【文档说明】《辽宁中考真题数学》2022年辽宁省丹东市中考数学真题（解析版）.pdf，共(30)页，717.622 KB，由envi的店铺上传

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2022年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题1.－7的绝对值是（）A.7B.－7C.17D.17【答案】A【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可求解．【详解】解：－7的绝对值是7，故答案选：A．【点睛】本题考查绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是

它的相反数，0的绝对值是0．2.下列运算正确的是（）A.a2•a3＝a6B.（a2）3＝a5C.（ab）3＝a3b3D.a8÷a2＝a4【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算、同底数幂乘方运算、积的乘方、幂的除法运算法则，对选项进行逐一计算即可．【详解】解：a2•a3＝

a5，A选项错误；（a2）3＝a6，B选项错误；（ab）3＝a3b3，C选项正确；a8÷a2＝a6，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的基本运算，解题关键在于要注意指数在计算过程中是相加还是相乘．3.如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是

（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】从左边看该组合体，所得到的图形即为左视图．【详解】解：从左边看到第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，看到的图形如下：故选：A．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，把从左边看到的图形画

出来是解题的关键．4.四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（）A.14B.12C.34D.1【答案】A【解析】【

分析】正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公式直接求解即可求得概率．【详解】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性

是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是14，故选：A．【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．5.在函数y＝3xx中，自变量x的取值范围是（）A.x≥3B.x≥﹣3C.x≥3且x≠0D.x

≥﹣3且x≠0【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故选：D．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的

关键．6.如图，直线l1//l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A.32°B.38°C.48°D.52°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据

三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用

，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.

46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可．【详解】解：∵s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，∴s甲2＜s丙2＜s丁2＜s

乙2，∴成绩最稳定的是甲，故选：A．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动

越小，数据越稳定．8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则BC的长为（）A.6πB.2πC.32πD.π【答案】D【解析】【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答

案即可．【详解】解：∵直径AB=6，∴半径OB=3，∵圆周角∠A=30°，∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，∴BC的长是603180=π，故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是180nrπ．9.如图，

抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象

经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝66．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝

﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．

利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴是直线x＝2，∴﹣2ba＝2，∴b＝﹣4a＜0∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵b＝﹣4a，a＞0，∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，

故③错误，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，∵b＜0，∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，∴M（2，﹣9

a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．∵AM⊥CM，∴∠AMC＝∠KMH＝90°，∴∠CMH＝∠KMA，∵∠MHC＝∠MKA＝90°，∴△MHC∽△MKA，∴MHMK＝CH

AK，∴29a＝43a，∴a2＝16，∵a＞0，∴a＝66，故⑤正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题10.美丽的丹东山清水秀，水资源丰富．2021年水资源总量约为126000

00000立方米，数据12600000000用科学记数法表示为______．【答案】1.26×1010【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：12600000000=1.26×1010．故答案为：1.26×1010．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，

其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.因式分解：2a2＋4a＋2＝___________．【答案】2（a＋1）2【解析】【分析】先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解

.【详解】2a2＋4a＋2=2（a2＋2a＋1）=2（a＋1）2故答案为：2（a＋1）2【点睛】考核知识点：因式分解.掌握提公因式法和公式法是解题关键.12.若关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．【答案】m≤94【解

析】【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围．【详解】∵方程x2+3x+m=0有实数根，∴△=32-4m≥0，解得：m≤94．故答案为m≤94．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合跟

的判别式得出不等式．13.某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是______本．【答案】350【解析】【分析】根据中位数的概念求解即可．【详解】解：将数据200，300，400，200，

500，550按照从小到大的顺序排列为：200，200，300，400，500，550．则其中位数为：3004002＝350．故答案为：350．【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据

的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．14.不等式组5123xx的解集为______．【答案】1.5＜x＜6【解析】【分析】先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分．【详解】解：解不等式51x得：6x，解不等式23x得：1.5x，所以不等式组的解集为：

1.5＜x＜6，故答案为：1.5＜x＜6．【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练解一元一次不等式是解题的关键．15.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______．【

答案】25【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD．【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，∴AC=22ABBC=2248=45，由作图可知，PQ垂直平分线段AC，∴AD=DC=12AC=25，故答案为：25．【点睛】本题考查作

