【文档说明】专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）.docx，共(59)页，1.390 MB，由envi的店铺上传

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专题22.9二次函数中的最值问题【八大题型】【人教版】【题型1已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】........................................................................

....1【题型2已知含参二次函数的对称轴及最值求参】............................................................................................4

【题型3已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】................................................................................6【题型4二次函数中求线段最值】........

.............................................................................................................10【题型5二次函数中求线段和差最值】......

.......................................................................................................18【题型6二次函数中求周长最值】...........

..........................................................................................................31【题型7二次函数中求面积最值】..........................

...........................................................................................41【题型8二次函数在新定义中求最值】.........................

....................................................................................51【知识点1二次函数的最值】1.对于二次函数2(0)yaxbxca=++在mxn≤≤上的最值

问题（其中a、b、c、m和n均为定值，maxy表示y的最大值，miny表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在2bxa=−时，取到最小值，无最大值．（2）若2bna−，如图②，当xm=，maxyy=；当xn=，minyy=．（3）若2bma−，如图

③，当，xm=minyy=；当xn=，maxyy=．（4）若2bmna−≤≤，22bbnmaa+−−，如图④，当2bxa=−，minyy=；当xn=，maxyy=．2.对于二次函数2(0)yaxbxca=++，在mxn（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，

n与2ba−的大小．【题型1已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为15+m（用x=-b2ax=-b2ax=

-b2ax=-b2a④③②①含m的式子表示）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时

，有最小值，∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m．【变式1-1】（2022秋•河

西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：∵y＝x

2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，故选：B．【变式1-2】（2022秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过

程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然

后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：∵二次函数y＝x2，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，∵﹣1≤x≤2，∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，当x＝2时取得最大值，此时y＝4，由上可得，当﹣1≤x≤1时，函

数y的最小值是0，最大值是4．【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，

使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．【分析】（1）由对称轴−𝑏2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可求解析式；（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，

y有最大值21；（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2−1312，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，∴−𝑏2=

1，∴b＝﹣2，∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），∴9﹣6﹣c＝0，∴c＝3，∴b+c＝1；（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵﹣4≤x≤3，∴当x＝﹣4时，

y有最大值21；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物

线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2−1312，∴当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为−1312．【题型2已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022

•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±16B．−16或12C．−16或23D．16或2【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx可

得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=12，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x≤3时，函数

在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m=−16，即可求解．【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，∴对称轴为x=−𝑏2𝑎=4𝑚2𝑚=2，①当m＞0时，∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入

y＝mx2﹣4mx中，解得：m=12，②当m＜0时，∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m=−16，综上，m的值为12或−16，故选：B．

【变式2-1】（2022秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为2．【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝﹣1，所以可得0≤x≤1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答．【解答】解

：∵y＝x2+2x+2a+3＝x2+2x+1+2a+2＝（x+1）2+2a+2，∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口方向向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤1时，y的最大值为10，∴当x＝1时，y＝10，把x＝1时，y＝

10代入y＝x2+2x+2a+3中可得：1+2+2a+3＝10，∴a＝2，故答案为：2．【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，

则a+c的值为（）A．3B．9C．293D．253【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．【解答】解：∵二次函数y＝

ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=−−2𝑎2𝑎=1，∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，∵当﹣1≤x≤2时

，y有最小值7，最大值11，∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，∴a+c＝9，故选：B．【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值

为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6B．2C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×𝑐−𝑏24×1=−3，−𝑏2＞

0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入4×1×𝑐−𝑏24×1=−3，即可得到b的值．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，∴该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×𝑐−𝑏24×1=−3，−𝑏2＞0，

∴b＜0，∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，将c＝﹣2代入4×1×𝑐−𝑏24×1=−3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，故选：C．【题型3已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例

3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵y＝﹣x2+

4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，∴2≤m≤4，故选：C．

【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）．【分析】分四种情况讨论：①当m+3≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；②当m+32＜−2＜m

+3时，即﹣4＜m＜﹣3，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；③当m＜﹣2≤m+32时，即﹣3≤m＜﹣2，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7；④当m≥﹣2时，y的最小值为﹣m2﹣8m﹣7，【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+5＝

