【文档说明】福建省三明第一中学2023-2024学年高一3月月考数学试题（解析版）.docx，共(18)页，1.075 MB，由envi的店铺上传

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三明一中2023-2024学年下学期3月月考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.已知,,3i1iabab+=−+R（i为虚数单位

），则（）A.1,3ab==−B.1,3ab==C.1,3ab=−=−D.1,3ab=−=【答案】D【解析】【分析】借助复数相等求解作答【详解】,,3i1iabab+=−+R所以1,3ab=−=故选：D2.已知平面向量()()3,1,,3abx==−

，且ab⊥，则x=（）A.9−B.1C.1−D.3【答案】B【解析】【分析】由ab⊥知0ab=，再根据向量数量积的坐标运算解题即可.【详解】因为ab⊥，所以0ab=，又()()3,1,,3abx==−，所以330x−=，解得1x

=故选：B3.已知,ab是两个不共线的向量，且5,28,33ABabBCabCDab=+=−+=−，则（）A.,,ABD三点共线B.,,ABC三点共线C.,,BCD三点共线D.,,ACD三点共线【答案】A.【解析】【分析】借助向量运算与共线定理即

可得.【详解】28335BCCDababab=−++−=++，故ABBD=，则//ABBD，又因为两向量有公共点B，故,,ABD三点共线.故选：A.4.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2cosbaC=，则ABC为（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形

D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理化角为边即可得解.【详解】因为2cosbaC=，由余弦定理可得22222222abcabcbaabb+−+−==，所以2222abcb+−=，即22ac=，所以ac=，所以ABC为等腰三角形.故选：C.5.已知23ab=，a与b的夹角为π6

，则a在b上的投影向量为（）A.3bB.3b−C.3bD.3b−【答案】C【解析】【分析】根据向量的投影向量公式进行求解.【详解】由题意得，a在b上的投影向量为3cos2332bbabbbb==.故选：C6.如图，在ABC中，满足条件1,3ADDBAEEC==，若D

EBABC=+，则11+=（）A.8B.4C.2D.12【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，结合已知条件，可得1144DEBABC=+，求出11,44==，从而得出答案.【详解】因为DEDAAE=+，1,3ADDBAEEC==,所以()11112424DEBAAC

BABCBA==++−，即1144DEBABC=+，又DEBABC=+，所以11,44==，故118+=.故选：A.7.2023年入冬以来，哈尔滨冰雪旅游火爆出圈.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.

为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（,,BMD三点共线）处测得楼顶A､教堂顶C的仰角分别是45和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15，则估算索菲亚教

堂的高度CD约为（）A.50mB.54mC.58mD.60m【答案】B【解析】【分析】根据题中条件可求得AM的长度，利用正弦定理求得CM的值，继而可求解.【详解】由题意知154560CAM=+=,1

80604575AMC=−−=,所以45ACM=.RtABM中，2362AMAB==,在ACM△中，由正弦定理得sinsinAMCMACMCAM=,即sin45sin60AMCM=，所以sin60363sin45AMCM==，在RtDCM中，sin6054CDCM==（m），故选：B.8

.如图，已知圆O的半径为2，弦长2AB=，C为圆O上一动点，则ACBC的取值范围为（）A.0,4B.543,543−+C.643,643−+D.743,743−+【答案】C【解

析】【分析】取AB的中点D，连接CD、OD，根据数量积的运算律得到21ACBCDC=−，再求出OD即可求出CD的范围，从而得解.【详解】取AB的中点D，连接CD、OD，在则()()ACBCADDCBDDC=++()221ADB

DADBDDCDCDC=+++=−，又22213OD=−=，所以min23CD=−，max23CD=+，即2323CD−+，所以()min643ACBC=−，()max643ACBC=+．故ACBC的取值范围为643,643−+．故

选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.若12,ee是平面内的一个基底，则

下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（）A.1221,eeee−−B.121212,2eeee−−C.122123,64eeee−−D.1212,3eeee++【答案】ABC【解析】【分

析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.【详解】对于A，()1221eeee−=−−，两向量共线，不能作为基底，故A正确；对于B，12121222eeee−=−，两向量共线，不能作为基底，故B正确；对于C，()1221123642eeee−=−−

，两向量共线，不能作为基底，故C正确；对于D,若存在实数使得，()12123eeee+=+，则131==，无解，故两向量不共线，可以作为基底，故D错误；故选：ABC.10.已知12,zz是复数，下列说法正确的是A.2211=zzB.若120zz=，则

