【文档说明】2009年高考试题——数学理（重庆卷）解析版.doc，共(15)页，1.668 MB，由envi的店铺上传

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准

考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目

必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB+=+如果事件AB，相互独立，那么()()()PABPAPB=如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次

独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn−=−=，，，以R为半径的球体积：34π3VR=一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1yx=+与圆221xy+=的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1yx=+，即10xy−+=的距离1222d==，而2012，选B。2．已知复数z的实部为1−，虚部为2，则5iz=（）A．2i−B．

2i+C．2i−−D．2i−+【答案】A【解析】因为由条件知12zi=−+，则55(12)5102(12)(12)5iiiiizii−−−+===−−+−−，所以选A。3．282()xx+的展开式中4x的系数是（）A．16B．70C．560D．

1120【答案】【解析】设含4x的为第2616316621,()()2rrrrrrrrTCxCxx−−++==，1634r−=所以4r=，故系数为：44621120C=，选D。4．已知1,6,()2==−=ababa，则向量a与向量b的夹角是（）A．6B．4C．3D．2w.w.w.k.

s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】因为由条件得222,23cos16cos,abaabaab−==+===所以1cos23==所以，所以5．不等式2313xxaa+−−−对任意实数x恒成立，则实数a的取

值范围为（）A．(,1][4,)−−+B．(,2][5,)−−+C．[1,2]D．(,1][2,)−+【答案】A【解析】因为24314313xxxxaa−+−−+−−−对对任意x恒成立，所以22343041aaaaaa−−−即，解得或6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个

，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．891B．2591C．4891D．6091w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】因为总的滔法415,C而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤

圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为1121212116546546544154891CCCCCCCCCC++=7．设ABC的三个

内角,,ABC，向量(3sin,sin)AB=m，(cos,3cos)BA=n，若1cos()AB=++mn，则C=（）A．6B．3C．23D．56w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】C【解析】3sincoscossin3sin()1cos()mnABABABA

B=+=+=++,3sin1cos3sincos12sin16ABCCCCCC++==−+=+=所以即，（）152sin(62663CCC+=+==），由题，即8．已知22lim()21xxaxbx→−−=+，其中

,abR，则ab−的值为（）A．−6B．2−C．2D．6【答案】D【解析】222(2)()2(2)()limlimlim21111xxxbaxabxaxaxbxbaxabxbxxxx→→→−−+−−−−−−−+−==+++20,2,4,2(4)6()2aababab−===−

−=−−=−+=则解得故9．已知二面角l−−的大小为050，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是025的直线的条数为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．2B．3C．4D．5w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答

案】B【解析】AFE是度数为050的二面角的一个平面角，FGAFE为的平分线，当过P的直线与FG平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与BE平行也是满足条件得共有3

条。10．已知以4T=为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx−−=−−，其中0m。若方程3()fxx=恰有5个实数解，则m的取值范围为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．158(,)33B．1

5(,7)3C．48(,)33D．4(,7)3【答案】B【解析】因为当(1,1]x−时，将函数化为方程2221(0)yxym+=，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x得图像，再

根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3xy=与第二个椭圆222(4)1(0)yxym−+=相交，而与第三个半椭圆222(4)1(0)yxym−+=无公共点时，方程恰有5个实数解，将3xy=代入222(4)1(0)yxym−+=得2222(91)721350,mxmxm+−+=令

229(0)(1)8150tmttxtxt=+−+=则由2215(8)415(1)0,15,915,03ttttmmm=−+得由且得同样由3xy=与第二个椭圆222(8)1(0)yxym−+=由0

可计算得7m综上知15(,7)3m二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．11．若3AxRx=，21xBxR=，则AB=．【答案】（0，3）【解析】因为

|33,|0,AxxBxx=−=所以(0,3)AB=I12．若1()21xfxa=+−是奇函数，则a=．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【答案】12【解析】解法112(),()()2112xxxfxaafxfx−−=+=+−=−−−21121()21122112122xxxxxxaaa

a+=−+=−==−−−−故13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．【答案】36【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有211

42122CCCA;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A所以满足条件得分配的方案有211342132236CCCAA=14．设12a=，121nnaa+=+，21nnnaba+=−，*nN，则数列nb的通项公式nb=．w.w.w.k.s.5.u.c.

o.m【答案】：2n+1【解析】由条件得111112222222111nnnnnnnnaaabbaaa++++++++====−−−且14b=所以数列nb是首项为4，公比为2的等比数列，则11422nnnb−+==15．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=

的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc−，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc=，则该双曲线的离心率的取值范围是．解法1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221s

insinPFPFPFFPFF=则由已知，得1211acPFPF=，即12aPFcPF=，且知点P在双曲线的右支上，设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFexa=+=−则00()()aaexcexa+=−解得0()(1)()(1)acaaexec

aee++==−−由双曲线的几何性质知0(1)(1)aexaaee+−则，整理得2210,ee−−解得2121(1,)ee−+++，又，故椭圆的离心率(1,21)e+解法2由解析1知12cPFPFa=由双曲线的定义知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m212222222

caPFPFaPFPFaPFaca−=−==−则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFcacacacaca−−−−−则既所以2210,ee−−以下同解析1.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）设函数2()sin()2cos1468xxfx=−−+．（Ⅰ）求()fx的最小正周期．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若函数()ygx=与()

yfx=的图像关于直线1x=对称，求当4[0,]3x时()ygx=的最大值．(16)（本小题13分）解：（Ⅰ）()fx=sincoscossincos46464xxx−−=33sincos2424xx−=3sin()43x

