【文档说明】专题11 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练（解析版）-2022-2023学年七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）.docx，共(60)页，2.894 MB，由envi的店铺上传

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专题11与角相关的旋转（翻折）问题专项讲练与角有关的旋转（翻折）问题属于北师大版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难

度大。本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。【与角相关的旋转问题】【解题技巧】1、角度旋转问题解题步骤：①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度：1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2）角度

一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角③列——根据题意列方程求解。注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。常见的三角板

旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。总之不管这个角如何旋转，它

的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。【重要题型】题型1：求值问题例1．（2022·江

苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ=；②当α=80°时，如图2，求∠P

OQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ=，（请用含m、n的代数式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）12m°+12n°或180°-1

2m°-12n°【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=12∠AOB=30°，∠BOQ=12∠COD=20°，∴∠POQ

=50°，故答案为：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=12∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60

°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；③解：补全图形如图3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=12∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠

BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）当∠AOB=m

°，∠COD=n°时，如图2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=12(m°+°)，同理可求∠DOQ=12(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=12(n°+°)-n°=12(-n°+°)，∴

∠POQ=∠POC-∠COQ=12(m°+°)-12(-n°+°)=12m°+12n°，当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，∵OP平分∠AO

C，∴∠POC=12∠AOC=180°12−(m°+°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=12(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=12(n°+°)-n°=12(-n°+°)，∴∠POQ=

∠POC+∠COQ=180°12−(m°+°)+12(-n°+°)=180°-12m°-12n°，综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=12m°+12n°或180°-12m°-12n°．故答案为：12m°+12n°或180°-12m°-12n°．【点睛】本题考查

了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的

位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣

∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AO

D＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；（3）

设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线O

E、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠

AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案为：150°、30°；（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴

∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，①0＜n

°≤150°时，如图4，射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；②150°＜n°≤

180°时，如图5，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，∵∠𝐵𝑂𝐹=12(𝑛−150)°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；③180°＜n°≤33

0°时，如图6，射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，∵∠𝐷𝑂𝐹=12(𝑛−150)°，∠𝐶𝑂𝐸=12(360−𝑛)°，∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；④330°＜n°≤360°时，如图7，射线OE、OF在射线OB

同侧，在直线MN异侧，∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣n）°，∠𝐶𝑂𝐸=12(360−𝑛)°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；综上，∠EOF＝15°或165°．变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC

，30AOC=，将一直角三角板（30M=）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（注：本题旋转角度最多180．）（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t秒后，AON=______度（

用含t的式子表示），若OM恰好平分BOC，则t=______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t秒后，AO

C=______度（用含t的式子表示）若OC平分MON，求t为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC平分BOM？（直接写结果）【答案】（1）3t，5；（2）306t+，5；（3）经过703秒OC平分BOM

【解析】（1）3AONt=，∵30AOC=，∴150BOC=∵OM平分BOC，90MON=，∴75COM=°，∴15CON=∴301515AONAOCCON=−=−=°°°，解得：1535t==°°秒（2）()306AOCt=+度∵90MON=，OC平分M

ON，∴45CONCOM==°∴45AOCAONCON−==°，∴306345tt+−=解得：5t=秒（3）如图：∵90AONBOM+=°，BOCCOM=由题可设AON为3t，AOC为()306t+°，∴()19032COMBOCt==−°∵18

0BOCAOC+=，()()13069031802tt++−=，解得：703t=秒答：经过703秒OC平分BOM．题型2：定值问题（角度不变问题）例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且

∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）（1）图中一定有

个直角；当t＝2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；（3）当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMON+是定值时，求t

的取值范围，并求出这个定值．【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMON+是定值时，t的取值范围为103＜t＜6，这个定值是3【分析】(1)由直线AB，C

D相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣9

0°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜103时7COM2BON

MON+不是定值，当103＜t＜6时，7COM2BONMON+=3是定值.【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中

一定有4个直角；当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°；（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，∴∠COE＝12∠COM＝12（15t﹣90°），∠DOF＝12∠DON＝12×12t，∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，∴12（15t﹣90°）＝12×12t，

解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝103，当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，①如图所示，当

0＜t＜103时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴7COM2BONMON+＝9015)2(9012)81015901227079(tttttt+++++=﹣﹣81，（不是定值）②如图

所示，当103＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，∴7COM2BONMON+＝9015)2(90

12)8102707(2727027ttttt++=﹣﹣81﹣﹣=3，（是定值）综上所述，当射线OM在∠COB内部，且7COM2BONMON+是定值时，t的取值范围为103＜t＜6，这个定值是3．【点睛】此题考察图形中的

运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜103时7COM2BONMON+不是定值，当103＜t＜6时，7COM2BONMON+=3是定值.变式1．（2022•渝中区七年级期中

）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝°；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠CO

D立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．

设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时

间）；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C

′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围．【解答过程】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，

∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．（2）如图①：①逆时针旋转时：当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4

t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4𝑡)=50°﹣2t，∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠𝐵𝑂𝑁′，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），解得：

t＝5（s）．当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．顺时针旋转时：如图②，同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．当C′在B上方时，即OC′与OB重合，由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠A

OC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（s）．∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t−803）（s）．∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t−803）+60°＝6t﹣10

0°．∴∠BON′=12∠𝐵𝑂𝐷′=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠𝐵𝑂𝑁′，∴6（t−803）=12（3t﹣50°），解得：t＝30（s）综上所述t的值为5或30．②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③根据①可知，∠BOC′

＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠𝐴𝑂𝐷′=12∠(140°−4𝑡)=70°﹣2t，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+

∠BON′＝70°﹣2t，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段时间0≤t≤10s；如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t2，同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠𝑀𝑂

𝑁′=12∠𝐵𝑂𝑁′=30−2𝑡2，∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠𝐴𝑂𝑃=12∠𝐴𝑂𝐷′=50°−2𝑡2，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，

∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此时：10＜t≤20；顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，设经过OB后运动时间为t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠𝐵𝑂𝑁′=12∠𝐵𝑂𝐷

′=10°+3𝑡1，∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°

，此时：20＜t≤803；当C′在B上方时，如图⑥，设经过OB后运动时间为t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠𝐵𝑂𝑁′=50°+3t3，∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠

BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此时：803＜t≤50．综上所述：存在且定值为40

°，0≤t≤50．变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中

的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转

一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为10或40．（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．【解题思路】

（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、

∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∴∠MOC＝∠MO

B=12∠BOC＝60°，又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD=12∠AOC，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC，故答案为：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD

＝30°．即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．由题意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案为：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON

．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）例3．（2022·四川·成都市七年级期末）

如图所示：点P是直线AB上一点，∠CPD是直角，PE平分∠BPC．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC=，直接写出∠DPE的度数（用含的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE

的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）20°；（2）2；（3）12DPEAPC=，理由见解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据DPEBPEBPD=−即可求解；（2）解

法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据DPEDPBBPE=+即可解决．【详解】（1）∵90CPD=，40A

PC=，∴18040140BPC=−=，180409050BPD=−−=，又∵PE平分BPC，∴111407022BPEBPC===，∴705020DPEBPEBPD=−=−=

．（2）∵90CPD=，APC=，∴180BPC=−，1809090BPD=−−=−，又∵PE平分BPC，∴118022BPEBPC−==，∴()1809022DPEBPEBPD−=−=−−=

．（3）结论：12DPEAPC=．理由如下：设APC=，则180BPC=−，∵90CPD=，∴9090BPDBPC=−=−，又∵PE平分BPC，∴19022BPEBPC==−，∴909022DPEDPBBPE=+=−

+−=，∴12DPEAPC=．【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE等

于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），

如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解

析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求

出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=1

30°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DC

E=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC

+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【点睛】本题考查了角的运算，理解

角的和差运算是解题的关键．变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N

在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数

量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；（2）求出∠BOC＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM求出即可；（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON

，然后列出方程整理即可得解．【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠AOC＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，故答案为：30°；（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，∵OM平分∠BOC，

∴∠COM＝∠BOM＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠N

OC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．题型4：分类讨论问题例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板OAB和直角三角

板OCD）如图1所示放置，两个顶点重合于点O，OC与OB重合，且60AOB=，30A=，45OCDODC==，90CODABO==．将三角板OCD绕着点O逆时针旋转一周，旋转过程中，OE平分BOC，OF平分AOD，（AOD和BOC均是指小于180°的角）探究EOF

的度数．（1）当三角板OCD绕点O旋转至如图2的位置时，OB与OD重合，AOC=______°，EOF=______°．（2）三角板OCD绕点O旋转过程中，EOF的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓

展：当COD的度数为()0180时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出EOF的度数．（用含的式子来表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）1302EOF=+或11502−【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可；（2）利

用分类思想，确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．【详解】（1）如图，由OB与OD重合，∵60AOB=，90CODBOC==，∴6090150AOCAOBBOC=+=+=．又∵OE平分BOC，OF平分AOD，∴1452BOEBOC=

=，1302DOFAOD==，∴453075EOFBOEEOF=+=+=．故答案为：150°；75°；（2）如图，∵OE平分BOC，OF平分AOD，∴12BOEBOC=()12AOCAOB=+()1602

AOC=+1302AOC=+()13602CODAOD=−−+30°()1360902AOC=−−+30°()12702AOD=−+30°11652AOD=−．∴EOFBOEAOFAOB=+−，∴111656010522EOFAODA

OD=+−−=．（3）如图，∵OE平分BOC，OF平分AOD，∴12BOEBOC=()12AOCAOB=+()1602AOC=+1302AOC=+，()1111++2222AOFAODCODAOCAOC===，∴EOFAOFAOBBOE=+−=1

