【文档说明】第14课 一元二次方程的根与系数的关系（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（北师大版）.docx，共(52)页，1.228 MB，由envi的店铺上传

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第14课一元二次方程的根与系数的关系培优第一阶——基础过关练一、单选题1．若12xx、是一元二次方程2320xx++=的两个根，则12xx的值是（）A．1B．2C．23D．4【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系12cxxa=解答即可∵1a=，2c=，则122cxxa=

=故本题选B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系是解答的关键．2．一元二次方程2420xx−+=的两个根为12,xx，则221212xxxx++的值为（）A．2B．6C．8D．14【答案】D【解析】【分析】根据两根之和是一次项系数与二次项系数商的相反

数，两根之积是常数项与二次项系数的商．根据题意得12124,2xxxx+==．222212121212122xxxxxxxxxx++=++−=()2212124216214xxxx+−=−=−=，故选D．【点睛】本题考

查了一元二次方程根与系数的关系，解决的关键是完全平方公式的变形x12+x22=（x1+x2）课后培优练级练2-2x1•x2，．3．下列一元二次方程中，两根均为负数的是()A．271250xx−+=B．261350xx−−=C．242150xx++=D．21580xx+−=【答

案】C【解析】【分析】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和−ba是否小于零及两根之积ca是否大于零，同时△必须大于等于0．检查方程是否正确，不要只看两实数根的和是否小于零，两根之积是否大于零，还要检验△是否大于等于0．A选项中，

两根之和大于零，两根之积大于零，所以此选项不正确；B选项中，两根之和大于零，两根之积小于零，所以此选项不正确；C选项中，两根之和小于零，两根之积大于零，所以此选项正确；D选项中，两根之和小于零，两根之积小于零，所以此选项不正确；

故选C．【点睛】考查了根与系数之间的关系，解题关键是抓住：两根之积为正，说明两根同号，反之为异号；两根之和为正，说明两根为正或两根中绝对值大的为正，两根之和为负说明两根为负或两根中绝对值大的为负．4．若1x、2x是一元二次方程的两个根，且12121,12xxxx+==−，那么这个一元二次方程是

（）A．2120xx+−=B．2120xx−+=C．2120xx++=D．2120xx−−=【答案】D【解析】【分析】设这个一元二次方程为20xbxc++=，则由题意可得12121cxx==−，1211bxx=−=+，由此即可得到答案．解：设这个一元二次方程为

20xbxc++=，∵1x、2x是一元二次方程的两个根，且121xx=+，1212xx=−，∴12121cxx==−，1211bxx=−=+，∴1b=−，12c=−，∴这个一元二次方程为2120xx−−=，故选D．【点睛】本题

主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．5．若1x、2x是关于x的一元二次方程22xxnmx++−=的两个实数根，1210,30xxx−，则必有（）A．1,2mnB．1,2m

nC．1,2mnD．1,2mn【答案】C【解析】【分析】先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1•x2的值，再根据1210,30xxx−，得出x1+x2＜0，从而得出m和n的范围；解：

∵22xxnmx++−=∵()21-20++−=xmxn∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根，∴x1+x2=m-1，x1•x2=n-2，∵1210,30xxx−，∴140x，130x，∴x1+x2=m-1＜0，x2＜0，∴m＜1，x

1•x2＞0，∴n-2＞0，∴n＞2，故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1212bc+=-aa，=xxxx．6．设12,xx是一元二次方程2230xx−−=的两根，则1233xx+=（）A．2−B．2C．3D．3−【答

案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．解：∵12,xx是一元二次方程2230xx−−=的两根，∴122xx+=，213xx=−，∴()121212333623xxxxxx++===−−，故选

：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．7．已知一元二次方程2430xx−+=的两根为12xx、，则211124xxxx−+=（）A．0B．1C．2D．1−【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出21143xx

−=−，123xx=，将其代入211124xxxx−+=中即可求出结论．解：∵方程2430xx−+=的两根是1x、2x，∴212113,430xxxx=−+=，即21143xx−=−，∴原式330=−+=．故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次

方程的解，得出21143xx−=−，123xx=是解题的关键．8．若关于x的一元二次方程22(21)10kxkx+−+=的两个实数根互为倒数，则k=（）A．1B．-1C．D．12−−【答案】B【解析】【分析】先根据一元二次方程

根的判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．解：关于x的一元二次方程22(21)10kxkx+−+=有两个实数根，此方程根的判别式22(21)40kk=−−，且20k，解得14k且0k，又关于x的一元二次方程22(21)10kxkx+−+=的两个实数根

互为倒数，211k=，解得1k=−或114k=（舍去），经检验，1k=−是所列分式方程的解，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．9．下列关于x的一元二次方程()200++=axbxca的命题中，真命