﹣（x+2）2+9，∴对称轴为直线x＝﹣2，当m≥﹣2时，则当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，当m＜﹣2＜m+3时，即﹣5＜m＜﹣2，当对称轴位于范围内时，谁离对

称轴远，谁就小，若m+3+2≥﹣2﹣m，即−72≤m＜﹣2时，当x＝m+3时，y有最小值为﹣（m+3）2﹣4（m+3）+5＝﹣m2﹣10m﹣16，当m+3+2＜﹣2﹣m，即﹣5＜m＜−72时，当x＝m时

，y有最小值为﹣m2﹣4m+5，当m+3+2≤﹣2时，即m≤﹣5，y的最小值为﹣m2﹣4m+5；综上所述：m≥−72时y的最小值为﹣m2﹣10m﹣16；当m＜−72时，y的最小值为﹣m2﹣4m+5．【变

式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，

4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围．【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成a的代数式，再将抛物线的解析式

化成顶点式，便可求得顶点坐标；（2）分x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；（3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围．【解答】解：（

1）把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得，9a+3b﹣3a＝0，∴b＝﹣2a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a）；（2）∵a＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+

8，∴对称轴为直线：x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，∵当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，∴①当x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧时，有{−2(𝑡−2−1)2+8=6𝑡

−2＞1，解得t＝4，②当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧时，有{−2(𝑡−1)2+8=6𝑡＜1，解得t＝0，③当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，综上，t的值为0或4；（3））∵点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，

得到点B，∴B（3，4），∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0），若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，当

抛物线经过点A时，为一种临界情况，将A（0，4）代入，4＝0﹣0﹣3a，解得a＝−43，当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，∴﹣4a＝4，解得a＝﹣1，∴−43≤a＜﹣1．【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为

（﹣1，0），且经过点（2，c）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．（2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值．【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x

轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t≤2﹣t，确定t≤1，2﹣t≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N＝1，令y＝1求出值．【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c）和（0，c），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3.0）

；（2）∵与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴{0=−1−𝑏+𝑐−𝑏2×(−1)=1，解得：{𝑏=2𝑐=3，∴y＝﹣x2+2x+3．∵t≤x≤2﹣t，∴t≤1，2﹣t≥1．∴当

t≤x≤2﹣t时，当x＝1时取得最大值4，即M＝4，当x＝t或x＝2﹣t时取得最小值N，∵M﹣N＝3，∴N＝1．令y＝l得，1＝﹣t2+2t+3，解得t1=√3+1（舍），t2=−√3+1，∴t=−√3+

1．令y＝l得，1＝﹣（2﹣t）2+2（2﹣t）+3，解得t1=√3+1（舍），t2=−√3+1．∴t=−√3+1．综上：t=−√3+1．【题型4二次函数中求线段最值】【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x

轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请

说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；（3）过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t﹣2），则

E（t，﹣t﹣2），则PE＝﹣（t+1）2+1，当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴{𝑎+𝑏−2=04𝑎−2𝑏−2=0，解得{𝑎=1𝑏=1，∴y＝x2

+x﹣2；（2）∵A、B关于抛物线的对称轴对称，∴AM＝BM，∴MB+MC≥AM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝2√2，∴MB

+MC的最小值为2√2；（3）线段PQ存在最大值，理由如下：过点P作PE∥y轴交AC于E，当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴{−2𝑘+𝑏=0𝑏=−2，解得{𝑘=−1𝑏=−2，∴y＝﹣x

﹣2，设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2），∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，∴当t＝﹣1时，PE有最大值，此时P（﹣1，﹣2）．【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y

轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角

三角形时，直接写出点F的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣

（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，

分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则{−4𝑘+𝑏=0𝑏=−8，解得：{𝑘=

−2𝑏=−8，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4

；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+

CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4−√19，n2＝﹣4+√19，∴F（﹣1，﹣4−√19）或（﹣1，﹣4+√19）；②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：

n=32，∴F（﹣1，32）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n=−172，∴F（﹣1，−172）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4−√19）或（﹣

1，﹣4+√19）或（﹣1，32）或（﹣1，−172）．【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．（1）求抛

物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不

存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM＝﹣（t−32）2+94，当t=32时，PM最长为94，再求△ABM的面积即可；（3）根据题意，分两种情况讨论；①当PB