1+22AOC+60°-1-302AOC=1302+；如图，∵OE平分BOC，OF平分AOD，∴12BOEBOC=()12AOCAOB=+()1602AOC=+1302AOC=+，()()1111136036018022222AOF

AODCODAOCAOCAOC==−−=−−=−−∴EOFBOEAOFAOB=+−111130180601502222AOCAOC=++−−−=−．综上所述，1302EOF=+或11502−．【点睛】本题考查了两

个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，AOB=，BOC=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2

），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①当40=，70=时，COM=______，CON=______，MON=______；②MON=______（用含有或的代数式表示）．(2)

如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为____

__；（∠MON的度数用含有或的代数式表示）(3)如图（4），当40=，70=时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟

时，∠MON的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2；(2)12，11802−；(3)48分钟时，∠MON的度数是40°【解析】(1)①OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，当40=，70=时

，COM=113522BOC==，CON=()111()55222AOCAOBBOC=+=+=，MON=()11120222CONCOM−=+−==②MON()111222CONCOM=−=+−=，故答案为：135,55,20,2(2)

①OM平分∠POB，ON平分∠POA，()12MONPOBPOA=+1122AOB==②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，()12MONBOQQOA=+()1136018022AOB=−=−故答案为：12，11802

−(3)根据题意POQBOC==OM平分∠POQ，113522POMPOQ===如图，当OP在AOB的外部时，MON的度数是40°MONPONPOM=+5PON=ON平分∠POA，210POAPON

==，120POC=，则OP旋转了360120240−=240548=分，即48分钟时，∠MON的度数是40°如图，OP在AOB的内部时，MONPOMPON=−即4035PON=−5PON=−此情况不存在，综上所述，48分

钟时，∠MON的度数是40°变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若12CODAO

B??，则COD是ACB的内半角．（1）如图1，已知80AOB=，25AOC=，COD是AOB的内半角，则BOD=________；（2）如图2，已知68AOB=，将AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度()060得COD，当旋转的角度为何值时，COB是A

OD的内半角；（3）已知30AOB=，把一块含有30角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明

理由．【答案】（1）15；（2）683；（3）能，10s3或30s或110s或350s3．【分析】（1）根据内半角的定义解答即可；（2）根据内半角的定义解答即可；（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t，根

据内半角的定义列方程即可得到结论．【详解】（1）∵COD是AOB的内半角，80AOB=，∴1402CODAOB==，∵25AOC=，∴80402515BOD=−−=，故答案为：15．（2）∵AOCBOD==，∴68AOD=+，∵COB是AOD

的内半角，∴()168682BOC=+=−，∴683=，∴旋转的角度为683时，COB是AOD的内半角．（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t，如图1，∵BOC是AOD的内半角，AOCBOD==，∴30AO

D=+，∴()130302+=−，解得：10=，∴10s3t=；如图2，∵BOC是AOD的内半角，AOCBOD==，∴30AOD=+，∴()130302+=−，∴90

=，∴9030s3t==；如图3，∵AOD是BOC的内半角，360AOCBOD==−，∴36030BOC=+−，∴()136030360302+−=−−，∴330=，∴330110s3t==；如图4，∵AOD是BOC的内

半角，360AOCBOD==−，∴36030BOC=+−，∴()()1360303030360302+−=+−+−，解得：350=，∴350s3t=，综上所述，当旋转的时间为10s3或30s或110s或350s3时，射线O

A，OB，OC，OD能构成内半角．【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．【折叠（翻折）问题】【解题技巧】折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设x列方程。在旋转问题中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活

运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射

线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解的可能。例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将BEF对折，点B落在直线EF上的

点'B处，得折痕EM；将AEF对折，点A落在直线EF上的点'A处，得折痕EN．则NEM的度数为（）A．105B．90C．60D．不能确定【答案】B【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，从而可得∠NEM＝12∠AEB，进而求解．【详解】解：由翻折

可得∠FEN＝∠AEN＝12∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝12∠BEF，∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝12（∠AEF＋∠BEF）＝12×180°＝90°．故选：B．【点睛】本题考查角的计算，解题关键通过翻折得到角相等．变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张

长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B、D¢，若8BAD=，则EAF的度数为（）A．40.5°B．41°C．41.5°D．42°【答案】B【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出49EABFAD+=

．再根据EAFEABFADBAD=+−，即可求出答案．【详解】由长方形的性质可知：90BAEEADBADBAFDAF++++=．∴90BAEEADBADBAFBADDAFBAD+++

++=+，即98BAEEABFADDAF+++=．由折叠的性质可知BAEEABFADDAF==，，∴49EABFAD+=．∵EAFEABFADBAD=+−，∴49841EAF=−=．故选B．【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的

性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝．（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'

，连接OA'．①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．【答案】（1

）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出

∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB，∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝1

2∠AOB＝12×58°＝29°，故答案为：29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，∵点B

'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴

∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找

出角之间的关系是解本题的关键．变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B

落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆

时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）90；（2）75EFI=；（3）2−．【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根

据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令EFGx=，HFIy=，推导出x与y的和即可求得答案；（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，

