P当2=

时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则220199101112123)2(===P∴分布列为0123P∴10322013220924491430=+++=E8.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出

4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按l

km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量．设他所收租车费为(Ⅰ)求租车费关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量的分布列为3494492201220415161718P0.1

0.50.30.1求所收租车费的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【解析】(Ⅰ)依题意得10)4(2+−=，即22+=；(Ⅱ)4.161.0183.0175.0161.015=+

++=E∵22+=∴8.3422=+=EE（元）故所收租车费的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由2238+=，得15)1518(5,18=−=所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟9.某同

学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即0X）的概

率．【解析】（1）X的可能取值为－300，－100，100，300．008.02.0)300(3==−=XP096.08.02.0)100(213==−=CXP，384.08.02.0)100(223===CXP，512.08.0)300(3===XP．所以X的概率分布为X－300－

100100300P0.0080.0960.3840.512∴180512.0300384.0100096.0)100(008.0300)(=++−+−=XE．奎屯王新敞新疆5（2）这名同学总得分不为负分的概率为89

6.0512.0384.0)300()100()0(=+==+==XPXPXP．10.设X是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求)(XE和)(XDD（X）．－101Pq21−2q【解析】由概率分布的性质，

得：−=+−+1012101)21(2122qqqq，得221−=q。∴21)223(1)12(0211)(−=−+−+−=XE，12)223()2()12()21(21)22()(222−

=−+−+−++−=XD。11．（2017年高考北京卷理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服

药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机学科网.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（

）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.)300(=XP126（只需写出结论）【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随

机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为150.350=.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.()()()21122222222444CCCC1210,1,2C

6C3C6PPP=========.所以的分布列为012P162316故的期望()1210121636E=++=.（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.B组一选择题1.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节

后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15

A.706元B．690元C．754元D．720元【答案】A节日期间预售的量：340751201054015.05003.040035.03002.0200=+++=+++=E则期望的利润：4504.35.2500)500(6.15−=−−+=，∴706

4503404.34504.3=−=−=EE7∴期望利润为706元．2.设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则)0(=XP的值为()A．1B21.C31D.51【答案】C【解析】设X的分布列为：X01Ppp2

“0=X”表示试验失败，“1=X”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为p2.由12=+pp，则31=p.3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次

试验中发生的概率p的取值范围是()A．[0.4,1)B．(0,0.6]C．(0,0.4]D．[0.6,1)【答案】A【解析】：2224314)1()1(ppCppC−−，即pp3)1(2−，∴4.0p又∵1p，∴14.0p.4..离散型随机变量X的概率

分布规律为)4,3,2,1()1()(=+==nnnanXP，其中a是常数，则)2521(XP的值为()A32B.43C.54D65【答案】D【解析】由1)541431321211(=+++a，8知154=a，解得45=a.故6545614521

)2()1()2521(=+=+=PPXP.二填空题5.某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的期望9.8=EX，则y的值为________．【答案】0.4【解析】依题得

=+++=+++9.8107.28.0713.01.0yxyx即=+=+4.51076.0yxyx由此解得4.0=y6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为_______.【答案】200【解析】种子

发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y，则），（1.01000～BY，∴1001.01000==EY，故2002==EYEX三解答题7.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为1X和2X，它们的概率分布分别为1

X0122X012P0.1a0.4P0.20.2b（1）求ba,的值；（2）计算1X和2X的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况．【解析】（1）由分布列的性质知，912.02.0,14.01.0=++=++ba，即6.0,5.0==ba。（2）3.14.025.0

11.00)(1=++=XE，4.16.022.012.00)(2=++=XE，41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10()(2221=−+−+−=XD，64.06.0)4.12(2

.0)4.11(2.0)4.10()(2221=−+−+−=XD。由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲．8.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资1X/元1200140016001800获得相应职位的概率1P0.40.30.20

.1乙单位不同职位月工资2X/元1000140018002200获得相应职位的概率2P0.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得14001.01

8002.016003.014004.01200)(1=+++=XE，400001.0)14001800(2.0)14001600(3.0)14001400(4.0)14001200()(22221=−+−+−+−=XD14001.022002.018003.