为平行四边形的对角线时，此时t无解；②当PO为平行四边形的对角线时，此时P（3+√212，3−√212）或（3−√212，3+√212）．【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴{−9+3𝑏+𝑐=0𝑐=3，解得{𝑏=2𝑐=3，∴y＝

﹣x2+2x+3；（2）设线AB的解析式为y＝kx+b，∴{𝑏=33𝑘+𝑏=0，解得{𝑘=−1𝑏=3，∴y＝﹣x+3，∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t−32）2+94，当t=32时，PM最长为9

4，此时S△ABM=12×3×94=278；（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），①当PB为平行四边形的对角线

时，﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，此时t无解；②当PO为平行四边形的对角线时，﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，解得t=3+√212或t=3−√212，∴P（3+√212，3−√212）或（3−√212，3+√212）；综上所述：P点坐标为

（3+√212，3−√212）或（3−√212，3+√212）．【变式4-3】（2022春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；（1

）过点P作PE⊥AC于点E，求√22PE的最大值及此时点P的坐标；（2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．【

分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），应用二次函数最值可得线段PD的最大值，证明△PDE是

等腰直角三角形，可得出√2PE＝PD，即可求得答案；（2）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM；②若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性

质求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，∴{16𝑎+4𝑏+4=0𝑎+𝑏+4=0，解得：{𝑎=−1𝑏=−3，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，∵二次函数y＝

﹣x2﹣3x+4与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+4，∵直线AC经过点A（﹣4，0），∴0＝﹣4k+4，解得：k＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于

点D，设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则D（x，x+4），∴PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝＝﹣（x+2）2+4，∴当x＝﹣2时，PD最大，最大值是4．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝O

C，∴∠OAC＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠ADF＝∠PDE＝45°，∵PE⊥AC，∴△PDE是等腰直角三角形，∴√2PE＝PD，∴√22PE=12PD，∴√22PE的最大值为12PD=12×4＝2，此时点P的坐标为（﹣2，6）；（2）由平移可求得平移后函数解析式为y'＝﹣（x+4﹣4

）（x﹣1﹣4）＝﹣x2+5x，对称轴为x=52，分两种情况：①若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1A＝N2A＝CM=52，∵A（﹣4，0），∴点N的坐标为（−32，0）或（−132，0）；②若CM不

平行于x轴，如图，设M（52，m），N（n，0），∵A（﹣4，0），C（0，4），∴﹣4+n＝0+52，∴n=132，∴点N的坐标为（132，0）；综上，点N的坐标为（−32，0）或（−132，0）或（132，0）．【题型5二次

函数中求线段和差最值】【例5】（2022春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接

AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值．【分析】（1）提取二次

项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x＝0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|

NP﹣BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．【解答】解：（1）∵y=−34x2−94x+3=−34（x+4）（x﹣1）=−34（x+32）2+7516，∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线x=−32；（2

）如图所示：过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BM＝AB＝5，BN＝BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN＝90°，∵∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠QBN，又∵

∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1，∴OQ＝1+3＝4，∴N（4，1）；（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，∴{𝑘+𝑏=0

4𝑘+𝑏=1，解得：{𝑘=13𝑏=−13，∴直线NB的解析式为：y=13x−13，当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB=√32+12=√10，当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣

BP|＜NB，∴当P，N，B在同一直线上时，|NP﹣BP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点．解方程组：{𝑦=13𝑥−13𝑦=−34𝑥2−94𝑥+3，解得：{𝑥1=1𝑦1=0或{𝑥2=−409𝑦2=−4927，∴当P的坐标为（1，0）或（−409，−4927）时

，|NP﹣BP|的值最大，此时最大值为√10．【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为

N．①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标；②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据

二次函数解析式化为y＝x2+x+m（x+4）+9，当x＝﹣4时，y与m无关，将x＝﹣4代入取出y的值即可．（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PM﹣PN|

取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；②分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+（m+1）x+4m+9＝x2+x+m（x+4）+9，∴当x＝﹣4

时，m（x+4）＝0，∴y＝（﹣4）2+（﹣4）+0+9＝21，∴对于任意m，二次函数都会经过一个定点（﹣4，21）．（2）①当m＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），∴|PN﹣PM|≤MN，∴当点P，M，N三点