图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．16.如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是

7，则k=______．【答案】-4【解析】【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，∴AB⊥x轴，∴S△AOD=12|k|，S△BOD=132=32，∴S△AOB=S△AOD

+S△BOD=12|k|+32，∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，∵平行四边形OABC的面积是7，∴|k|=4，∵在第四象限，∴k=-4，故答案为：-4．【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，

这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|是解答此题的关键．17.如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（

不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为25﹣23．

其中正确的是______．（请填写序号）【答案】①②【解析】【分析】①证明△ABC是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件；②可推出点G是AD的中点，可以得出S△COD＝S△AOD＝2S△DOG，根据点O是BD的中点，可以得到S△BOG＝S△DOG，进一步得出结果；③根据AB

∥CD得出CGCFABAF，从而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；④可推出∠BPC＝120°，从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的BC上运动，当点O、P、I共线时，OP最小．【详解】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝

BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，ABBCBACABCAFBE，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣A

F＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴AGAFBCCF，∴264AG，∴AG＝3，∴AG＝12AD，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△COG＝2S△BOG，∴∴

S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴CGCFABAF，∴264CG，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，

由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝32BC＝33

，∴PI＝IH＝2233HM，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝22OCCI＝223(23)＝21，∴OP最小＝OI﹣PI＝21﹣23，故④不正确，故答案为：①②．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，

全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件等知识，解决问题的关键熟练掌握“定弦对定角”等模型．三、解答题18.先化简，再求值：224xx÷24xx﹣1x，其中x＝sin45°．【答案】1x，

2．【解析】【分析】根据分式的运算法则进行化简，化简后代入即可得出答案．【详解】解：原式＝2(2)(2)xxx2(2)xx﹣1x＝2x﹣1x＝1x，当x＝sin45°＝22时，则1=2x，所以原式＝2．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记特殊

角的三角函数值也是解题的关键．19.为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：小时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，

根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取_____人，条形统计图中的m＝______；（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计

该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）1

00，42（2）72°；补图见解析（3）估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；（4）23【解析】【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以C所占的百分比，即可得出m的值；（2）用360°乘以B组所占的百分比，求出B组的圆心角度

数，再用总人数乘以B所占的百分比，即可得出B组的人数；（3）用该校的总人数乘以达到3小时及3小时以上的学生所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率

公式求解．【小问1详解】解：这次抽样调查共抽取的人数有：28÷28%=100（人），m=100×42%=42，故答案为：100，42；【小问2详解】解：B组所在扇形圆心角的度数是：360°×20%=72°；B组的人数有：100×20%=20（人），补全统计图如下：；【小问3详解】解

：根据题意得：960×（42%+28%）=672（人），答：估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；【小问4详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为821

23．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、解答题20.为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10

000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【解析】【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．【详解】

解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点睛】本题考查了分式

方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．21.如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的

位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝35，CE＝5，求⊙O的半径．【答案】（1）CD是⊙O的切线，理由见解析（2）⊙O的半径为256【解析】【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2

）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【小问1详解】解：结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OC

B＝∠CBE，∴OC//BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；【小问2详解】设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°

，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝DECE＝35，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝256，∴⊙O的半径为256．【点睛】本题考查解直角三

角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．五、解答题22.如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏

西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33

．）【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里【解析】【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△AD

E中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt

△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=sin53AE≈640.8=80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．【

点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．六、解答题23.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时

间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2

）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+160（2）销售单价应定为50元（3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1

248元【解析】【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售

单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【小问1详解】解：设每天的销售数量y（件）与销售单

价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35904080kbkb，解得2160kb，∴y＝﹣2x+160；【小问2详解】根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝120

0，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；【小问3详解】设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣480

0＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【点睛】本题考查一次函数

，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．七、解答题24.已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．（1）如图1，当ADAB＝AG

AE＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；（2）如图2，当ADAB＝AGAE＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，N

D，若AB＝5，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG（2）BE＝12DG，BE⊥DG，理由见解析（3）S△MNG＝94【解析】【分析】（1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论

；（2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论；（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2）2DGBE可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果．【小问1