题有（）①若0abc−+=，则240bac−；②若方程()200++=axbxca两根为1和－2，则0ab−=；③若方程()200++=axbxca有一个根是()0cc−，则1bac=+A．①②③B．①②C．②③D．①③【答案】A【解析】【分析】把b=a+c代入判别式中得到24bac−=（

a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到2ca=−，根据根的定义可得0abc++=，于是可对②进行判断；由方程的根的定义可得20acbcc−+=，即可对③进行判断．解：a-b+c=0，则b=a+c，24bac−=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确

；∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，∴2ca=−，则2ca=−，0abc++=20aba+−=∴0ab−=，所以②正确；∵方程()200++=axbxca有一个根是()0cc−，∴20acbcc−+=0c∴10acb−+=∴1bac=+所以③正确．故选：

A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足()()20122012201220122012acad−−=，()()20122012201220122012bcbd−−=，则20122

012()()abcd−的值为（）A．2012−B．2011−C．2012D．2011【答案】A【解析】【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形

后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，方程整理得：x2-（c2012+d

2012）x+（cd）2012-2012=0，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故选：A．【点睛】

此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=ba−，x1x2=ca．二、填空题11．设1x，2x

是关于x的方程260xxk−+=的两个根，且122xx=，则k=______．【答案】8【解析】【分析】根据根与系数的关系得出126xx+=、12xxk=，再根据122xx=求得x2＝2，代入k的表达式，求解即可．解：1x，2x是关于x的方程260xxk−+=的两个根，126xx

+=，12xxk=，122xx=，222236xxx+==，即22x=，则()21222248kxxx====，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．若、是一元二次方程22350xx+−=的两根，则

+的值是_______．【答案】2910−【解析】【分析】先把+通分后化为222()2++−=，根据根与系数的关系得+=-32，52=−代入进行计算即可．解：∵、是

一元二次方程22350xx+−=的两根，∴+=-32，52=−，∴+=222952()()24252−−++−==−=2910−故答案为：2910−【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx

+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=ba−，x1x2=ca．13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．【答案】﹣2﹣

3【解析】【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值．解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为1和3−，∴()133q=﹣=﹣，∵小红看错了系数q，解得方程的根为4和2−，∴422p−=−=，∴2p=−

，故答案为：2﹣；3﹣．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝﹣ba，x1•x2＝ca，解题关键熟记根与系数的关系．14．已知、是方程2250xx+−=的两个实

数根，则22++的值为__．【答案】9【解析】【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系表示出+和的值，然后根据完全平方公式把22++变形后代入计算即可.由一元二次方程根与系数的关系可得，+=-2，=-5，∴22++=(

)2+−=4+5=9.故答案为9.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与完全平方公式的变形相结合解题是经常使用的一种解题方法.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系

式：12bxxa+=−，12cxxa=.15．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2(x22－3x2)＝____．【答案】3【解析】试题解析：有题意可知，222310,xx−−=22231.xx−=由韦达定理可得，12123,1.bcxxxxaa

+=−===−()()222122212121212(3)413.xxxxxxxxxxxx−−=−=−=+−=故答案为13.点睛：一元二次方程20(a0)++=axbxc根与系数的关系满足：1212,.bcxxxxaa+=−=16．已知关于x的一元二次方程2410x

xm−+−=的实数根12,xx，满足121235xxxx−−，则m的取值范围是_________．【答案】45m【解析】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等

式组，求得m的取值范围．解：由题意得：12124,1xxxxm+==−，所以121233(1)4xxxxm−−=−−，依题意得：2(4)4(1)03(1)45mm−−−−−，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的

关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程

没有实数根．17．已知,是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则()()222022120221++++=_____．【答案】1【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2

+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0

，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解和根与系

数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相

等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（b

m+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④．解：若方程两根为-1和2，则ca=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2

+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4

abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；

当Δ＜0，方程没有实数根．三、解答题19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10xx−−=；（2）(25)(1)7xxx++=+．【答案】（1）1213xx+=，1213xx=−；（2）123xx+=−，121xx=−．

【解析】【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,bcxxxxaa+=−=，求解即可．解：（1）原式整理为：2310xx−−=，∴3,1,1abc==−=−，∴1213bxxa+=−=，1213cxxa==−；（2）原式整理为：2310xx+−=，

∴1,3,1abc===−，∴123bxxa+=−=−，121cxxa==−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．已知关于x的方程22x2mxm90−+−=．(1)

求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x，2x，若126xx+=，求m的值．【答案】(1)见解析(2)3【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得122xxm+=即可找出

关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．(1)根据题意可知：22(2)4(9)360mm=−−=，∴方程有两个不相等的实数根；(2)有题意得：122xxm+=∴1226xxm+==，解得3m=【点睛】本题考查了

根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．21．在等腰ABC中，A、BÐ、C的对边分别是a、b、c；已知3a=，b、c分别是方程2120xxm−+=的两个根，试求ABC的周长．【答案】15