根据PFQGFIGFPQFI=−−，即可得到答案.【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+

∠IFH=90°；（2）令EFGx=，HFIy=∵HFG=30°∴EFA=30°+x，BFI=30+y，∴(30)(30)(30)AFEEFIBFIxxyy++=++++++=180°，即22xy+=90°，∴xy+=45°，∴30EFIxy=++=7

5°；（3）AFEEFH==,BFIGFI==，∴22GFH=+−180°，∴GFPQFP==+−90°，又∵180()2EFQIFQ−+==o，PFQGFIGFPQFI=−−180()(90)2−+=−+−−oo2−=.【点

睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.课后专项训练1．（2022·四川成都市·成都实外）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E

处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°【答案】D【分析】根据折叠求出∠CFG＝∠EFG＝12∠CFE，根据∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠

HFE的度数．【详解】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，使点C落在长方形内部点E处，∴∠CFG＝∠EFG＝12∠CFE，∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFE＝120°，∴∠GFE

＝60°，∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，∴∠EFH＝＝40°，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．故选：D．【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角度的倍数关系，主要考查学生的推理和计算能力．2．

（2022·成都市初一月考）如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°【答案】B【解析】根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′B

C+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故选B．【点睛】由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′B

C+∠E′BD=90°，则可求∠CBD的度数．此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．3．（2022·重庆七年级期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿D

F折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（）A．18°B．20°C．36°D．45°解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG＝∠GDF，∴∠EDF＝∠BDG，∴∠BDE

＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．故选：C．4．（2022·黑龙江·七年级期末）

请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：（1）2的度数为__________；（2）1与3有何数量关系：______；（3）1与AEC有何数量关系：__________；【答案】（1

）90°；（2）1390+=；（3）1180AEC+=.【分析】（1）由图中第三个图形可知，折叠后∠1+∠3=∠2，再根据B、E、C三点共线可求得结论；（2）根据（1）可知∠1+∠3=∠2=90°，两角之和为90°，两角互

余；（3）由B、E、C三点共线可得出结论．【详解】解：（1）根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三点共线∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．（2）∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90

°．（3）∵B、E、C三点共线，∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．【点睛】本题考查的角的计算以及折叠问题，解题的关键是依据折叠的特性找到∠1、∠2、∠3之间的关系．5．（2022·广东南山区·蛇口育才二中七年级期中

）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，30AOC=,将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合

？（2）如图2，经过秒后，MN∥AB；（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？请并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB？请说明理由．【答案】（1）10秒；（2）20；（3）20秒，详情见解析；（4

）703秒，详情见解析【分析】（1）直接用AOC的度数除以运动速度即可得出时间；（2）利用平行的性质得到BOM的度数，利用角的等量代换求出AON度数即可求解；（3）运用含t的式子分别表示出AOC和BOC，再根据领补角的性质建立方程运算求解即可；（4）利用角

的等量代换建立方程求解即可．【详解】（1）∵30310=∴10秒后ON与OC重合；（2）∵//MNAB∴30BOMM==∠∠∵90NOM=∴90AONBOM+=°∴60AON=∴60320t=

=∴经过20秒后，//MNAB（3）当OC与OM重合时，如图3所示：∵90AONBOM+=°，BOCBOM=∠∠∵三角板在以每秒3转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6的速度旋转，设3AONt=,则30

6AOCt=+∠∵180AOCBOC+=∴(306)(903)180tt++−=解得：20t=∴经过20秒后OC与OM重合（4）当OC平分∠MOB时，如图4所示：∵90AONBOM+=°，BOCCOM=∴3AONt=,则306AOCt=+∠∵90A

ONBOM+=°∴11(903)22BOCCOMBOMt===−∠∠∠∴1(306)(903)1802tt++−=解得：703t=∴经过703t=秒后OC平分∠MOB【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质，认真

审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．6．（2022•镇海区七年级期中）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠A

OB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线是这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB

＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为15°或22.5°或30°；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜

t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．【解题思路】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．【解答过程】解：（1

）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③设∠AOC＝x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x＝

45°，解得x＝30°，故答案为：15°或22.5°或30°；（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，若OA是射线OM与ON的幸运线，则∠AON=12∠𝑀𝑂𝑁，即60﹣15t=12（60+5t），解得t=127；∠AON=13∠MON，即60﹣15

t=13（60+5t），解得t=125；∠AON=23∠MON，即60﹣15t=23（60+5t），解得t=1211；当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，若ON是射线OM与OA的幸运线，则∠AON=12∠MOA即15t﹣60=12×20t，解得t＝12（舍）；∠AON=13∠

MOA，即15t﹣60=13×20t，解得t=365；∠AON=23∠MOA，即15t﹣60=23×20t，解得t＝36（舍）；故t的值是127或125或1211或365．7．（2022•香坊区七年级期中）如图，点O为直线

AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；（3

）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数

【解题思路】（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，则∠AON＝90°+α，由补角的定义可求得∠MOB＝＝2∠NOB，即可证明结论；（2）分两种情况：若射线OM在∠AOQ内时，若射线OM在∠BOQ内时，由角平分线的定义求解∠MOQ，

结合∠CON＝2∠MOQ可得关于α的等式，计算可求解；（3）由（1）（2）结论可得∠MOP＝45°−12α，可分两种情况：情况1：射线OM在∠AOQ内，情况2：射线OM在∠BOQ内，分别计算可求解．【解答过程】解：（1）

设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，∵∠AOB＝180°，∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，∠MOB＝∠AOB﹣∠

AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠MOB＝2∠NOB，∴ON平分∠MOB；（2）若射线OM在∠AOQ内时，∵OQ平分∠AON，∴∠AOQ=12∠AON=12（90°+α）＝45°+12α，∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+12α﹣2

α＝45°−32α，∵∠CON＝2∠MOQ，∴α＝2（45°−32α），∴α＝22.5°，即∠CON＝22.5°，若射线OM在∠BOQ内时，∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=32α﹣45°，∵∠CON＝2∠

MOQ，∴α＝2（32α﹣45°），∴α＝45°，即∠CON＝45°，故∠CON的度数为22.5°或45°；（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+12α，∠MOQ＝45°−32α；∠NOB＝90°﹣α＝2（45°−12α），∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α

﹣2α＝90°﹣α，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=12∠MON=12（90°﹣α）＝45°−12α，情况1：射线OM在∠AOQ内，∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°−12α﹣30°＝15°−12α，∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+12α）＝4

5°−12α，∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°−32α）：（15°−12α）＝3（15°−12α）：（15°−12α）＝3，n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°−12α）＝2（45°−12α）：（45°−12α）＝2，∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90

°﹣（3+2）°＝85°，∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，∵∠BOT+∠MOQ＝110°，∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，∴45°−32α＝15°，解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，情况2：射线OM在∠BOQ内，∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝

30°﹣（45°−12α）=12α﹣15°，∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+12α）=32α﹣45°＝3（12α﹣15°），∴m＝∠MOQ：∠POD＝（32α﹣45°）：（12α﹣15°）＝3（12α﹣15

°）：（12α﹣15°）＝3，由情况1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°−12α）＝2，∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，∴32α﹣45°＝15°，解得∠α＝40°，∴∠AOM＝2α＝80°．故∠AOM

的度数为40°或80°．8．（2022·重庆八中七年级期末）一副三角板按如图1所示放置，边,OAOC在直线MN上，60,45==AOBCOD．(1)求图1中BOD的度数；(2)如图2，将三角板AOB绕点O顺时针旋转，转

速为5/s，同时将三角板COD绕点O逆时针旋转，转速为10/s，当OA旋转到射线ON上时，两三角板都停止转动．设转动时间为st．①在05t范围内，当OBOC⊥时，求t的值；②如图3，旋转过程中，作BOD的角平分线OE，当15AOE=时．直接写出时间t的值

．【答案】(1)75(2)①2s；②11t=s或15s或35s．【分析】（1）利用角的和差关系可得180,BODAOBCOD????从而可得答案；（2）①先求解,OBOD重合的时间，再画出图形，结合几何图

形与角的和差关系列方程，再解方程即可；②分情况讨论：当05t时，结合①可得15,AOE??当59t时，15,AOE??当912t时，利用角的和差关系列方程()115151351575,2tt+-=-解方程即可，当1213.5t<?时，如图，当13.518,t<<利用角

的和差关系列方程()115135151575,2tt--=-再解方程即可，当1829t?时，15,AOE??当2936t＃时，利用角的和差关系列方程()11549515154352tt-+=-，再解方程即可，从而可得答案.(1)解：60,45==AOBCOD，180,AO

C??18075.BODAOBCOD\?????(2)解：①75,BOD??Q则,OBOD重合时的时间为：75=55+15（s），当05t时，5,10,AOMtCONt??,OBOC^Q150,AOCAOBBOC\????5101

80150,tt\+=-解得：2,t=所以当旋转2s时，.OBOC^②当OA旋转到射线ON上时，180365t==（s），当05t时，结合①可得15,AOE??当,OBOC重合时，1208510t==

+（s），,OAOD重合时，1359510t==+（s），如图，所以当59t时，15,AOE??当,OCOA重合时，18012510t==+（s），如图，当912t时，5,10,18015,MOAtCONtAOCt\?