在一条直线上时，|PN﹣PM|取得最大值；如图，连接MN并延长，交x轴于点P，∵M（0，﹣3），顶点N（1，﹣4），∴直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣3，∴P（﹣3，0），MN=√2，∴|PN﹣PM|的最大值为√2，

且此时P（﹣3，0）．②设点H为（t，﹣t﹣3），∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且Q在x轴上方时，过点Q作QF⊥y轴于点F，过点H作HE∥y轴交直线Q

F于点E，如图：设QF＝m，OF＝n，∴Q（﹣m，n），∵△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，即∠OQH＝90°，OQ＝QH，∴∠EQH+∠FQO＝90°，∠FOQ+∠FQO＝90°，∴∠EQH＝∠FOQ，∴△EQH≌△FOQ（AAS），∴EQ＝OF＝n，EH＝QF＝m，∴点H的

坐标为（﹣m﹣n，n﹣m），∵点H在直线MN上，∴n﹣m＝m+n﹣3，解得m=32．当x=−32时，y＝（−32）2﹣2×（−32）﹣3=94，∴Q（−32，94）．当△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QD⊥x轴点D，过点H作HC∥x轴交直线

QD于点C，如图：设QF＝p，OF＝q，∴Q（p，﹣q），同理可得，△CQH≌△DOQ（AAS），∴CQ＝OD＝p，CH＝QD＝q，∴点H的坐标为（p﹣q，﹣p﹣q），∵点H在直线MN上，∴﹣p﹣q＝﹣p+q﹣3，解得q=32．∴Q（2−√102，−32）或（2+√102，−32）；综上

，点Q的坐标为（−32，94）或（2−√102，−32）或（2+√102，−32）．【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0

）交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：（12，−34）；（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点

P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质可求得：C（0，

﹣1），D（1，﹣1），再运用待定系数法即可求得答案；（2）连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=−12x−12，即可求得点G的坐标；（3）分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC≌△

FPB，分别建立方程求解即可；（4）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设M（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），分三种情况：①当OM、AN为对角线时，如图1，②当AM、ON为对角线时，如图2，③当OA、MN为对角线时，如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案．【解答】

解：（1）∵E（1，0），∴OE＝1，∵四边形OCDE是正方形，∴OC＝CD＝CE＝OE＝1，∠CDE＝∠DEO＝∠OCD＝90°，∴C（0，﹣1），D（1，﹣1），∵抛物线y=12x2+bx+c经过点C（0，﹣1），点D（1，﹣1），∴{𝑐=−112+𝑏+𝑐=−1，解得：

{𝑐=−1𝑏=−12，∴抛物线解析式为：y=12x2−12x﹣1，∵抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），∴令y＝0，即有12x2−12x﹣1＝0，整理得：（x+1）（x﹣2）＝0，．解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A点坐标为（

﹣1，0），B点坐标为（2，0）；（2）G点坐标为：（12，−34），理由如下：∵抛物线y=12x2−12x﹣1经过C（0，﹣1），D（1，﹣1），∴C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，

则此时AG+CG最小，∵C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，∴CG＝DG，∴AG+CG＝AG+DG＝AD（两点之间，线段最短）∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），∴直线AD的解析式为y=−12x−12，∵连接AD交抛物线的对称轴：直线x=12于点G，∴当x=12

时，y=−12×12−12=−34，∴G（12，−34）；故答案为：（12，−34）；（3）符合条件的点P的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：∵由（1）知C（0，﹣1），B（2，0），x轴⊥y轴（

即OC⊥AB），∴OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，∴BC=√5，∵在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，∴OF＝t，PF⊥x轴∴BF＝OF﹣OB＝t﹣2，分两种情形：①△OBC≌△FBP或②△OBC

≌△FPB，∴BP＝BC=√5，FP＝OC＝1，BF＝OB＝2或BP＝BC=√5，FP＝OB＝2，BF＝OC＝1，∴t﹣2＝2或t﹣2＝1，∴t＝4或t＝3，∴P（4，1）或（3，2）；（4）存在符合条件的点M和N，点N坐标为（﹣1，﹣1）或（−12，12）或（12，−12√3