10z=或20z=C.1212zzzz+=+D.若12=zz，则12=zz【答案】BC【解析】【分析】设12i,izabzcd=+=+，根据复数模、乘法以及共轭复数的概念，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】设12i,izabzcd=+=+，,,,abcdR.对A：2221zab=+R，()22221i2izababab=+=−+，显然2211zz，A错误；对B：()()()12iiizzabcdacbdadbc=++=−++，若120zz=，则,acbda

dbc==−，解得0cd==或0ab==，也即10z=或20z=，故B正确；对C：()12izzacbd+=+++，()12izzacbd+=+−+；()12iiizzabcdacbd+=−+−=+−+，1212zzzz+=+，故C正确；对D：若12=zz1=，

则可取121,izz==，但12zz，故D错误.故选：BC.11.已知D为ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.若1132+=ADABAC，则16BCDABDSS=△△B.若0ABACBCABAC+=，则ABC为等边三角形C

.若DADBDBDCDCDA==，则D为ABC的垂心D.若()RsinsinABACADABBACC=+，则点D的轨迹经过ABC的重心【答案】CD【解析】【分析】对于A，设线段AC的中点为点E，在线段AB上取点F，使得13AFAB=，根据向量加法的平行四边形法

则及三角形的面积公式即可判断；对于B，由题意可得0ABBCACBCABAC+=，再根据数量积的定义即可判断；对于C，根据数量积的运算律即可判断；对于D，设BC的中点为M，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断.【详解】对于A，设线段A

C的中点为点E，在线段AB上取点F，使得13AFAB=，因为1132+=ADABAC，所以ADAFAE=+，连接,,DEDFEF，则四边形AEDF为平行四边形，故111sinsin2126AEFABCSAEAFBACABACBACS==

=，所以123AEDFAEFABCSSS==，所以1126ADEADFAEDFABCSSSS===，所以113,223ABDADFABCACDADEABCSSSSSS====，所以16BCDABCABDACDABCSSSSS=−−=，所以613112==ABCBCCDABDABSSS

S，故A错误；对于B，因为0ABACBCABAC+=，所以0ABBCACBCABAC+=，即()cosπcos0ABBCBACBCCABAC−+=，所以coscosBCBBCC=，所以coscosBC=，又(),0,πBC，所以BC=，所

以ABC为等腰三角形，故B错误；对于C，由DADBDBDC=，得()0DBDADCDBCA−==，所以BDAC⊥，由DADBDCDA=，得()0DADBDCDACB−==，所以ADBC⊥，由DBDCDCDA=，得()0D

CDBDADCAB−==，所以CDAB⊥，所以D为ABC的垂心，故C正确；对于D，设BC的中点为M，则2ABACAM+=，由正弦定理可得sinsinABACCB=，所以sinsinABBACCh==（h为ABC中BC边上的高），所以2sinsinABACABACABACAE

hhhhABBACC++=+==，所以2ADAEh=，所以//ADAE，又A为公共起点，所以,,ADE三点共线，所以点D的轨迹经过ABC的重心，故D正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：利用正弦定理得出

sinsinABBACC=是解决D选项的关键.第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量,ab为非零向量，若||||abab+=−，则=ab__________.【答案】0【解析

】【分析】把条件两边平方，根据向量的运算性质化简即可.【详解】因为||||abab+=−，所以22||||abab+=−，即222222aaabbabb−=+++，化简得0ab=，故答案为：0.13.在ABC中，3A=，3BC=，AB6=，则C=．【答案】4【解析】【详解】

分析：直接利用正弦定理求∠C.详解：由正弦定理得63323,3sin2,sin,.sin2244sin3CCCC====或因为AB＜BC，所以∠C＜∠A=3,所以4C=.故答案为4.点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)解

三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.14.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点()11,0A−，()20,2A−，()33,0A，()40,4A，()55,0A−，()60,

6A−，()77,0A，()80,8A，并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论：①对于任意正整数n，44nnAA+=；②存在正整数n，1nnAA+为整数﹔③存在正整数n，三角形12nnnAAA++的面积为2023；④对于任意正整数n，三角形12n

nnAAA++为锐角三角形．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②④【解析】【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，由12112nnnnnnnAAAOAAOAASSS+++++=+△△△判断③；利用余弦定理证明从而判断④.【详解】依题意可得对于任意正整数n，()

