【文档说明】《2022年小升初数学无忧衔接（通用版）》专题21 探究与表达规律 专项训练（原卷版）.docx，共(19)页，1.323 MB，由envi的店铺上传

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专题21探究与表达规律专项训练1.通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程。2.能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示，并通过计算验证。3.在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。1.解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结

论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.3

）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前

n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2.常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，…，21n−（n为正整数）．2）2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．3）2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．4）2，6，12，20，…，(1)nn+（n为正整数）．

5）x−，x+，x−，x+，x−，x+，…，(1)nx−（n为正整数）．6）特殊数列：①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2nn+.②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的

前两个数的和.【题型一】数列的规律【典题1】（2021•沂南县模拟）观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n

等于（）A．20B．19C．18D．17【典题2】（2021·云南七年级模拟）有一组数：13579,,,,...49162536−−−，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（）A．1221(1)nnn+−−B．1221(1)(1)nnn++−+C．221(1)(1)nnn−−+D

．221(1)nnn+−【变式练习】1.（2021·福建省漳州第一中学七年级开学考试）观察下列各项：114，126，138，1410，…，依此规律下去，则第7项是__________；第n项是__________

．2.（2021•韶关一模）按规律排列的一列数：，，，，，…，则第2021个数是．【题型二】数表的规律【典题1】（2021·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B

1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1B．B1C．A2D．B3【典题2】（2021•广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（）

A．131B．130C．129D．128【变式练习】1.（2021•武汉模拟）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．2020B．2021C．4040D．40392.（2021•

柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123………2725若2021在第m行第n列，则m+n＝（）A．256B．257C．510D．511【题型三】算式的规律【典题1】

（2021·广州白云广雅实验学校七年级期中）已知：2222233+=，2333388+=，244441515+=，255552424+=，……，若25555bbaa+=符合前面式子的规律，则ab+的值为_____

．【典题2】（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：第1个等式：13043−=；第2个等式：24153−=；第3个等式：35263−=；第4个等式：46373−=．……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第5个等式：_

___________________．（2）写出你猜想的第n个等式：____________________（用含n的等式表示）．（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．【变式练习】1．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学）数学兴趣小组的同学，经过探究发现

：12+22+22＝32；22+32+62＝72；32+42+122＝132．…请你根据上述的规律，写出第n个式子：___．2．（2021·东营市东营区实验中学）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了()n

ab+（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222abaabb+=++展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着()3322333abaababb+=+++展开式中各项的系

数等等．（1）填出()4ab+展开式中共有________项，第三项是________．（2）直接写出()5ab+的展开式．（3）利用上面的规律计算：2345665432111111262152202152621222222+

−+−+−+−+−+−−．【题型四】有序数对的规律【典题1】（2021·广州市第十六中学七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(),nm表示第n排，从左到右第m个数，如()4,2表示9，则表示202

1的有序数对是（）13245610987第一排第二排第三排第四排A．()63,5B．()63,59C．()64,5D．()64,60【典题2】（2021·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）将杨辉三角中的每

一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示分数112那么(8，3)表示的分数是（）A．1168B．172C．151D．1162【变式练习】1．（2

020·北京市房山区初一期末）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：若规定坐标号（m,n）表示第m行从左向右第n个数，则（7，4）所表示的数是_____；（5，8）与（8，5）表示的两数之积是_______；数2

012对应的坐标号是_________【题型五】图形的规律（一次类）【典题1】（2021·山东淄博市·九年级一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【典题2】（20

21·山东九年级一模）如图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3．（1）填写如表图形标号123正五边形个数__________________三角形个数__________________（2）按上面方法继续连下去，第

n个图中有多少个三角形？（3）能否分出2014个三角形？简述你的理由．【变式练习】1．（2021·云南九年级二模）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“”图案组成的，依此规律，第2021个图案中含有“”图案的个数为（）A．10106B．

10105C．11005D．110062.（2021·北京七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个

三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有____个三角形，第n个图案中有____个三角形（用含有n的代数式表示）．【题型六】图形的规律（二次类）【典题1】（2021·浙江九年

级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（）A．52根B．66根C．70根D．72根【典题2】（2021·重庆七年级期末）下列图形都是由同样大小的圆

按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（）A．52B．53C．54D．55【变式练习】1．（2021·重庆八年级期末）如图所示，各图是用小黑色三角形垒成的“三角形”，图①个中有1个小黑色三角形，图②

中有3个小黑色三角形，图③中有6个小黑色三角形，…，按此规律垒下去，则图⑩中的小黑色三角形的个数是（）A．45B．55C．66D．782.（2021·重庆西南大学附中七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．

我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆

垛球的总个数为（）A．55B．220C．285D．385【题型七】图形的规律（指数类）【典题1】（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为12的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底

边再剪去一个边长为14的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为18、116、132…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．【典题2】（

2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9

＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=12×72=36．用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2

n+1）=．（3）请构造一图形，求23202011113333++++（画出示意图，写出计算结果）．【变式练习】1．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等

腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（）A．20212B．120202C．120212D．1202222．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂

分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形分成两个面积为14的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：23101111()()()2222++++的值为（）A．101

()2B．1011-()2C．111()2D．1111-()21．（2021年陕西省西安市高新一中七模试卷）算筹是在珠算发明以前我国独创井且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法

中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，示例如图：67286708，则表示的数是（）A．5123B．9167C．9176D．91632.（20

21•九龙坡区模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭3个小正方形需要10根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8084B．6066C．6063D．60643．（2021·重庆）如图，将整数按

规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（）A．49B．﹣40C．﹣32D．254．（2021·重庆巴蜀中学九年级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的

规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）A．34B．40C．49D．595．（2021·北京七年级期末）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第n个“100”字样的棋子个数是（）A．11nB．10n+C．56n+D．6

5n+6．（2021·重庆市渝北区实验中学校）一组按规律排列的式子：4682,,,,,357aaaa则第2020个式子是（）A．20202020aB．20204040aC．40404039aD．20204039a7．（2021·辽宁葫芦岛市·七年

级期中）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）A．216B．147C．130D．4428．（2020·云南省中考真题）按一定规律排列的单项式：a，2a−，4a，8a−，16a，3

2a−，…，第n个单项式是（）A．()12na−−B．()2na−C．12na−D．2na9．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重

复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（）A．2764B．81256C．27256D．8112810．（2021·

全国初一课时练习）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式Am=

（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（）A．（31，63）B．（32，17）C．（33，16）D．（34，2）11．（2021·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中

，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：11a=，22a=，33a=，43a=，56a=，64a=，710a=，85a=

……，则99100aa+的值为（）A．1275B．1326C．1378D．143112．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）已知一列数：1，2−，3，4−，5，6−，7，…将这列数排成下列形式：第

1行1第2行2−3第3行4−56−第4行78−910−第5行1112−1314−15……按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于（）A．50−B．48−C．45D．52−13．（2022·湖南·吉首市教育科学研究所模拟预测）观察下列等式：

122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，，根据这个规律，则1234202222222+++++的末尾数字是（）A．0B．2C．4D．614.（2021•庐阳区校级月考）探究规

律：（1）计算：①2﹣1＝；②22﹣2﹣1＝；③23﹣22﹣2﹣1＝；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝；（2）根据上面结果猜想：①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝；②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝；③212﹣

211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝．15.（2021•诸城市三模）按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是．16．（2021·

北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．17．（2021·江苏七年级期末）在无限大的正

方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．18．（2021·四川省内江市第六中学九年级三模）将一些半径相同的小圆

按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有___________个小圆．（用含n的代数式表示）19．（2021·湖北九年级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“

●”的个数为1a，第2幅图形中“●”的个数为2a，第3幅图形中“●”的个数为3a，…，以此类推，则123181111aaaa++++的值为________．20．（2021·浙江七年级期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝111a−，a3＝211a−，…，an＝111na

−−．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．21．（2021·江苏南京市·七年级期中）观察下列各式：()()111xx−−=()()2111xxx−−=+()()32111xxxx−−=++()()432111xxxx

x−−=+++根据上面各式的规律可得（）()111nnxxxx−−=++++；利用规律完成下列问题：（1）202120202019155551+++++=______；（2）求()()()()2019183333−+−+−++−的值．22．（2021·福建七年级月考）如图

1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．尝试（1）第3次画线

后，分割成______个互不重叠的正方形；第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．发现（2）第n次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接．．写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的

正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．23.（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式：（1）观察图形，写出第（7）个等式：；根据图中规律，写出第n个图形的规律：；（用含有n的式子表示）（2）求出1

0+11+…+80的值．．（2021·安徽合肥市五十中学西校九年级一模）观察下列等式：①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42；……请解答下列问题：（1）请写出第⑤个等式：；（2）请写出第n个等式：；（3）根据上述规律，求1+3+5+7+…+2019+202

0．25．（2021·福建省宁化县教师进修学校七年级月考）在我们的生活中，很多看似繁杂的事情，其中总是隐藏着某种规律，若能找到其中的规律，就能化繁为简，巧妙解决：（Ⅰ）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则

：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了()nab+（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222abaabb+=++展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应

着()3322233abaababb+=+++展开式中的系数等等．……（i）根据上面的规律，展开()5ab+=______．（ii）计算：()5543211251210121012512111−+−+−−（Ⅱ

）构成运算的元素有若干个相同时，将这些相同的元素归到一起看成一个整体，此时一般引入参数（表示数字的字母），化繁为简，往往可以取到事半功倍的效果．请认真观察以下算式的结构、特征，完成解答：若123456789123456786M=，1234567812345

6787N=，比较M与N的大小．26．（2021·青岛西海岸新区实验初级中学九年级模拟）将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；，如此剪下

去，则第n个图形中正方形的个数是多少．（1）按图示规律填写下表：图12345正方形个数147____________（2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形；（3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形；（4）按照这种

方式剪下去，求第2021个图中有多少个正方形．