），理由如下：设直线AC的解析式为y＝kx+d，把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入，得：{−𝑘+𝑑=0𝑑=−1，解得：{𝑘=−1𝑑=−1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，∵点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，∴设M

（m，﹣m﹣1）（m＞﹣1），①当OM、AN为对角线时，如图1，∵四边形OAMN是菱形，∴AM＝MN＝OA＝1，MN∥OA，∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝1，解得：m＝﹣1+√22或m＝﹣1−√22（不符合题意，舍去），∴M（﹣1+√22，−√22），∴N（√22，−√22）；②当AM、

ON为对角线时，如图2，∵四边形OAMN是菱形，∴AN＝MN＝OA＝OM＝1，MN∥OA，AN∥OM，∴m2+（﹣m﹣1）2＝1，解得：m＝0或m＝﹣1（不符合题意，舍去），∴M（0，﹣1），∴N（﹣1，﹣1）；③当OA、MN为对角线时，如图3，∵四边形OAMN是菱形，∴MN⊥OA，AM＝OM，

MN与OA互相垂直平分，即M与N关于x轴对称，∴（m+1）2+（﹣m﹣1）2＝m2+（﹣m﹣1）2，解得：m=−12，∴M（−12，−12），∴N（−12，12）；综上所述，点N的坐标为（√22，−√2

2）或（﹣1，﹣1）或（−12，12）．【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的

对称轴交于点Q．①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．【分析】（1）由题意可

得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直线y＝x+m与坐标轴的夹角

为45°，求出OM=√22|m|，AN=√22|6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m的值即可；②设P（t，23t2﹣4t），过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，求出直线AB的解析式后可求E（t，﹣t+6），则P

E=−23t2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可求CQ=√22BQ，CP=√22PE，则PC+CQ=−2√23（t﹣3）2+9√2，即可求PC+CQ的最大值．【解答】解：（1）∵OA＝6，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，设抛

物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，∵顶点与x轴的距离是6，∴顶点为（3，﹣6），∴y＝a（x﹣3）2﹣6，∵抛物线经过原点，∴9a﹣6＝0，∴a=23，∴y=23（x﹣3）2﹣6；（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，∴E（0，m），F（﹣m，0），∴

OE＝|m|，AF＝|6+m|，∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，∴OM=√22|m|，AN=√22|6+m|，∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，∴OM：AN＝1：3，∴|m|：|6+m|＝1：3，解得m=−32或m＝3；②设P（t，23t

2﹣4t），过P作PE∥y轴交AB于点E，过P作PF⊥BQ交于F，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴{6𝑘+𝑏=03𝑘+𝑏=3，解得{𝑘=−1𝑏=6，∴y＝﹣x+6，∴E（t，﹣t+6），∴PE＝﹣t+6﹣（23t2﹣4t）=−23t2+3t+6，设直线AB与

y轴交点为G，令x＝0，则y＝6，∴G（0，6），∴OG＝OA＝6，∴∠OGA＝45°，设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，直线PQ的解析式为y＝x+m，令x＝0，则y＝m∴L（0，m），令y＝0，则x＝﹣m，∴K（﹣m，0），∴OL＝OK，∴∠OL

K＝45°，∴∠GCL＝90°，∴PF＝FQ＝3﹣t，设BF与x轴交点为H，∴FH=−23t2+4t，∴HQ=−23t2+4t﹣3+t=−23t2+5t﹣3，∴BQ＝3−23t2+5t﹣3=−23t2+5t，∴CQ=√22BQ=√

22（−23t2+5t），∵CP=√22PE=√22（−23t2+3t+6），∴PC+CQ=√22（−23t2+3t+6）+√22（−23t2+5t）=√22（−43t2+8t+6）=−2√23（t﹣3）2+9√2，当t＝3时，PC+CQ的最大值为9√2．【题型6

二次函数中求周长最值】【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．（1）求抛物线的表达式及B，C两点

的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形

？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，即为△AEP的周长最小时，点P的坐标；（3）由MN∥CD可知MN为平行

四边形的边，设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，−12𝑚2−𝑚+4），利用MN＝CD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，∴0＝

16a﹣8a+4，∴a=−12，∴y=−12𝑥2−𝑥+4．令y＝0，得−12𝑥2−𝑥+4=0解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴点B的坐标为（2，0），令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图，由y=−12𝑥2−𝑥+4，可得对称轴为：𝑥=