−故()fx的最小正周期为T=24=8(Ⅱ)解法一：在()ygx=的图象上任取一点(,())xgx，它关于1x=的对称点(2,())xgx−.由题设条件，点(2,())xgx−在()yfx=的图象上，从而()(2)3sin[(2)]43gxfxx=−=−−=3sin[]243x−−=

3cos()43x+当304x时，23433x+，因此()ygx=在区间4[0,]3上的最大值为max33cos32g==解法二：因区间4[0,]3关于x=1的对称区间为2[,2]3，且()ygx=与()y

fx=的图象关于x=1对称，故()ygx=在4[0,]3上的最大值为()yfx=在2[,2]3上的最大值由（Ⅰ）知()fx＝3sin()43x−当223x时，6436−−因此()ygx=在4[0,]3上的最大值为m

ax33sin62g==.17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数的

分布列与期望．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(17)（本小题13分）解：设kA表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2lB表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2则kA，lB独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有2221()()()33kkkkPAC−=,2211()

()()22llllPBC−=.据此算得01()9PA=,14()9PA=,24()9PA=.01()4PB=,11()2PB=,21()4PB=.(Ⅰ)所求概率为2111412()()()929PABPAPB•=•

==.(Ⅱ)解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且0000111(0)()()()9436PPABPAPB==•=•==,011011411(1)()()92946PPABPAB==•+•=+=,02112011

4141(2)()()()949294PPABPABPAB==•+•+•=++=1336,122141411(3)()()94923PPABPAB==•+•=+=.22411(4)()949PPAB==•==.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从

而，的期望为111311012343663639E=++++73=（株）解法二：分布列的求法同上令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12::21B(2,)，B(2,)32故有121EE==241=2=，2332从而知1273EEE=+=1

8．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）设函数2()(0)fxaxbxkk=++在0x=处取得极值，且曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线垂直于直线210xy++=．（Ⅰ）求,a

b的值；（Ⅱ）若函数()()xegxfx=，讨论()gx的单调性．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m18、（本小题13分）解（Ⅰ）因2()(0),()2fxaxbxkkfxaxb=++=+故又()fx在x=0处取得极限值，故()0,fx=

从而0b=由曲线y=()fx在（1，f（1））处的切线与直线210xy−+=相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2,f=有2a=2,从而a=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()(0)xegxkxk=+222(2)()(0)()xexxkgxkxk−+=+令2()0

,20gxxxk=−+=有（1）当440,k=−即当k>1时，g(x)>0在R上恒成立，故函数g(x)在R上为增函数（2）当440,k=−=即当k=1时，222(1)()0(0)()xexgxxxk−=+K=1时，g（x）在R上为增函数（

3）440,k=−即当0<k<1时，方程220xxk−+=有两个不相等实根1211,11xkxk=−−=+−当(,11)()0,(),11)xkgxgxk−−−−−−是故在（上为增函数当11,11xkk−−+−（）时，()0,gx故(

)11,11gxkk−−+−在（）上为减函数11xk+−（，+）时，()0,gx故()11gxk+−在（，+）上为增函数19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）如题（19）图，在四棱锥SABCD−中，ADBC且ADCD

⊥；平面CSD⊥平面ABCD，,22CSDSCSAD⊥==；E为BS的中点，2,3CEAS==．求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角ECDA−−的大小．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）因为AD//BC,且,BCBCS平面所以//,ADBC

S平面从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离。因为平面,CSDABCDADCD⊥⊥平面，故ADCSD⊥平面,从而ADSD⊥，由AD//BC，得BCDS⊥,又由CSDS⊥知DSBCS⊥平面，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在RtADS中22312DS

ASAD=−=−=(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作,EGCD⊥交CD于点G，又过G点作GHCD⊥,交AB于H，故EGH为二面角ECDA−−的平面角，记为，过E点作EF//BC,交CS于点F,连结GF,因平面

,,ABCDCSDGHCDGHGF⊥⊥⊥平面易知,故2EGF=−.由于E为BS边中点，故112CFCS==,在RtCFE中，22211EFCECF=−=−=,因EFCSD⊥平面，又EGCD⊥故由三垂线定理的逆定理得FGCD⊥,从而又

可得,CGFCSD:因此GFCFDSCD=而在RtCSD中，22426,11263CDCSSDCFGFDSCD=+=+====故在RtFEG中，tan3EFEGFFG==可得3EGF=，故所求二面角的大小为6=解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以S