???180451013510,1806051205,MODttBONtt???=????=?1801575,BODMODBONt\????-?15135,AODAOMDOMt???-?OE平分,15,BODAOE行=?1

,2AOEAODBOD\???()115151351575,2tt\+-=-解得：11,t=当,ODOM重合时，13513.510t==（s），当1213.5t<?时，如图，5,10,15180,MOAtCONtAOCt\

???-?180451013510,1806051205,MODttBONtt???=????=?1801575,BODMODBONt\????-?15135,AODAOMDOMt???-?OE平分,15,BODAOE行=?1,2AODA

OEBOD\???()115135151575,2tt\--=-解得：15,t=不符合题意，舍去，当,OCOM重合时，1801810t==（s），当13.518,t<<5,10,15180,MOAtCONtAOCt\???-?45+10180101

35,1806051205,MODttBONtt???-靶=??=?180+1575,BODMODBONt\?靶-?-?+15135,AODAOMDOMt?行=-?OE平分,15,BODAOE行=?1,2AODAOEBOD\???()1151

35151575,2tt\--=-解得：15,t=如图，当,ODOB再次重合时，360+752915t==（s），当1829t?时，15,AOE??如图，当,OAON重合时，36t=（s）当2936t＃时，5,1805,36010,54015,MOAtAONtC

ONtAOCAONCONt\?????????1013518010315,5120,NODttBONt?-??-靶=-?+15435,BODDONBONt\?行=-?15495,AODDONAONt???-?OE平分,15,BODAOE行=?1,2AODAOEBOD\??

?()11549515154352tt\-+=-解得：35t=综上：当15AOE=时，11t=s或15s或35s．【点睛】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一

元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键.9．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使30BOC=，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即90DOE=

．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则COD=______；(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，①若OE恰好平分AOC，则COD=______；②若OD在BOC内部，请直接写出BO

D与COE的数量关系为______；(3)将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有15CODAOE=，求此时BOD的度数．【答案】(1)60(2)①15；②60COEBOD−=(3)15或40【

分析】（1）先求出90DOB=，再根据CODDOBBOC=−即可得；（2）①先求出150AOC=，再根据角平分线的定义可得1752COEAOC==，然后根据DOECOCOED−=即可得；②根据CODBOCBOD=−和DOECOCOE

D−=即可得；（3）分①COD在BOC的内部和②COD在BOC的外部两种情况，根据角的和差分别求出COD和AOE，再根据15CODAOE=建立方程，解方程即可得．（1）解：90DOE=

，90DOB=，30BOC=，903060DOBBOCODC==−=−，故答案为：60．（2）解：①30BOC=，180150AOCBOC=−=，OE恰好平分AOC，7512AOOECC==，又90DOE=，1

5DOECOODEC=−=，故答案为：15；②OD在BOC内部，30CODBOCBODBOD==−−，90DOE=，90COECOD+=，即90CODCOE=−，3090BODCOE−=−

，即60COEBOD−=，故答案为：60COEBOD−=．（3）解：①如图，当COD在BOC的内部时，30CODBOCBODBOD==−−，∵180,90AOEDOEBODDOE++==，∴90AOEBOD=−，又∵15CODAOE=，∴(

)153090BODBOD−=−，解得15BOD=；②如图，当COD在BOC的外部时，∴30CODBODBOCBOD=−=−，∵180,90AOEDOEBODDOE++==，∴90AOEBOD=−，又∵15CODAOE=，∴()130905

BODBOD−=−，解得40BOD=；综上，BOD的度数为15或40．【点睛】本题考查了角的和差、角平分线等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．10．（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板ABC、ADE按如图1放置，

点A、C、D在同一直线上，（30EAD=°、45BAC=），并将三角板ABC绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持030CAD．(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则BAD=____；(2)在旋转过程中，

如图3，当30BAE=时．请说明AC平分DAE；(3)在旋转过程中，如图4，当4BAECAD=时，求此时CAE的度数．【答案】(1)75(2)见解析(3)25CAE=【分析】（1）根据BADEADBAC=+计算；（2）计算EAC的

度数，得到12CAEDAE=，得出结论；（3）设CADx=，表示出BAE，根据4BAECAD=，求出x，得出答案；(1)解：点,,ACE在同一直线上，30,45EADBAC==，304575BADEADBAC=+=+=，故答案为：75；(2)

如图3，，∵45BAC=，30BAE=，∴453015CAEBACBAE=−=−=，∵30DAE=，15CAE=，∴12CAEDAE=，∴AC平分DAE；(3)如图4，，设CADx=，则30EACx=−，∵45BAC

=，∴()453015BAEBACEACxx=−=−−=+，∵4BAECAD=，∴154xx+=，解得5x=，∴25EACDAECAD=−=．【点睛】本题考查角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键是结合图形准确表示角的和差．

11．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一

下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．【A组研究】在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为____

_______；（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设BOC=，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．【B组研究】在同一平面内，将这副直角三角

板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；（4）如图④，当三角板OCD转

动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．【答案】（1）37.5；（2）不变，37.5；（3）60；（4）不变，60【分析】（1）根据1122EOFEOBCOFAOB

COD=+=+即可求得答案；（2）根据条件得11(45),(30)22COEAOCaBOFBODa==−==−，又因为EOFCOEBOFBOC=++，得出答案；（3）根据EOFCOEDOFCOD

=++1122AOBCOD=+，得出答案；（4）根据EOFCOEBOFBOC=+−=11(90)(30)22+++−，得出答案；【详解】解:(1)45,30AOBCOD==，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