−−12×(−12)=−1，∵△AEP的边AE是定长，∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．点A关于x＝﹣1的对称点为点B，∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．∵直线BE经

过点B（2，0），D（0，2），∴{0=2𝑘+𝑏2=𝑏，解得{𝑘=−1𝑏=2，∴直线BE：y＝﹣x+2，令x＝﹣1，得y＝3，∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．∵MN∥CD，∴要

使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，∵CD＝4﹣2＝2，∴MN＝CD＝2，∵点M在直线y＝﹣x+2上，∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，−12𝑚2−𝑚+

4），∴|−𝑚+2+12𝑚2+𝑚−4|=2，即|12𝑚2−2|=2，当12𝑚2−2=2时，解得𝑚=±2√2，此时点M的坐标为：（2√2，2−2√2）或（−2√2，2+2√2），当12𝑚2−2=−2时，解得m＝0（舍去），综

上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（2√2，2−2√2）或（−2√2，2+2√2）．【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，

0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，

使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝

1，结合A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，再求AC的解析式即可得到答案；（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+b

x﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴{𝑎−𝑏−3=09𝑎+3𝑏−3=0，解得：{𝑎=1𝑏=−2，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、

B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴{2𝑚+𝑛=−3−𝑚+�

�=0，解得：{𝑚=−1𝑛=−1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对

角线时，则{−1+3=2+𝑥0+0=−3+𝑦，解得：{𝑥=0𝑦=3，∴E（0，3）；②当AC为对角线时，则{−1+2=3+𝑥0−3=0+𝑦，解得：{𝑥=−2𝑦=−3，∴E（﹣2，﹣3）

；③当BC为对角线时，则{3+2=−1+𝑥0−3=0+𝑦，解得：{𝑥=9𝑦=−3，∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P

是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．（1）求抛物线的表达式；（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；（3）当△PAC是等腰三角形

时，请直接给出点P的坐标．【分析】（1）利用特定系数解答，即可求解；（2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣1，可得△PCD是等直角三角形，从而得到△PCD的周长为：PC+PD+CD＝（√2+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则

点C的坐标为（x，x﹣1），利用二次函数的性质，即可求解；（3）分三种情况讨论，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：{𝑐=−152+5𝑏+𝑐=4，解得：{𝑏=−4𝑐=−1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣1；（2）设直线AB的表达式为：y＝kx

+a（k≠0），∵A（0，﹣1），B（5，4），∴{𝑎=−15𝑘+𝑎=4，解得：{𝑎=−1𝑘=1，∴直线AB的表达式为：y＝x﹣1，设直线AB交x轴于点M，当y＝0时，x＝1，∵OA＝OM＝1，

∵∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵CP∥y轴，∴∠DCP＝∠OAB＝45°，∵PD⊥AB，∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，∴PC=√𝐶𝐷2+𝐷𝑃2=√2CD，即CD＝PD=√22PC，∴△PCD的周长为：PC+PD+CD＝

（√2+1）PC，设点P的坐标为（x，x2﹣4x﹣1），则点C的坐标为（x，x﹣1），∴（√2+1）PC＝（√2+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（√2+1）[（x−52）2−254]，∵﹣（√2

+1）＜0，∴当x=52时，△PCD周长取得最大值，最大值为254（√2+1），此时点P的坐标为（52，−194）；（3）如图，过点A作P1A⊥y轴，交抛物线于点P1，∵CP1∥y轴，∴∠ACP1＝45°，∴△AC

P1是等腰直角三角形，∴点A（0，﹣1），∴点P1的纵坐标为﹣1，当y＝﹣1时，﹣1＝x2﹣4x﹣1，解得：x1＝4，x2＝0（舍去），此时点P1（4，﹣1）；如图，当P2A⊥AB时，∵CP2∥y轴，∴∠ACP2＝45°，∴△ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称，设点P2（m，

m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），∴12[（m2﹣4m﹣1）+（m﹣）]＝﹣1，解得：m1＝3，m2＝0（舍去），此时点P2（3，﹣4）；如图，若AC＝CP3，作CE⊥y轴于点E．∵∠CAE＝45