(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设(,,)AAAAxyz，因平面,,CODABCDADCDADCOD⊥⊥⊥平面故平面即点A在xoz平面上，因此01AAyzAD===uuuv，又22213,2201AAxASxA+===uuv从

而（，，）因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为2Ax=.(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0).因E为BS的中点.ΔBCS为直角三角形,知222BSCE==uuvuuv设B(0,2,BZ)，BZ＞0，则AZ＝2，故B（0，2，2），所以

E（0，1，1）.在CD上取点G，设G（11,,0xy），使GE⊥CD.由11(2,2,0),(,1,1),0CDGExyCDGE=−=−−+=uuuvuuuvuuuvuuuv故1122(1)0xy−−=①又点

G在直线CD上，即//CGCDuuuvuuuv，由CGuuuv=（11,2,0xy−），则有11222xy−=−②联立①、②，解得G＝24(,,0)33,故GEuuuv=22(,,1)33−−.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量GEuuuv与向量DAuuuv所成的角，记

此角为.因为GEuuuv=233，(0,0,1),1,1DADAGEDA===uuuvuuuvuuuvuuuv,所以3cos2GEDAGEDA==uuuvuuuvuuuvuuuv故所求的二面角的大小为6.20．（本小题满分12

分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为433y=，离心率32e=，M是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,CD的坐标分别是(0,3),(0,3)−，求MCMD的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(1,0)，B是圆221xy+=上的点，N是点M在x轴上

的射影，点Q满足条件：OQOMON=+，0QABA=．求线段QB的中点P的轨迹方程；(20)（本小题12分）解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为22221xyab+=（a＞b＞0）.设22cab=−，由准线方程433y=得.由32e=得32ca=，解得a=2,

c=3，从而b=1，椭圆方程为2214yx+=.又易知C，D两点是椭圆2214yx+=的焦点，所以,24MCMDa+==从而22()242MCMDMCMD+==，当且仅当MCMD=，即点M的坐标为(1,0)时上式取等号，MCMD的最大值为4.（II

）如图（20）图，设M(,),(,)mmBBxyBxy(,)QQQxy.因为(,0),NNxOMONOQ+=，故2,,QNQMxxyy==222(2)4yQQMxyxy+=+=①因为0,QABA=(1)(1)(1)(1)0,QQNnQNQNxyxyxxyy−−−−=−−+=所以1QN

QNNQxxyyxx+=+−.②记P点的坐标为(,)PPxy，因为P是BQ的中点所以2,2PQPPQPxxxyyy=+=+由因为221NNxy+=，结合①，②得22221(()())4PPQNQNxyxxyy

+=+++22221(2())4QNQnQNQNxxyyxxyy=+++++1(52(1))4QNxx=++−34Px=+故动点P的估计方程为221()12xy−+=21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）设m个不全相等的正数12,,,(7)maaam依

次围成一个圆圈．（Ⅰ）若2009m=，且121005,,,aaa是公差为d的等差数列，而1200920081006,,,,aaaa是公比为qd=的等比数列；数列12,,,maaa的前n项和()nSnm满足：320092007115,12SSSa==+，求通项()nan

m；（Ⅱ）若每个数()nanm是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：2216712mmaaaamaaa+++++；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（21）（本小题12分）解：（I）因1200920081006,,,,aaaa是公比为d的等比数列，从而2

2000120081,aadaad==由2009200812008200911212SSaaaa=++=得，故解得3d=或4d=−（舍去）。因此3d=又313315Sad=+=。解得12a=从而当1005n时，1(1)23(1)31naandnn=+−=+−=−当10062009n时，由1

200920081006,,,,aaaa是公比为d的等比数列得2009(1)201011(10062009)nnnaadadn−−−==因此200931,100523,10062009nnnnan−−=

（II）由题意22222222111112(1),,nnnmmmaaanmaaaaaa−+=−==得111112(1),nnnmmmaaanmaaaaaa−+−===①②③有①得

213456312211,,,aaaaaaaaaa====④由①，②，③得21212()nnaaaaaa=，故121naaa=.⑤又2131111(13)rrrrrrraaarmaaaa+++++===−，故有6

31(16)rrraarma++==−.⑥下面反证法证明：6mk=若不然，设6,15mkpp=+其中若取1p=即61mk=+，则由⑥得611mkaaa+==，而由③得11122,,maaaaaa==故得21,a=由②得16611,

,mmkmaaaaaa−−===从而而16122,1,aaaaa===故由④及⑥可推得1na=（1nm）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得1na=（1nm）与题设矛盾,因此6mk=为6的倍数由均值不等式得21123612121211()()()6aaaaaa

aaaaaa++++=+++++K由上面三组数内必有一组不相等（否则1231aaa===，从而451maaa====K与题设矛盾），故等号不成立，从而12366aaaa++++K又6mk=，由④和⑥得2222227712656221622212221()()()()mkkaaaaaaaaaa

aaaa−++=+++++++++++KKKKK２３２３＝（k-1)１１１＝（k-1)＋＋６(k-1)因此由⑤得221236712366(1)6mmaaaaaakkmmaaaa++++++++−===KKK