【文档说明】2023届高考数学易错题专项突破——易错点6 函数零点存在定理含解析.docx，共(9)页，68.357 KB，由envi的店铺上传

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1易错点6函数零点存在定理一、单选题1.函数的零点个数是（）A.0B.1C.2D.32.函数f(x)=22−x−lnx(提示：e≈2.718)的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.已知a是函数f(x)

=2x−log12x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足（）A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定4.若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方

程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)⋅f(4)的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断5.下列结论正确的是（）A.若f(x)在区间[a,b]上连续不断，且f(x)在(a,b)内没有零点，则f(a)·f(b)>0．B.命题“三

角形的内角和是180∘”的否命题是“三角形的内角和不是180∘”.C.“a=2”是“(a−1)(a−2)=0”的必要不充分条件．D.给定两个命题p，q，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．6.函数f(x)=lnx−3x在下列所给的区间内存在零点的是（）A.(0,1)B.(1,2

)C.(2,3)D.(3,4)7.函数f(x)=2mx+4，若在(−2,1)内恰有一个零点，则m的取值范围是（）A.(−1,2)B.(1,+∞)C.(−∞,−2)∪(1,+∞)D.[−2,1]8.“f(a)⋅f(b)<0”是“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”的（）A.充要条件B.充

分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件二、单空题29.已知函数f(x)=2lgx+x−4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上，则k=____．10.函数f(x)=(x−1)lnxx−3的零点是________.

11.设函数f(x)={2−x,x<1log2x,x≥1，若函数y=f(x)−k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是______．三、解答题12.已知函数f(x)=lnx−x+1，g(x)=lnx−ex+2．(1)讨论函数f

(x)在(0,+∞)的零点个数；(2)证明：g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．13.已知函数f(x)=ex−1，g(x)=√x+x，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…。(1)证明：函数h(x)=f(x)−g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)=g(x)的根的

个数，并说明理由。3已知向量a⃗=(cosx,−sinx)，b⃗=(√3cosx,cosx)，若f(x)=a⃗⋅b⃗．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,2π]上的零点一、单选题1.函数的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：可知，当x>0时

，令lnx=0，解得x=1，函数与x轴有一个交点，为(1,0)，当x≤0时，令−x(x+2)=0，解得x=0或x=−2，函数与x轴有两个交点，为(0,0)或(−2,0)，所以函数与x轴有三个交点，所以函数一共有三个零点，故选D．2.函数f(x)=22−x−lnx(提示：e≈2.718)

的零点所在区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【解析】解：∵f(1)=2>0，f(1)f(2)=2(1−ln2)>0，排除Bf(2)f(3)=(1−ln2)(1

2−ln3)<0，一定有零点故选：C．3.已知a是函数f(x)=2x−log12x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足（）A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定【答案】C【解析】解：∵f(x)=2x−log12x在(0

,+∞)上是增函数，a是函数f(x)=2x−log12x的零点，即f(a)=0，∴当0<x0<a时，f(x0)<0，4故选C．4.若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0

)⋅f(4)的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断【答案】D【解析】解；满足题中要求的函数y=f(x)图象可以有以下两种情况由这两个图形得，f(0)f(4)<0，由于f(x)定义在区间(0,4)上，即有f(0)=0或

f(4)=0．故选D．5.下列结论正确的是（）A.若f(x)在区间[a,b]上连续不断，且f(x)在(a,b)内没有零点，则f(a)·f(b)>0．B.命题“三角形的内角和是180∘”的否命题是“三角形的内角和不是180∘”.C.“a=2”是“(a−1)(a

−2)=0”的必要不充分条件．D.给定两个命题p，q，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．【答案】D【解析】A.若f(a)=0或f(b)=0，则结论不正确；B.命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“非三角形的多边形内角和不是180°”，B错误；C

.“a=2”是“(a−1)(a−2)=0”的充分不必要条件，错误；D.若p是q的充分不必要条件，则由p可得q，由q不能得p，所以由¬q可得¬p，由¬p不能得¬q，所以¬p是¬q的必要不充分条件，正确．故选D．6.函数f(x)=lnx−3x在下列所给的区间内存在零点

的是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C5【解析】解：函数，，，∴函数的零点所在区间是(2,3)．故选C．7.函数f(x)=2mx+4，若在(−2,1)内恰有一个零点，则m的取值范围

是（）A.(−1,2)B.(1,+∞)C.(−∞,−2)∪(1,+∞)D.[−2,1]【答案】C【解析】函数f(x)=2mx+4，若在(−2,1)内恰有一个零点，可得：f(−2)⋅f(1)<0并且m≠0，可得：(4−4m)(2m+4)<0，解得m∈(−∞,−2)

∪(1,+∞)函数f(x)=2mx+4，若在[−2,1]内恰有一个零点，则m的取值范围是(−∞,−2)∪(1,+∞).故选C.8.“f(a)⋅f(b)<0”是“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”的（）A.