【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得12bc+=，分情况讨论：当a=3为其腰时，则b=a或c=a，得三角形三边为3，3，9，因为339+，所以不能构成三角形；当a=3为其底时，b=c，得6bc==，则周长为15；即可得ABC的周

长为15．解：∵b、c是关于x的方程2120xxm−+=的两个实数根，∴12bc+=，bcm=，当a=3为其腰时，则b=a或c=a，此时三角形三边为3，3，9，∵339+，∴不能构成三角形；当a=3为其底时，b=c，原方程有两个

相等的实数根，∴6bc==，此时三角形三边为6，6，3，周长为66315++=，综上，ABC的周长为15．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和一元二次方程．22．方程2250xxm−+−=是关于x的一元二次方程，该

方程的两个实数根分别为12,xx．（1）求m的取值范围；（2）若()21212100xxxx+++=，求m的值．【答案】（1）6m；（2）9m=−【解析】【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式Δ0，求解一元一次不等式即可；（2）根据根与系数的关系，求得1

2xx+，12xx，代入求解即可．解：（1）∵一元二次方程2250xxm−+−=有两个实数根，∴2Δ(2)4(5)0m=−−−，解得6m；（2）由根与系数的关系，可得12122,5xxxxm+==−，∵()2

1212100xxxx+++=，∴225100m+−+=，∴9m=−，符合题意，∴9m=−【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根的情况以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．23．设12,xx是一元

二次方程20(a0)++=axbxc的两根，（1）试推导1212,bcxxxxaa+=−=；（2）求代数式()()()3322121212axxbxxcxx+++++的值．【答案】（1）推导见解析；（2

）0．【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式表示出12,xx，再代入所求式子，即可推导出结论；（1）根据题意可得：2110axbxc++=，2220axbxc++=，然后将原式变形为()()32321

11222axbxcxaxbxcx+++++，从而得到()()22111222xaxbxcxaxbxc+++++，即可求解．解：（1）∵12,xx是一元二次方程20(a0)++=axbxc的两根，∴2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=，∴221244++=222bbacbb

acbbbxxaaaa−+−−−−−−==−；()()()222222212224444=2242bbacbbacbbacbbaccxxaaaaa−−−−+−−−−−+===；（2）∵12,xx是一元二次方程20(a0)++=axbxc的两根，∴2

110axbxc++=，2220axbxc++=，()()()3322121212axxbxxcxx+++++()()3232111222=axbxcxaxbxcx+++++()()22111222xaxbxcxaxbxc=+++++=0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数之

间的关系的推导过程和方程的解的定义求解，熟练掌握一元二次方程的求根公式，并理解一元二次方程解的含义是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．若和是关于x的方程210xbx+−=的两根，且2211

−−=−，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b−=−，代入2211−−=−得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵

和是关于x的方程210xbx+−=的两根，∴+=,1b−=−，∴222()1211b−−=−+=−+=−∴5b=−故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba，两根之积为ca是解题的关键．2．

关于x的方程()()221xxp−+=（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【解析】【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．解：由题意得：方程可化为2220xxp

−−−=，∴()()2222142184490ppp=−−−−=++=+，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为12,xx，则根据根与系数的关系可知：21220xxp=−−，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛

】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．3．若关于x的一元二次方程222410xmxmm−+−−=有两个实数根1x，2x，且()()121222217xxxx++−=，则m=（）A．2或6B．2或8

C．2D．6【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41xxmxxmm+==−−，把()()121222217xxxx++−=变形为12122()130xxxx+−−=，

再代入得方程28120mm−+=，求出m的值即可．解:∵关于x的一元二次方程222410xmxmm−+−−=有两个实数根,∴22=(2)4(41)0mmm−−−−,∴14m,−∵12xx，是方程222410xmxmm−+

−−=的两个实数根,∵212122,41xxmxxmm+==−−，又()()121222217xxxx++−=∴12122()130xxxx+−−=把212122,41xxmxxmm+==−−代入整理得,28120mm−+=解得,122,6mm==故选A【点睛】本题考查了根

的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130xxxx+−−=，找出关于m的一元二次方程．4．设1x，2x是关于x的一元二次方程2xxnmx+

+=的两个实数根．若120xx，则（）A．1,0mnB．1,0mnC．1,0mnD．1,0mn【答案】C【解析】【分析】先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关

系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根据120xx，得出m-1<0，n>0，即可求解．解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1-m）x+n=0，∵1x，2x是关于x的一元二次

方程2xxnmx++=的两个实数根．∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，∵120xx，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m-1<0，n>0，∴m<1，n>0，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与

系数的关系“1x，2x是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=-ba，x1x2=ca”是解题的关键．5．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成abcd，并规定abadbccd=−，例如242341213=−=，则331xxx

=−−的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【答案】C【解析】【分析】据题意，可以将方程331xxx=−−转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．解：∵方程331xxx=−−，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+3＝0，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程331xxx=−−两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．6．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（）A．2024B．﹣2