014004.0100)(2=+++=XE，1600001.0)14002200(2.0)14001800(3.0)14001400(4.0)14001000()(22222=−+−+−+−=XD因为)()(),()(2121XDXDXEXE=，所以两家单位的工资均值相等

，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．9.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的

问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中10回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回

答第i轮的问题”的事件为)3,2,1(=iAi，则52(53(54(321===），），）APAPAP，该选手被淘汰的概率125101535354525451)()()()()()()(321211321211=++

=++=++=APAPAPAPAPAPAAAAAAPP．（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为)3,2,1(=iAi，则52(53(54(321===），），）APAPAP．该选手被淘汰的概率125101525

3541)()()(1)(1321321=−=−=−=APAPAPAAAPP．（Ⅱ）的可能值为3,2,1，51)()1(1===APP，2585254)()()()2(2121=====APAPAAPP，25125354)()()()3(2121=====APAPAAPP

．的分布列为123P158251225∴2557251232582511=++=E．10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(Ⅰ)若在任意时刻至少有

一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望E.[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么50491011)(1=−=−pCP,解得51

=p(2)由题意,10001)101()0(303===CP11100027)1011()101()1(213=−==CP1000243)1011)(101()2(223=−==CP1000729)1011()101()3(3033=−==CP所

以,随机变量的概率分布列为:0123P1000110002710002431000729故随机变量X的数学期望为:102710007293100024321000271100010=+++=E.C组一选择题1.某班举行了一次“心有灵犀”的

活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜

1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()A．0.9B．0.8C．1.2D．1.1【答案】A【解析】依题意得，得分之和X的可能取值分别是0,1,2，且3.0)5.01)(4.01()0(=−−==XP，5.05.0)4.01()5.0

1(4.0)1(=−+−==XP，2.05.04.0)2(===XP，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为9.02.025.013.00=++.2.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3

次为止．设学生一次发球成功的概率为)0(pp，发球次数为X，若X的数学期望75.1EX，则p的取值范围是()12A.)127,0(B.)1,127(C)21,0(.D.)1,21(【答案】C【解析】发球次数X地分布列如下表：X12

3Pppp)1(−2)1(p−所以期望75.1)1(3)1(22−+−+=ppppEX，解得25p(舍去)或21p，又0p，则210p.3.袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3

个球．设X为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时X的值是2)．则随机变量X的数学期望EX为()A61B.31C.21D.32【答案】D【解析】依题意得

，X的所有可能取值是2,1,0，且125)0(3937===CCXP，21)1(392227===CACXP，121)2(3917===CCXP，因此3212122111250=++=EX4.设554432110,1010=xxxxx.随机变量1取值54321,,,,xxx

xx的概率均为0.2,随机变量2取值222221554433221xxxxxxxxxx+++++，，，，的概率也为0.2.若记21DD、分别为1、2的方差,则（）A．21DD.B．21DD=.C．21DD.

D．1D与2D的大小关系与4321,,,xxxx的取值有关.13【答案】A【解析】txxxxxE=++++=)(2.0543211,txxxxxxxxxxE=+++++++++=)22222(2.015544332212,]

5)(2)[(2.0])()()()()[(2.0254321252423222125242322211ttxxxxxxxxxxtxtxtxtxtxD+++++−++++=−+−+−+−+−=记515454343232121'2,'2,'2,'2,'2xxxxxxxxxxxxxxx=+=+=

+=+=+1221xxx=+,同理得]5)'''''(2)'''''[(2.025432125242322212ttxxxxxxxxxxD+++++−++++=,只要比较2524232221'''''xxxxx++++与2524232221xxxxx++++有大小,25242322212125

232222212524232221155443322125242322212152322212524232221)]()()()(2[41)]22222()(2[41])()()[(41'''''xxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++=++++++++++++++++++++=++++++=++++,所以21DD,选A.二填空题5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试

的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若121)0(==XP，则随机变量X的数学期望EX＝________.【答案】53【解析】∵31)1

(121)0(2−===pXP，∴21=p，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此121)0(==XP，31)21(32)21(32)1(22=+==XP，125)21(312)21(32)2(22=+==XP，1461)21(32)3(2===XP，因此35613125