充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由“f(a)⋅f(b)<0”不能推出“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”，函数f(x)必须连续，由“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”也

不能推出“f(a)⋅f(b)<0”，f(a)和f(b)可能同号，所以“f(a)⋅f(b)<0”是“定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)有零点”的既不充分也不必要条件，故选D．二、单空题9.已知函数f(x)=2lgx+x−4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上

，则k=____．6【答案】3【解析】解：∵函数f(x)=2lgx+x−4在(0,+∞)上单调递增，∵f(3)=2lg3−1<0，f(4)=2lg4>0，∴f(3)f(4)<0，∴函数的零点在(3,4)之间，∵函数f(x)=2lgx+x−4的零点在区间(k

,k+1)(k∈Z)上，∴k=3，故答案为3．10.函数f(x)=(x−1)lnxx−3的零点是________.【答案】1【解析】解：由题意可得函数f(x)的定义域为(0,3)∪(3,+∞)，令f(x)=0，即，所以x−1=0或lnx=0，所以x=1，满足定义域，所以f(x)的零点是

1．故答案为1．11.设函数f(x)={2−x,x<1log2x,x≥1，若函数y=f(x)−k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是______．【答案】(12,+∞)【解析】根据题意，若函数y=f(x)−k有且只有两个零点，则函数y=f(x)的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f(x)

={2−x,x<1log2x,x≥1，其图象如图，若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k>12，即实数k的取值范围是(12,+∞)；故答案为：(12,+∞)．三、解答题712.已知函数f(x)=lnx−x+1，g(x)=lnx−ex+2

．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)的零点个数；(2)证明：g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．【答案】解：(1)f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1x−1=1−xx，令f′(x)=1−xx>0

，得：0<x<1，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，故f(x)≤f(1)=0，即f(x)在(0,+∞)的零点个数为1．(2)法1：g(x)=lnx−ex+2，令g′(x)=1x−ex=h(x)，h′(x)=−1x2−ex<0，∴h(x)即g′(x)在(0,+∞)

递减，g′(12)=2−√e>0，g′(1)=1−e<0，∴存在x0∈(12,1)使得g′(x0)=1x0−ex0=0，即ex0=1x0，x0=−lnx0，∴在(0,x0)上g′(x)>0，g(x)单调递增，在(x0

,+∞)上g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)max=lnx0−ex0+2=−x0−1x0+2<0，即g(x)<0在(0,+∞)恒成立.法2：由(1)知f(x)=lnx−x+1≤0，∴lnx≤x−1，当且仅当x=1时取“=”，∴ln(x+1)≤x，∴eln(x+1)≤e

x，即x+1≤ex，当且仅当x=0时取“=”，∴1+lnx≤x≤ex−1，且两个等号不能同时取到，∴lnx−ex+2<0，故：g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．13.已知函数f(x)=ex−1，g(x)=√x+x，其中e

是自然对数的底数，e=2.71828…。(1)证明：函数h(x)=f(x)−g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由。【答案】(1)证明：由h(x)=f(x)−g(x)ex−1−√x−x，得h(1)=e−3<0，h

(2)=e2−3−√2>0，8所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点；(2)解：由(1)得h(x)=e2−1−√x−x由g(x)=√x+x知，又h(0)=0，则x=0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)上有零点，因此h(x)在上至少有两个零点，因为h′(x)=ex−1

2x−12−1，记φ′(x)>0，因此φ(x)在上单调递增，即h′(x)在上单调递增，又h′(x)>h′(0)=0，∴h(x)在上单调递增，又h(x)在(1,2)上有零点，∴h(x)在上有一个零点，∴h(x)在上

有且只有两个零点，∴方程f(x)=g(x)的根的个数为2．14.已知函数f(x)=x2−ax+2，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)零点均小于2；(2)一个零点大于2，一个零点小于2；(3)在区间(−4,−3)上恰有一个零点．【答案】解：

由题意得(1){△=a2−8≥0a2<2f(2)=6−2a>0解得，2√2≤a<3或a≤−2√2，则实数a的取值范围是[2√2,3)∪(−∞,−2√2]．(2)f(2)=6−2a<0，解得a<3，则实数a的取值范围是(−∞,3)．

(3)若在区间(−4,−3)上恰有一个零点，则f(−4)·f(−3)<0或{Δ=a2−8=0−4<a2<−3解得，−92<a<−113或a∈⌀，9综上，实数a的取值范围是(−92,−113)．15.已知向量a⃗=(cosx,−sinx)，b⃗=

(√3cosx,cosx)，若f(x)=a⃗⋅b⃗．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,2π]上的零点．【答案】，要求函数f(x)的减区间，即求的增区间，则有2kπ−π2⩽2x

−π3⩽2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π12⩽x⩽kπ+5π12,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z;(2)由f(x)=0得，∵x∈[0,2π]，则2x−π3∈[−π3,11π

3]，要使，则2x−π3=π3,2π3,7π3,8π3解得x=π3,π2,4π3,3π2，故函数f(x)的零点为π3,π2,4π3,3π2