详解】解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠A

DG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；【小问2详解】BE＝12DG，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵ADAB＝AGAE＝2，∴△BAE∽△DAG，∴2DGADBEAB，

∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；【小问3详解】如图，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝2AHADBHAB，∴设AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（5

）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝AHEH，∴tan451AHEH，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝2222(5)(25)ABAD＝5，∴DE＝BD﹣B

E＝5﹣3＝2，由（2）得：2DGBE，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝12BEDG＝1362＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，∴DM＝GM＝

11,22BGDNGNEG，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵MN是△BEG的中位线，∴MN∥BE，∴△BEG∽△MNG，∴MNGBEGSS＝（GMGB）2＝14，∴S△MNG＝S△MNG＝14S△BEG＝94．【点睛

】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法．八、解答题25.如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P

作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；（4）如图3，连接CP，当四边形O

CPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y＝14x2+x+3（2）h＝14m2+32m（0＜m＜6）（3）m＝1（4）点Q的坐标为（2，13）或（2，﹣1）或（2，4）【

解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣12x+3，设点P的横坐标为m，则P（m，14m2+m+3），E（m，﹣12m+3），即可得出h＝14m2+32m；（3）

如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，可证得△BOC∽△PFE，得出EFPE＝OCBC，可求得EF＝55（14m2+32m），再由△CEH∽△CBO，可得CEEH＝BCOB，求得CE＝52m，结

合CF＝EF，可得EF＝12CE＝54m，建立方程求解即可得出答案；（4）设Q（2，t），分两种情况：①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，③当点O′恰好落在该矩形对角

线DC延长线上时，分别求出点Q的坐标即可．【小问1详解】解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，∴4203660acac，解得：143ac，∴抛物线

的表达式为y＝14x2+x+3；【小问2详解】解：∵抛物线y＝14x2+x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：603kbb，解得：123kb，∴直线BC的解析式为y＝﹣12x+3，设点P的横坐

标为m，则P（m，14m2+m+3），E（m，﹣12m+3），∴h＝14m2+m+3﹣（﹣12m+3）＝14m2+32m，∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，∴0＜m＜6，∴h＝14m2+32m（0＜m＜6）；【小问3详解】解：如图，过点

E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，∵P（m，14m2+m+3），E（m，﹣12m+3），∴PE＝14m2+32m，∵PF⊥CE，∴∠EPF+∠PEF＝90°，∵PD⊥x轴，∴∠EBD+∠BED＝90°，又

∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴EFPE＝OCBC，在Rt△BOC中，BC＝22OBOC＝2263＝35，∴EF＝OCBC×PE＝335（14m2+32m）＝55（14m2+32m），∵EH⊥y轴，PD⊥

x轴，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH//x轴，∴△CEH∽△CBO，∴CEEH＝BCOB，即CEm＝356，∴CE＝52m，∵CF＝EF，∴EF＝12CE＝54m，∴54m＝55（14m2+32m），解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴

m＝1；【小问4详解】解：∵抛物线y＝14x2+x+3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣112()4＝2，∵点Q在抛物线的对称轴上，∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，

如图，则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，∴∠COP+∠OCQ＝90°，又∵四边形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝CPOC＝43，∴GQCG＝tan∠PCQ＝43，∴32t＝

43，解得：t＝13，∴Q（2，13）；②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，∵点O与点O′关于直线CQ对称，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH//OC，∴∠CQG

＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，∴点K是CD的中点，∴K（2，32），∴GK＝32，∴CK＝KQ＝32﹣t，在Rt△CKG中，CG2+G

K2＝CK2，∴22+（32）2＝（32﹣t）2，解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，∴Q（2，﹣1）；③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，∵点O与点O′关于直线CQ对称

，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴OKOD＝CKCO＝COCD，即4OK＝3CK＝35，∴O′K＝125，CK＝9

5，∴OK＝OC+CK＝3+95＝245，∴O′（﹣125，245），∵点M是OO′的中点，∴M（﹣65，125），设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，则612553kbb，解得：123

kb，∴直线CQ的解析式为y＝12x+3，当x＝2时，y＝12×2+3＝4，∴Q（2，4）；综上所述，点Q的坐标为（2，13）或（2，﹣1）或（2，4）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性

质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com