1122EOFEOBCOFAOBCOD=+=+22.51537.5=+=，故答案为：37.5；(2)不变；∵,45,30BOCaAOBCOD===，∴45,30AOCaBODa=−=−，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴11(45

),(30)22COEAOCaBOFBODa==−==−，∴11,22COEAOCDOFBOD==，EOFCOEBOFBOC=++，=1122AOCBODa++，=11(45)(30)22a

aa−+−+，=37.5；(3)EOFCOEDOFCOD=++，1122COABODCOD=++，()12COABODCOD=++，()12AOBCODCOD=−+，1122AOBCOD=+，4515=+，60=，故答案为：60°；(4)

不变，由题意得，1122COEAOCDOFBOD==，，EOFCOEBOFBOC=+−，=1122AOCBOD+−，=11(90)(30)22+++−，=60．【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论．12．（2022

·贵州遵义·七年级期末）【阅读理解】在学习《角的比较与运算》内容时，教材设置这样的一个探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角．(1)【实践】在度数分别为①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同学利用一副三角尺拼不出来的是_________

_．（填序号）(2)【操作】七（1）班数学学习小组用一副三角尺进行拼角．如图1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如图2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他们两人各自所拼的两个角均在公共边OC的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出AO

B的平分线OE和COD的平分线OF．【探究】通过上述操作，巧巧计算出图1中的60EOF=，请你直接写出图2中的EOF=__________°．(3)【发现】当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异

侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是__________（用含，的代数式表示）．(4)【拓展】巧巧把图1中的三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°到图3的位置，使O，D，B三点在同一条直线上，并求出了EOF的度数为11451530

22EOFDOFBOECODAOB=−=−=−=．嘉琪把图2中的三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°到图4的位置，使O，D，B三点在同一条直线上．请你仿照巧巧的做法，求出图4中EOF的度数．(5)【归纳】根据上述探究，可以归纳出：当有公共顶点的两个角和有（其中a）有一条边

重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是__________（用含，的代数式表示）．【答案】(1)④(2)75(3)1122+(4)15°(5)1122−【分析】(1)根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答；(2)根据角平分线的

定义和角的位置关系可以求得：∠AOE=∠EOB=12∠AOB，∠COF=∠FOD=12∠COD，再根据∠EOF=∠EOB+∠BOF可以求得∠EOF的度数；（3）模仿（2）求解即可；（4）根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：∠AOE=∠EOB=12∠AOB，∠COF

=∠FOD=12∠COD，再根据∠EOF=∠BOF-∠BOE可以求得∠EOF的度数．（5）模仿（4）求解即可．(1)解：用两副三角板可以直接画出大于0°小于180°的角，角的度数也是15的倍数，①135°，②120°，③105°都是15的倍数，而④25°不是15的倍数，所以不能画出2

5°的角．故答案为：④；(2)解：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE=12∠AOB=12×60°=30°，同理∠FOB=45°，∴∠EOF=∠BOE+∠FOB=30°+45°=75°，故答案为：75°；(3)解：设∠AOB=α，∠DOC=β，OB与OC重合，OA与OD分

别在OB两侧，OE平分∠AOB，OF平分∠DOC，由（2）可得∠EOF=∠BOE+∠FOB=12∠AOB+12∠DOC=12α+12β；故答案为：12α+12β；(4)解：∵OE平分∠AOB，∴∠BOE=12∠AOB=12×60°=30°，∵OF平分∠DOC，∴∠

DOF=12∠DOC=12×90°=45°，∴∠EOF=∠DOF-∠BOE=45°-30°=15°，(5)解：设∠AOB=β，∠DOC=α，OB与OD重合，OA与OC分别在OB同侧，OE平分∠AOB，OF

平分∠DOC，由（4）可得∠EOF=∠DOF-∠BOE=12∠COD-12∠AOB=12α-12β；故答案为：12α-12β．【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的角的计算，关键是注意此题分两种情况．13．（2022·四川资阳·七年级期末）如图-1，点O为直线AB上一点，过

点O作射线OC，使120BOC=，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)如图-2，将图-1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边OM在BOC的内部，且恰好平分BOC，此时直线ON是否平分AOC？请说明理由；(

2)如图-3，继续将图-2中三角板绕点O逆时针旋转，使得ON在AOC的内部，探究AOM∠与NOC之间的数量关系，并说明理由；(3)将图-1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平

分AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？【答案】(1)直线ON平分AOC，理由见解析(2)30AOMNOC−=(3)10秒或40秒．【分析】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的定义得到MOCMOB=，再由OMON

⊥，得到90MODMON==，则CODBON=，即可推出CODAOD=，由此即可得到答案；（2）结论：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根据平角定义先求出∠AOC的度数，继而根据角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠N

OC，由此求解即可；（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分ON的反向延长线OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC两种情况分别画出图形进行解答即可．（1）直线ON平分AOC．理由：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分B