024C．2021D．﹣2021【答案】B【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2=−a+2021，再用a表示a3，得到a3=2022a−2021，所以原式变形为2024(a+b)，再根据一元二次方程根与的关系得到a+b=−1，利用整体代入法计算，即可求得．解：

∵a为x2+x﹣2021＝0的根，∴a2+a﹣2021＝0，即a2＝﹣a+2021，∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，∴a3+a2+3a+2024b

＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用

方程的解求代数式的值，熟练掌握和运用等式的恒等变式和一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．7．已知关于x的方程26(2)3920xxaxa−+−−+−=有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（）A．2a=−B．0aC．2a=−或a>0D．2

a−或a>0【答案】C【解析】解：原方程变形为23(2)320xaxa−+−−−=，这是一个以3x−为未知数的一元二次方程．当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解．所以关于3x−的一元二次方程有且只有1个大于

0的实数根．①当关于3x−的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，2=2)80aa−+=（，解得a=-2②当关于3x−的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时：()2280{201aaa−+−＞＜，解得即a

>0．综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2．8．若a≠b，且22410,410aabb−+=−+=则221111ab+++的值为（）A．14B．1C．.4D．3【答案】B【解析】解：由22410,410aabb−+=−+=得：2214,14aabb++==∴22111

111444abababab++=+=++又由22410,410aabb−+=−+=可以将a，b看做是方程2410xx−+=的两个根∴a+b=4，ab=1∴4=144abab+=1故答案为B.【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题

的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．9．已知两个关于x的一元二次方程22:0:0MaxbxcNcxbxa++=++=，，其中0acac，．下列结论错．误．的是（）A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有

一个正根和一个负根C．若5是方程M的一个根，则15是方程N的一个根D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1x=【答案】D【解析】【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-

4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，ca<0，所以a与c符号相反，ac<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以2

5，得125c+15b+a=0，所以15是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a

≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．10．关于x的一元二次方程2220xmxn++=有两个整

数根且乘积为正，关于y的一元二次方程2220ynym++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2mn−+−；③1221mn−−，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．

3个【答案】D【解析】【分析】设方程2220xmxn++=的两根为x1、x2，方程2220ynym++=同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确

；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可

得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．设方程2220xmxn++=的两根为x1、x2，方程2220ynym++=同的两根为y1、y2．①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+

2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关

于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•

y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x

1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选

D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．二、填空题11．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且2112xxxx+＝x12

+2x2﹣1，则k的值为_____．【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，推出222(1)1kk−

−−＝4﹣k，据此求解即可．解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，∴2121212()2xxx

xxx+−＝2（x1+x2）﹣k，∴222(1)1kk−−−＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符

合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．12．若a，b是一元二次方程2220220xx+−=的两个实

数根，则242aab++的值是_________．【答案】2018【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到222022aa+=，再根据根与系数的关系得到2ab+=−，然后利用整体代入的方法计算．解：∵a，b是一元二次方程2220220xx+−=的两个实数根，∴22202

20aa+−=∴222022aa+=∵a，b是一元二次方程2220220xx+−=的两个实数根，∴2ab+=−，∴242aab++2222aaab=+++()222aaab=+++()202222=+−2018=故答案为：2018．【点睛】本题考查的是一元二

次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．13．已知关于x的一元二次方程2410xxm−+−=的实数根12,xx，满足121235xxxx−−，则m的取值范围是_________．【答案】45m【解析】【分析】

根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．解：由题意得：12124,1xxxxm+==−，所以121233(1)4xxxxm−−=−−，依题意得：2(4)4(1)03(1)45mm−−−−−，解得4＜m≤5．故答案

是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元

二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．14．一元二次方程21xx+=的两根为x1，x2，12xx＋2x1x2＋21xx＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系解答即可．解

：由方程21xx+=得210xx+−=，∴x1+x2=ba−=-1，x1·x2=ca=1−，∵12xx＋2x1x2＋21xx=221212xxxx++2x1x2=()21212121222xxxxxxxx+−+2(1)2(1)2

(1)1−−−=+−−=-5故答案为：-5．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数之间的关系，解题关键是将代数式转化成含有两根的和与积的形式．15．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结

论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④当a+b＝ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是____________．【答案】①②④【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式即可判

断①；利用一元二次方程根与系数的关系即可判断②；利用一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式进行变形运算即可判断③；先将方程转化为210xabxab+−=−，再利用因式分解法解方程即可判断④．解：关于x的方程2()10xab

xab−++−=，此方程根的判别式为22)4(1)()44(ababab=+−−=−+−，此方程有两个不相等的实数根，12xx，结论①正确；由一元二次方程根与系数的关系得：121abbxax=−，结论②正确；由一元二次方程根与系数的关系得：1212,1xx

xxabab+=+=−，221212122()2xxxxxx+=+−，2()2(1)abab=+−−，22222abab=+++，则结论③错误；当abab+=时，方程可转化为210xabxab+−=−，即(1)(1)0xxab−−+=，解得1x=或1xab=−，即