°，∴△ACE是等腰直角三角形，即AE＝CE，∴P3C＝AC=√𝐴𝐸2+𝐶𝐸2=√2CE，设点P3（m，m2﹣4m﹣1），则点C（m，m﹣1），∴（m﹣1）﹣（m2﹣4m﹣1）=√2m，解得：m1＝5−√2，m2＝0（舍去），∴此时点p3（

5−√2，6﹣6√2）；综上所述，点P的坐标为（4，﹣1）或（3，﹣4）或（5−√2，6﹣6√2）．【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+85𝑥+𝑐与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线𝑙：𝑦=−12𝑥−4与x轴交

于点D，点P是抛物线𝑦=𝑎𝑥2+85𝑥+𝑐上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直

线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）①如图1，连接BP，先求得B（﹣10，0），设P（m，15m2+85m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10

m+20＝﹣（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，可得QO+QC＝QB+Q

C＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，运用勾股定理可得BC＝2√29，即可得出△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝2√29+4；运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−25x﹣4，进而可得Q（﹣5，﹣2），F（﹣5，−32）

，即可求得FQ的值．【解答】解：（1）∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+85𝑥+𝑐经过A（2，0）、C（0，﹣4），∴{4𝑎+165+𝑐=0𝑐=−4，解得：{𝑎=15𝑐=−4，∴该抛物线的表达式为

y=15x2+85x﹣4；（2）①如图1，连接BP，∵抛物线y=15x2+85x﹣4，令y＝0，得15x2+85x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴B（﹣10，0），设P（m，15m2+85m﹣4），∵PE⊥x轴，∴E（m，0），∴OE＝﹣m，BE

＝m+10，PE＝﹣（15m2+85m﹣4）=−15m2−85m+4，∴S＝S△PBE+S梯形OCPE=12×（m+10）×（−15m2−85m+4）+12×（−15m2−85m+4+4）×（﹣m）＝﹣m

2﹣10m+20，∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），∴OE＝BE＝5，∵PE⊥x轴，∴直线PE是线段OB的垂直平分线，∴点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于

点Q，则QO＝QB，∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此时QO+QC最小，即△QOC的周长最小，在Rt△BCO中，BC=√𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=√102+42=2√29，∴△QOC的周长的最小值为：BC+OC＝2√29+4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）

代入，得{−10𝑘+𝑏=0𝑏=−4，解得：{𝑘=−25𝑏=−4，∴直线BC的解析式为y=−25x﹣4，当x＝﹣5时，y=−25×（﹣5）﹣4＝﹣2，∴Q（﹣5，﹣2）；∵直线l的解析式为y=−12x﹣4，∴当x＝﹣5时

，y=−12×（﹣5）﹣4=−32，∴F（﹣5，−32），∴FQ=−32−（﹣2）=12，故△QOC周长的最小值为2√29+4，FQ的长为12．【题型7二次函数中求面积最值】【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧）

，交y轴于点C．（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线

上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．【分析】（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求A点坐标；（2）①联立方程组{𝑦=−𝑥2+2𝑥+3𝑦=𝑘𝑥

+𝑘，求出D点坐标，求出直线BC的解析式，联立方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑘𝑦=−𝑥+3，求出E点坐标，过D点作DG∥y轴交BC于点G，则可知G（3﹣k，k），求出DG＝3k﹣k2，可求S△EBD﹣S△CEF＝﹣2（k−158）2+8132，

由此可求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），联立方程组{𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎𝑦=𝑎𝑥+𝑎，求出点D（4，5a），分三种情况讨论：①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ

2，（1，−26√77）；②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，此时a无解．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（

﹣1，0），B（3，0）；（2）①∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），联立方程组{𝑦=−𝑥2+2𝑥+3𝑦=𝑘𝑥+𝑘，整理得，x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0，解得k＝﹣1或k＝3﹣k，∴D（3﹣k，4k﹣k

2），设直线BC的解析式为y＝k'x+b，∴{3𝑘′+𝑏=0𝑏=3，解得{𝑏=3𝑘′=−1，∴y＝﹣x+3，过D点作DG∥y轴交BC于点G，∴G（3﹣k，k），∴DG＝3k﹣k2，联立方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑘𝑦=−𝑥+3，解得{𝑥=3−𝑘1+𝑘𝑦=4𝑘1+𝑘，