OC，∴MOCMOB=，又∵OMON⊥，∴90MODMON==，∴CODBON=，又∵AODBON=，∴CODAOD=，∴OD平分AOC，即直线ON平分AOC；（2）解：如图，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：∵∠BOC=

120°，∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，∴∠AOM-∠NOC=30°；（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，∵∠BOC=1

20°，∴∠AOC=60°，如图a，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，∠AOF=12∠AOC=30°，∴∠BON=∠AOF=30°，∴∠BOM=90°-∠BON=60°，∴6x=60，∴x=10；如图b，当ON平分∠AOC时，∠CON=12∠AOC=

30°，∴ON旋转的角度是90°+150°=240°，∴6x=240，∴x=40，综上，x=10或x=40，即此时三角板绕点O旋转的时间是10或40秒．【点睛】本题考查了角的和差，三角板的性质，旋转的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握和灵

活运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用．14．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在

直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】(1)如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS

，PR的“双倍和谐线”；(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若

在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．【答案】(1)不是；是(2)①52或352；②160

°或172°【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON=4

°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．（1）解：∵PS平分∠RPT，

∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC=

2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．当∠AOC=2∠AOB时，如图，则：90-4t=2×40．解得：t=52，当∠AOB=2∠AOC时，如图，则：40=2（90-4t）．解得：t=352，综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52

或352；②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴当t=45秒时，运动停止，

此时∠AON=180°．∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．当∠COM=2∠COD时，如图，即：180°-∠CON=2（∠C

ON-∠DON），则：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．当∠COD=2∠COM时，如图，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=1

72°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．15．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，

过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；(2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每

秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；(3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠

FOH=124°，请直接写出此时n的值．【答案】(1)∠NOB=14°；(2)旋转一共用了26.5s或41.5s；(3)n为54.4°或144°．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MOB的度数，再根据∠NOB=∠MON-∠MOB可得结论；（2）需

要分两种情况进行讨论，①当点N′在OH的右侧时；②当点N′在OH的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；（3）根据题意分两种情况，当0°＜n＜90°和90°＜n＜180°时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可

．(1)解：∵∠BOC=112°，OM平分∠BOC，∴∠MOB=12∠BOC=56°，∵∠MON=70°，∴∠NOB=∠MON-∠MOB=14°；(2)解：由（1）知∠HOB=12∠COB=56°，设旋转时间为ts，①当点N′在OH的右侧时，∠HON′=

30°，∴∠N′OB=56°-30°=26°，∴∠NON′=∠N′OB+∠BON=26°+80°=106°；∴t=106°÷4°=26.5；②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′=30°，∴∠N′OB=56°-30°=26°，∴∠NON′′=∠N′′OH+∠HOB+∠BON=30°+5

6°+80°=166°；∴t=166°÷4°=41.5；综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；(3)解：当0°＜n＜90°时，如图，∵∠BOF=n，∴∠AOF=180°-n，∵∠FOA=2∠AOM，∴∠AOM=12∠AOF

=90°-12n，∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠BON=12n，∴∠HON=∠HOF-∠BON-∠BOF=124°-32n，∠CON=∠BOC-∠BON=112°-12n，∵OH平分∠CON，∴∠CON=2∠HON，∴112°-12n

=2（124°-32n），解得n=54.4°；当90°＜n＜180°时，如图，∵∠BOF=n，∴∠AOF=180°-n，∵∠FOA=2∠AOM，∴∠AOM=12∠AOF=90°-12n，∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠BON=12n，∴∠HO

N=360°-∠HOF-∠BON-∠BOF=360°-124°-12n-n=236°-32n，∠CON=∠BOC-∠BON=112°-12n，∵OH平分∠CON，∴∠CON=2∠HON，∴112°-12n=2（236°-32n），解得n=144°

；综上，n为54.4°或144°．【点睛】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的定义，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键．32．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠A

OB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒

3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．【答案】（1）150°，30°；（2）135°；（3）5,165tAOD==或35,75tAOD==【分析】（1）根据角平分线定义

计算（2）根据角平分线定义和角的和差运算．（3）根据角的旋转变化列式计算即可．【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+60°＝150°，∠BOD﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOB＝90°﹣60°＝

30°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOC，∴∠MOC＝12∠AOC，12NOB=∠BOD．∴∠MON＝12（∠AOB﹣∠BOC+∠COD﹣∠BOC）+∠BOC＝12()75AOBCOD+=．（3）当∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上时，∠AOD为平角，

∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∠BOD＝90°+30°＝120°．30÷3＝10（秒），120÷3＝40（秒）．当0≤t≤10时，(303)BOCt=−，由(2)可知75MON=．∴5（30﹣3t）＝75时t＝5．∠AOD＝180﹣3t＝165°．当

10＜t≤30时，∠BOC＝3（t﹣10）°，75MON=，∴75＝5×3（t﹣10），t＝15，此时∠AOD＝180﹣3t＝135°．【点睛】本题考查了角平分线相关知识及角的计算，掌握角的和差关系，注意分类讨论是解题的关键．