当abab+=时，方程有一根为1，结论④正确；综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．16．若α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，且α2﹣α＋β＝5，α≠β，则k＝___．

【答案】3−【解析】【分析】由α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，可得,是方程220xxk−+=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系求得2+=，进而代入α2﹣α＋β＝5，即可求得k的值α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，,是方程220xxk−+=

的两根，2+=α2﹣α＋β＝5，α2﹣2α＝-k即225++=−，25k−+=解得3k=−故答案为：3−【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，求得2+=是解题的关键．1

7．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当

5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x34+=0是关于2的等距方程．【答案】①④##④①【解析】【分析】

①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2＝2

ba−，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即ba−＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22＝34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后

利用关于2的等距方程的定义进行判断．解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，故①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2nm=−，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣

2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝ba−，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|

＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2＝2ba−，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即ba−＝4，∴b＝﹣4a，故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错

误；④对于方程px2﹣x34+＝0有两根满足x1＝3x2，由韦达定理得：x1x2＝34p，x1+x2＝1p，∴x1x2＝34×1p＝34（x1+x2），∴3x22＝34（3x2+x2）＝3x2，∴x2＝1或x2＝0（舍去），∴x

1＝3x2＝3，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，即px2﹣x+34＝0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．

18．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程20(a0)++=axbxc的两实数根分别为12,xx，则方程可写成()()12axxxx0−−=，即()212120axakx

xaxx−++=，容易发现根与系数的关系：1212,bcxxxxaa+=−=．设一元三次方程320(0)axbxcxda+++=三个非零实数根分别123,,xxx，现给出以下结论：①123bxxxa++=−，②123bxxxa=

−；③122331cxxxxxxa++=；④123111cxxxd++=，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③【解析】【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为()()321231213231230axaxxxxaxxxxxxx

axxx−+++++−=，由此求解即可．解；∵一元三次方程320(0)axbxcxda+++=三个非零实数根分别123,,xxx，∴()()()1230axxxxxx−−−=，∴()()2121230axxxxxxxx−++−=，∴()()322121233

121230axaxxxaxxxaxxaxxxxaxxx−++−++−=，∴()()321231213231230axaxxxxaxxxxxxxaxxx−+++++−=，∴123bxxxa++=−，121323cxxxxxxa++=，123dxxxa=−，∴①③正确，②不正确；∵123111

xxx++231323123xxxxxxxxx++=ccaddd==−−，∴④不正确，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．三、解

答题19．已知关于x的方程()2211104xkxk−+++=有两个实数根(1)求k的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值．【答案】(1)32k(2)k＝4【解析】【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关

于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1•x2，利用已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．（1）∵关于x的方程()2211104xkxk−+++=有两个实数根，∴()2211412304kkk=−+−+=−

，解得32k；（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝k＋1，212114xxk=+，∵x12＋x22＝6x1x2-15，∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0，∴k2-2k-8

＝0，解得：k1＝4，k2＝-2，又∵32k，∴k＝4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键．20．已知ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程()222120xnxnn−−+−=的两个根，第三边BC的

长是10．(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)当n为何值时，ABC为等腰三角形？并求ABC的周长．(3)当n为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？【答案】(1)见解析(2)当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时

△ABC的周长为32；当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；(3)n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【解析】【分析】（1）计算判别式Δ＞0，即可得证；（2）根据△ABC是等腰

三角形，可知x=10是方程的一个根，代入方程，求出n，①当n=12时，②当n=10时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出△ABC的周长；（3）根据根与系数的关系，可得AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，求出n

的值，再检验即可确定n．(1)证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，∵

第三边BC的长是10，当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，解得n=12或10，①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，设等腰三角形的底为m，根据根与系数的关系，m+10=22，∴m=12，∴△A

BC的周长为：10+10+12=32；②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，设等腰三角形的底为n，根据根与系数的关系，10+n=18，解得n=8，∴△ABC的周长为10+10+8=28；综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△A

BC的周长为32；当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；(3)解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，∴AB+AC=2（n-1），AB•AC

=n2-2n，∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，∴AB2+AC2=BC2，即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，解得n=8或-6，当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，

符合题意，当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，

勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是

2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，

求代数式222223mmnnmn−++的值．【答案】(1)18(2)0或35【解析】【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．（4）根据定义可求出n=2m或n=12m，代入原式后即可求出答案；(1)由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9

x+c＝0的解，∴m+2m＝9，m•2m＝c，∴m＝3，c＝18，故答案为18；(2)由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和xnm=，∴nm=2或12nm=，当n＝2m时，22222

2222323244mmnnmmmmmnmm−+−+==++0，当n12=m时，22222222112323324154mmmmmmnnmnmm−+−+==++；故代数式222223mmnnmn−++的

值0或35．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．22．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结

论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b292−ac＝0；我们记“K＝b292−ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：(1)以下为倍根方程的是