444nnAAnn+=−+=，故①正确；当3n=时，2324345ZAA=+=，故②正确；121121121122nnnnnnnAAAOAAOAAnnnnSSSOAOAOAOA++++++++=+=+△△△21(1)(1)(2)1(1)22nnnnn=++++=+

，因为2(1)n+不可能等于2023，故③错误；2221(1)221nnAAnnnn+=++=++，22212(1)(2)265nnAAnnnn++=+++=++，22222484nnAAnnnnn+=++=+=++，因为1122nnnnn

nAAAAAA++++，所以在三角形21nnnAAA++中，21nnnAAA++为最大角，()2222122221265484cos2221265nnnnnnnnnAAAnnnn+++++++−++=++++22202221265nnnn=++++，则21nnnA

AA++为锐角，即三角形12nnnAAA++为锐角三角形，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据阿基米德螺线的规律，结合两点间的距离公式，面积公式，余弦定理等探究求解即可.四､解答题：本题共5

小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数121211113i,12i,zzzzz=−+=+=+.（1）求z；（2）在复平面内，复数12,zz对应的向量分别是,OAOB，其中O是原点，求AOB的大小.【答案】（1

）17i55z=+（2）π4AOB=【解析】【分析】（1）计算出121217i55zzzzz==++；（2）得到()()1,3,1,2OAOB=−=，利用向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由已知得()()1213i12i5izz+=−+++=，()()()(

)1213i12i1632i7izz=−++=−−+−=−+，又121212111,zzzzzzz+=+=所以()()()12127ii7i17i5i5ii55zzzzz−+−−+====++−【小问2详解】依题意向量()()1,3,1,2OAOB

=−=，于是有11325OAOB=−+=，22(1)310OA=−+=，22125OB=+=，因为AOB为OA与OB的夹角，所以52cos2105OAOBAOBOAOB===，因为0,πAOB，所以π4AOB=16.设,ab是不共线的

单位向量，且a与b的夹角的余弦值为13.（1）求()()2,ababab+−+；（2）若kab+与3ab+rr的夹角为锐角，求实数k的取值范围.【答案】（1）()()223abab+−=−，263ab+=（2）511,,333−+

【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律以及模长公式即可求解，（2）根据数量积以及向量共线即可求解.【小问1详解】因为1||||1,cos,3abab===，所以1,3ab=所以()()2212221233ababaabb+−=+−=+−=−，222226()2113

3ababaabb+=+=++=++=【小问2详解】因为kab+与3ab+rr的夹角为锐角，所以()()30kabab++且kab+与3ab+rr不共线，当kab+与3ab+rr共线时，设()3kabab+=+，即3kabab+=+，因为a与b不共线，所以13k=

=，解得13k=，因此当kab+与3ab+rr不共线时，13k，由()()30kabab++，得()223130kakabb+++，即()131303kk+++，解得53k−，所以53k−且13k，即实数k的取

值范围为511,,333−+17.已知四边形ABCD的外接圆面积为7π3，且7,2,BDCDBAD==为钝角，（1）求BCD和BC；（2）若21sin7ABD=，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）π3BCD=，3BC=（2）

23【解析】【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到3sin2C=，求出π3C=，再利用余弦定理求出3BC=；（2）求出332BCDS=，并利用正弦定理和余弦定理求出2AD=，1

AB=，利用三角形面积公式求出ABDS，相加后得到答案.【小问1详解】四边形ABCD的外接圆面积为7π3,即BCD△的外接圆面积为7π3，设BCD△的外接圆半径为R，则27ππ3R=，解得213R=，在BCD△中，2212sin3BDRC==，即7221sin3C=，故

3sin2C=，因为BAD为钝角，所以BCD为锐角，故π3C=，由余弦定理得222cos2BCCDBDCBCCD+−=，即2π47cos322BCBC+−=，故232BCBC−=，解得3BC=，负值舍

去，【小问2详解】11π33sin32sin2232BCDSBCCDC===，因为πAC+=，所以2π3A=，ABD△中，由正弦定理得sinsinADBDABDA=，又21sin7ABD=，故721372

AD=，解得2AD=，在ABD△中，由余弦定理得222cos2ABADBDAABAD+−=，即247142ABAB+−=−，解得1AB=，故112π3sin12sin2232ABDSABADA===，在四边形ABCD的面积为3332322BCDABDSS+=+=.