2311=++=EX答案：6.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布2(1000,50)N,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_______

__【答案】83【解析】使用寿命超过1000小时的概率为83三个电子元件的使用寿命均服从正态分布)50,1000(2N得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为21=p超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率43)1(121=−−=pp那么该部件的使用寿命超过10

00小时的概率为8312==ppp三解答题7.在一次人才招聘会上，有CBA、、三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘CBA、、三种技工被录用的概率分别是0.8,0.5,0.2(允许受聘人员同时被多种技工录用)．(1)求该技术人员被录用的概率；(2)设

X表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积．①求X的分布列和数学期望；元件1元件2元件3元件1元件2元件315②“设函数RxXxxf+=,4)(sin3)(是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．．解：记该技术人

员被CBA、、三种技工分别录用的事件为CBA、、，则2.0)(,5.0)(,8.0)(===CPBPAP(1)该技术人员被录用的概率92.08.05.02.01)(1=−=−=CBAPP.(2)设该技术人员被录用的工种数为n，则3,2,1,0),3(=−=nnnX，所以X的所有

可能取值为0,2.①16.08.05.02.02.05.08.0)()()0(=+=+==CBAPABCPXP；84.0)0(1)2(==−==XPXP所以X的分布列为X02P0.160.84所以68.184.0216.00)

(=+=XE.②当0=X时，4sin3)(xxf=，则函数f(x)是奇函数，当2=X时，4cos3)42sin(3)(xxxf=+=，则函数f(x)是偶函数．所以所求的概率84.0)()(===EXPDP.8.设随机变量X的概率分布为X12…nP

n1n1…n1求)(XD。解法一：2112)1(1)21(11211)(+=+=+++=+++=nnnnnnnnnnXE，121]4)1()21()1()21[(11)21(1)21

2(1)211()(22222222−=++++++−+++=+−+++−++−=nnnnnnnnnnnnnnXD16解法二：由解法一可求得21)(+=nXE。又6)12)(1()21(

111211)(2222222++=+++=+++=nnnnnnnnXE，∴1214)1(6)12)(1()]([)()(2222−=+−++=−=nnnnXEXEXD。9.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年

初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为11110191，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（

2）获赔金额的分布列与期望．【解析】设kA表示第k辆车在一年内发生此种事故，3,2,1=k由题意知321AAA，，独立，且111)(101)(91)(321===APAPAP，，.（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为1131110109981)()()(1)(1321321=−=−=−AP

APAPAAAP.（Ⅱ）的所有可能值为27000,18000,9000,0.118111010998)()()()()0(321321=====APAPAPAAAPP451199024211110998111010198111010991)()()

()()()()()()()()()()9000(321321321321321321==++=++=++==APAPAPAPAPAPAPAPAPAAAPAAAPAAAPP，11031111019811110991111010191)()()()()()()(

)()()()()()18000(321321321321321321=++=++=++==APAPAPAPAPAPAPAPAPAAAPAAAPAAAPP990111110191)()()()()27000(321321=====APAPAPAAAPP.17综上知，的

分布列为090001800027000P118451111039901求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得18.27181129900990127000110318000451190001180=

+++=E（元）解法二：设k表示第k辆车一年内的获赔金额，3,2,1=k则1有分布列109000P9891故10009190001==E.同理得18.8181119000,900101900032===EE.综上有18.2718

18.8189001000321=++++=EEEE（元）.10.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率

为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ)求甲获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望18解:设kkBA,分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则21)(,31)(==kkBPAP,3,2,1=k(1)记“甲获

胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,2713271913131)21()32(31213231)()()()()()()()()()()()()(22322112111322112111=++=++=++=++=APBPAPBPAPAPB

PAPAPABABAPABAPAPCP(2)的所有可能为:3,2,1由独立性知:32213231)()()1(111=+=+==BAPAPP92)21()32(312132)()()2(22221121

1=+=+==BABAPABAPP91)21()32()()3(222211====BABAPP综上知,有分布列123P329291从而,913913922321=++=E(次)