；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程2203

xmxn−+=是倍根方程，求此倍根方程．【答案】(1)②(2)0(3)22303xx−+=【解析】【分析】（1）据倍根方程定义判断即可；（2）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-nm得到m=-n或m=-14n，从而

得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m2+5mn+n2=0；（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c=a（x-t）（x-2t）=ax2-3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2-92ac=0，据此求解可得．(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，

x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；(2)mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x

1＝2，x2nm=−，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴22nm=−或4nm=−，即m＝﹣n或m14=−n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；(3)

设其中一根为t，则另一个根为2t，则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，∴b292−ac＝0，∵x223mx−+n＝0是倍根方程，∴（m−）292−23n＝0，整理，得：m＝3n，∵A

（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此倍根方程为x23−x23+=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．23．阅读材料：材料1：若关于x的一

元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ba−，x1x2＝ca材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n

＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3

x－1＝0的两根分别为m、n，求nmmn+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求11st−的值．【答案】(1)32；12−(2)132−(3)17或17−【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根

与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32mn+=，12mn=−，然后将nmmn+进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32st+=，12st=−，然后求出s-t的值，然后将11st−进行变形求解即可．（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的

两个根为x1，x2，∴123322bxxa−+=−=−=，1212cxxa==−．故答案为：32；12−．（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴3322bmna−+=−=−=，12cmna==−，∴22nmmnmnmn++=()22mnmn

mn+−=23122212−−=−132=−（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴3322bsta−+=−=−=，12csta==−，∵()()224tstsst−=+−231422

=−−924=+174=∴172ts−=或172ts−=−，当172ts−=时，171121712tsstst−−===−−，当172ts−=−时，171121712tsstst−−−

===−，综上分析可知，11st−的值为17或17−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出172ts−=或172ts−=−，是解答本题的关键．24．材料一：若一个各位数字均不为零的自然数满足各位数字

之和不大于10，则称该数为“易数”．例如“1123”，因为1123710+++=，所以“1123”为“易数”．材料二：以三位数1mbc=中的b，c构造一元二次方程20xbxc++=，若该方程有两个实数根．．．．．．．．．．12,xx，则称()()129595nxx=++为m

的“系数关联数”．(1)一个各位数字均不相等的四位数k它是“易数”，请直接写出满足该条件的最小易数______和最大易数______；(2)请将材料二中的“系数关联数”n用字母b、c表示出来；(3)已知一个三位数1tbc=为易数，t的“系数关联数”n为8的倍数，求满足条件的所有三位

数t．【答案】(1)1234，4321；(2)814525ncb=−+；(3)114或121或136或143或172．【解析】【分析】（1）根据“易数”的定义直接写出即可；（2）根据根与系数的关系可得12xxb+=−，12xxc=，然后将“系数关

联数”n展开后计算即可；（3）根据易数的定义以及n为8的倍数求出满足条件的b和c的值即可．(1)解：由题意可知，满足条件的最小易数是1234，最大易数是4321；故答案为：1234，4321；(2)∵一元二次方程20xbxc++=有两个实数根1x、2x，∴12xxb+=−，12xxc=

，∴()()()1212129595814525814525nxxxxxxcb=++=+++=−+；(3)由题意得：9bc+，814525ncb=−+，∵n为8的倍数，∴当b＝1时，18c，满足n是8的倍数时

c＝4；当b＝2时，17c，满足n是8的倍数时c＝1；当b＝3时，16c，满足n是8的倍数时c＝6；当b＝4时，15c，满足n是8的倍数时c＝3；当b＝5时，14c，满足n是8的倍数的c不存在；当b＝6时，13c

，满足n是8的倍数的c不存在；当b＝7时，12c，满足n是8的倍数时c＝2；当b＝8时，11c，满足n是8的倍数的c不存在；∴满足条件的所有三位数t为：114或121或136或143或172．【点睛】本题考查了新定义以及一元二次方程根与

系数的关系，正确理解新定义是解题的关键．25．阅读材料：材料1：若一元二次方程()200++=axbxca的两个根为1x，2x则12bxxa+=−，12cxxa=．材料2：已知实数m，n满足210mm−−=，21

0nn−−=，且mn，求nmmn+的值．解：由题知m，n是方程210xx−−=的两个不相等的实数根，根据材料1得1mn+=，1mn=−，所以()22221231mnmnnmmnmnmnmn+−+++====

−−根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程251010xx+−=的两个根为1x，2x，则12xx+=___________，12xx=____________．(2)类比探究：已知实数m，n

满足27710mm−−=，27710nn−−=，且mn，求22mnmn+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足27710ss++=，2770tt++=，且1st．求272stst++的值．【答案】(1)2−；15−

；(2)17−；(3)-1【解析】【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；（2）由题意得出m、n可看作方程27710xx−−=，据此知1mn+=，17mn=−，将其代入计算可得；（3）把2770tt++=变形为2111770tt++=，据此可得实数s和1t可看作方程277