18.如图，在ABC中，4,3,90ABACBAC===o，点D在线段BC上（异于,BC两点），延长AD到P，使得9AP=，设(),APmABnACmn=+R（1）若185CD=，求mn+的值；（2）求mn+的取值范围.【答案】（1）3（2）915,44

【解析】【分析】（1）在ACD中，由余弦定理可求得3AD=，根据题意可知13ADAP=，在根据向量的加减运算求出54212525APABAC=+，从而得出mn，的值，然后求解即可.（2）设mn+=，由题意得11

mmAPABAC=+−，设1APAN=，即可得点,,BNC三点共线，因为点D是直角ABC斜边BC上异于,BC点，所以当ADBC⊥时，AD取最小值；当D点与B点重合时，AD取最大值，再由APAD=求解即可.【小问1详解】在ABC中，4,3,90ABACBAC===o，所以

22345BC=+=，3cos5C=，又在ACD中，185CD=，由余弦定理，得22222181832cos3239555ADACCDACCDC=+−=+−=，所以3AD=，又9AP=，所以13ADAP

=，又18185255CDCB==，所以1825CDCB=，的因为CDADAC=−，CBABAC=−，所以()1825ADACABAC−=−，整理得1872525ADABAC=+，即118732525APABAC=+，所以5421252

5APABAC=+，所以5421,2525mn==，所以542132525mn+=+=.小问2详解】设mn+=，则1mn+=，所以1nm=−，11mnmmAPABACABAC=+=+−，设1APAN=，

则1mmANABAC=+−，故()mANACABAC−=−，即mCNCB=，所以点,,BNC三点共线，又1APAN=，所以点,,ANP三点共线，所以点N与点D重合，因此1ADAP

=，故APAD=，因为点D是直角ABC斜边BC上异于,BC的点，所以，当ADBC⊥时，AD取最小值为125ACADBC=，当D点与B点重合时，AD取最大值为4，故1245AD，又9AP=，所以91544APAD，即9154

4，所以mn+的取值范围为915,44.19.利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对()12,zz（其中12,Czz）视为一个向量，记作()12,zz

=，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量()()12341234,,,,zzzzzzzzC==､､､､，我们有如下运算法则：①()1324,;zzzz=【②()12,zz=；③132

4;zzzz=+④=（1）设()()1i,i,3,4=−=，i为虚数单位，求+，rr，；（2）设､是两个复向量，①已知对于任意两个平面向量()()1122,,,axybxy==，（其中1212,,,Rxxyy），

abab成立，证明：对于复向量,，||||||也成立；②当||||||=时，称复向量与平行.若复向量()1i,12i=+−与()i,z=平行（其中i为虚数单位，zC），求复数z.【答案】（1）()4i,4i+=−+，3i=−rr，5;=（

2）①证明见解析；②31zi22=−【解析】【分析】（1）根据①()1324,;zzzz=③1324;zzzz=+④=即可解题；（2）①设()()1234,,,zzzz==，由abab，得出222212121

122xxyyxyxy+++，结合复数的三角不等式得即可证明；②由①中复数的三角不等式等号成立的条件知，当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k，使得2413zzkzz=，即1342,kzzzz=再由复向量()1i,12i=+−与()i,z

=平行时，||||||=，然后根据222213241234zzzzzzzz+++中等号成立的条件，求解即可.【小问1详解】因为()()1i,i,3,4=−=，所以()4i,4i+=−+，()()31i4i3i;=

++−=−33445;==+=【小问2详解】①设()()1234,,,zzzz==，则1324zzzz=+，由复数的三角不等式得132413241324zzzzzzzzzzzz++=+，由abab，得1212222211221x

xyyxyxy+++，所以222212121122xxyyxyxy+++，所以22221324123411223344zzzzzzzzzzzzzzzz+++=++=，综上所知，对于复向量,，||||||成立.②由①中

复数的三角不等式等号成立的条件知，当复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k，使得2413zzkzz=，即1342,kzzzz=故复向量()1i,12i=+−与()i,z=平行，有

()()1ii31zi12i55kk+−==+−，根据222213241234zzzzzzzz+++中等号成立的条件，应有1423zzzz=，即2341zzzz=，所以12ii101i2z−−==+，结合31i55zk=+，得22

3110552k+=，解得52k=；所以53131ii25522z=+=+，所以31zi22=−.