10xx++=的两根，继而知11st+=−，117st=，进一步代入计算可得．（1）121025xx+=−=−，1215xx=−；故答案为2−；15−；（2）27710mm−−=，27710nn−−=，且mn，m、n可看作方程27710xx−−=，1mn+=，17m

n=−，2211()177mnmnmnmn+=+=−=−；（3）把2770tt++=变形为2111770tt++=，实数s和1t可看作方程27710xx++=的两根，11st+=−，117st=，272stst++227sstt=++

12()7sstt=++()12177=−+1=−．【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知

关于x的一元二次方程220xxa−−=的两根分别记为1x，2x，若11x=−，则2212axx−−的值为（）A．7B．7−C．6D．6−【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系求出2x=3，a=3，再

求代数式的值即．解：∵一元二次方程220xxa−−=的两根分别记为1x，2x，∴1x+2x=2，∵11x=−，∴2x=3，∴1x·2x=-a=-3，∴a=3，∴22123917axx−−=−−=−．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的

根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若12,xx是方程2230xx−−=的两个实数根，则212xx的值为（）A．3或9−B．3−或9C．3或6−D．3−或6【答案

】A【解析】【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230xx−−=进行分类讨论即可得出答案．解：∵2230xx−−=，∴12331xx−==−，()()130xx+−=,则两根为：3或-1，当23x=时，212212239xxxxxx==−−=gg，当21x=−时，2121222··33xx

xxxx==−=，故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x，2x是方程220220xx−−=的两个实数根，则代数式321122022−+xxx的值是（

）A．4045B．4044C．2022D．1【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．解：解：∵1x，2x是方程220220xx−−=的两个实数根，∴2112022xx−=，122022xx=−，121xx=+32

1122022−+xxx()()()2222211212121220222122022xxxxxxxxx=−+=+=+−=−−4045=故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．4．（2018·山

东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程()2204mmxmx−++=有两个不相等的实数根x1，x2．若12114mxx+=，则m的值是（）A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式>0，得出关于m的不等式组，解之得出m的

取值范围，再根据根与系数的关系可得出122mxxm++=，1214xx=，结合12114mxx+=，即可求出m的值．解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+4m=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴20Δ(2)404mm

mm=+−，解得：m>−1且m≠0，∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+4m=0的两个实数根，∴122mxxm++=，1214xx=，∵12114mxx+=，∴2144mmm+=，∴m=2或−1，∵m>

−1，∴m=2．故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式>0，找出关于m的不等式组；(2)牢记12bxxa+=−，

12cxxa=．5．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为12,xx，且22125xx+=，则k的值是（）A．－2B．2C．－1D．1【答案】D【解析】【分析】利用根与系数

的关系得出12xxk+=，123xxk=−，进而得出关于k的一元二次方程求出即可．解：关于x的一元二次方程230xkxk−+−=的两个实数根分别为1x，2x，12xxk+=，123xxk=−，22125xx+=，21212()25x

xxx+−=，22(3)5kk−−=，整理得出：2210kk−+=，解得：121kk==，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0axbxca++=?，a，b，c为常数）根与系数的关系：12bxxa+=−，12cxxa=．

6．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程222410xmxmm−+−−=有两个实数根1x，2x，且()()121222217xxxx++−=，则m=（）A．2或6B．2或8C．2D．6【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据

一元二次方程根与系数的关系得出212122,41xxmxxmm+==−−，把()()121222217xxxx++−=变形为12122()130xxxx+−−=，再代入得方程28120mm−+=，求出m的值即可．解:∵关于x的一元二次方程222410xmxmm−+−−=有两个实数根,

∴22=(2)4(41)0mmm−−−−,∴14m,−∵12xx，是方程222410xmxmm−+−−=的两个实数根,∵212122,41xxmxxmm+==−−，又()()121222217xxxx++−=∴12122()130xxxx+−−=把212122,41xxmxxmm+==−−代

入整理得,28120mm−+=解得,122,6mm==故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合1

2122()130xxxx+−−=，找出关于m的一元二次方程．7．（2021·四川南充·中考真题）已知方程2202110xx−+=的两根分别为1x，2x，则2122021xx−的值为（）A．1B．1−C

．2021D．2021−【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120211xx=−，121xx=，再代入通分计算即可求解．∵方程2202110xx−+=的两根分别为1x，2x，∴211202110xx−+=，121xx=，∴211202

11xx=−，∴2122021xx−=21202112021xx−−=1222220011222xxxxx−−=22202112021xx−−=22xx−=-1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．

8．（2015·湖南株洲·中考真题）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是()A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么

方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1【答案】D【解析】解：A、∵M有两个不相等的实数根，∴△＞0即240bac−而此时N的判别式△＝240bac−，

故它也有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；B、M的两根符号相同：即120cxxa=，而N的两根之积＝ac也大于0，故N的两个根也是同号的，故此选项不符合题意；C、如果5是M的一个根，则有：2550abc++=①，我们只需要考虑将15代

入N方程看是否成立，代入得：110255cba++=②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项不符合题意；D、比较方程M与N可得：220axbxccxbxa++−−−=

，∴()2acxac−=−，∵a·c≠0，a≠c，∴21x=，故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1，故此选项符合题意；二、填空题9．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b

，则11ab+的值为_____．【答案】43【解析】【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程2430xx−+=的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据11ababab++=进行求解即可．解：∵a、b分别满足a2﹣4a

+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程2430xx−+=的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴1143ababab++==，故答案为：43．【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．10．（2021·江苏

泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为___．【答案】2．【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到12121,1xxxx+==−，然后利用整体代入

的方法计算即可．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，∴12121,1xxxx+==−，∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,xx为一元二

次方程20(a0)++=axbxc的两个根，则有1212,bcxxxxaa+=−=，熟记知识点是解题的关键．11．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程2310xx+−=的两个实数根，则3231mmnm+−的值为___________．【答案】3【解析】【分

析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，∴m+n

=-3，∴3222()33)1(mnmnmmnmmm+=−−++==−，故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程20axbxc++=(0a)的两根时，12bxxa+

=−，12cxxa=．也考查了一元二次方程的解．12．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，则k的值为_____．【答案】2【解析】【分析】根据一元

二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，推出222(1)1kk−−−＝4﹣k，据此求解即可．解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+

x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵2112xxxx+＝x12+2x2﹣1，∴2121212()2xxxxxx+−＝2（x1+x2）﹣k，∴222(1)1kk−−−＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥

0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．13．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程2

280xx+−=的两根为12,xx，则2112122xxxxxx++=________________【答案】372−【解析】【分析】根据根与系数的关系表示出12xx+和12xx即可；∵2280xx+−=，∴1a=，2b=，8c=−，∴12=

-2bxxa+=−，12==-8cxxa，∴2221211212121222+++=+xxxxxxxxxxxx，=()21212121222+−+xxxxxxxx，=()()()2228372882−−−+−=−−．故答案为372−．【点睛】本

题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．14．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“*”，22()*()aababababbab−=−„例如4*2，因为42，所以24*24428=−=．若12,xx是一元二次方程2

8160xx−+=的两个根，则12*xx=_________．【答案】0【解析】【分析】求出28160xx−+=的解，代入新定义对应的表达式即可求解．解：28160xx−+=，解得：4x=，即124xx==，则212122*16160

xxxxx=•−=−=，故答案为：0．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．三、解答题15．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程()222110xkxk++++=有两个不等实数根1x，2x．(1)求k的取值范围；(2)若125x

x=，求k的值．【答案】(1)34k(2)2【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215xxk=+=，再结合（1）的结论即可得．（1）解：

关于x的一元二次方程()222110xkxk++++=有两个不等实数根，此方程根的判别式()()2221410kk=+−+，解得34k．（2）解：由题意得：21215xxk=+=，解得2k=−或2k=，由（1）已

得：34k，则k的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．16．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程2320xxk++−=有实数根．(1)求实数

k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,xx，若()()12111xx++=−，求k的值．【答案】(1)k174；(2)k=3【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0

，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2xxxxk−+==−，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．（1）解：∵一元二次方程2320xxk++−=有实数根．∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k174（2）∵方程的两个实数根分别为12,xx，∴12123,2xxxxk−+

==−，∵()()12111xx++=−，∴121211xxxx+++=−，∴2311k−−+=−，解得k=3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知

识是解题的关键．17．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程220xxk+−=有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求111aab−++的值．【

答案】（1）k>-1；（2）1【解析】【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.解：（1）由题意得∆=4+4k>0，∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k，∴11

1aab−++=()()()()1111abaab+−+++=11ababab−+++=121kk−−−−+=1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系

，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：12bxxa+=−，12cxxa=．18．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋

x2＝ba−，x1x2＝ca材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合

你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nmmn+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2

t2－3t－1＝0，且s≠t，求11st−的值．【答案】(1)32；12−(2)132−(3)17或17−【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32mn+=，12mn=−，然后将nmmn+进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先

求出32st+=，12st=−，然后求出s-t的值，然后将11st−进行变形求解即可．（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴123322bxxa−+=−=−=，1212cx

xa==−．故答案为：32；12−．（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴3322bmna−+=−=−=，12cmna==−，∴22nmmnmnmn++=()22mnmnmn+−

=23122212−−=−132=−（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴3322bsta−+=−=−=，12csta==−，

∵()()224tstsst−=+−231422=−−924=+174=∴172ts−=或172ts−=−，当172ts−=时，171121712tsstst−−===−−，当172ts−=−时，171121712tsstst−−−===−，综上

分析可知，11st−的值为17或17−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出172ts−=或172ts−=−，是解答本题的关键．获得更多资源请扫

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