∴E（3−𝑘1+𝑘，4𝑘1+𝑘），在y＝kx+k中，x＝0时，y＝k，∴F（0，k），∴S△BDE=12×（3−3−𝑘1+𝑘）×（3k﹣k2），S△CEF=12×（3﹣k）×3−𝑘1+𝑘，∴S△EBD﹣S△CE

F=12×（3−3−𝑘1+𝑘）×（3k﹣k2）−12×（3﹣k）×3−𝑘1+𝑘=12（3﹣k）（4k﹣3）＝﹣2（k−158）2+8132，∴当k=158时，S△EBD﹣S△CEF的最大值为8132；②以A，D，P，Q为顶点的四边

形能成为矩形，理由如下：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），Q（m，am2﹣2am﹣3a），∵k＝a，∴y＝ax﹣a，联立方程组{𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎𝑦=𝑎𝑥+𝑎，解得{𝑥=4𝑦=5𝑎或{𝑥=−1𝑦=0

（舍），∴D（4，5a），①当AP为矩形对角线时，DQ2＝AD2+AQ2，∴4+m＝0，t＝am2﹣2am+2a，∴m＝﹣4，∴Q（﹣4，21a），∴64+（16a）2＝25+25a2+9+（21a）2，解得a=±√77，∵a＜0，∴a=−√77，∴t=−26√77，∴P（1，

−26√77）；②当AD为矩形对角线时，DA2＝DQ2+AQ2，∴1+m＝3，5a＝t+am2﹣2am﹣3a，∴m＝2，∴Q（2，﹣3a），∴25+25a2＝9+9a2+4+64a2，解得a=±12，∵a＜0，∴a

=−12，∴t＝﹣4，∴P（1，﹣4）；③当AQ为矩形对角线时，AQ2＝AD2+DQ2，∴m﹣1＝5，t+5a＝am2﹣2am﹣3a，∴m＝6，∴Q（6，21a），∴49+（21a）2＝25+25a2+4+（16a）2，

此时a无解；综上所述：P点坐标为（1，−26√77）或（1，﹣4）．【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．（1）求证

OC=12OE；（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=−12时，求△CMN的周长的最小值；（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林

猜想是否正确，并说理由．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC．OE，即可得出结论；（2）当a=−12时，抛物线为y=−12x2+x+32

，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐标，根据△CMN周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′

C″，算出最小值即可；（3）过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取32时，S四边形ABQC有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错

误．【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴{𝑎−𝑏+𝑐=09𝑎+3𝑏+𝑐=0，解得{𝑏=−2𝑎𝑐=−3𝑎，∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝

a（x﹣1）2﹣4a，∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入得：{3𝑘1+𝑏1=0𝑘1+𝑏1=−4𝑎，解得{𝑘1=2𝑎𝑏1=−6𝑎，直线BD为y＝2ax﹣6a，∴E（0，﹣6a），∴OC＝3a，

OE＝6a，∴OC=12OE；（2）解：当a=−12时，抛物线为y=−12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，如图所示：此时C（0，32），直线BE为y＝﹣x+3，点E（0

，3），∵OB＝3，∴OB＝OE＝3，∵∠BOE＝90°，∴∠OEB＝∠OBE＝45°，∵CC′⊥BE，∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，∵BE垂直平分CC′，∴CE＝C′E＝3−32=32．CN＝C′N，∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，∴∠CEC′

＝90°，∴CE⊥y轴，∴点C′（32，3），∵C关于x轴的对称点C″为（0，−32），∴CM＝C″M，∴△CMN周长的最小值为：CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″=√(32)2+(3+32)2=3√102；（3）解：小林猜想不正确，理由如下：过Q作QK⊥x

轴，交BC于点K，∵B（3，0），C（0，﹣3a），∴直线BC为y＝ax﹣3a，设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝a

x2﹣3ax，∴S四边形ABQC＝S△ABC+S△BQC=12×4×（﹣3a）+12（ax2﹣3ax）×3=32a（x−32）2−27𝑎8−6a，∵a＜0，∴当点Q的横坐标为x=32时，S四边形ABQC有最大值，∵点D的横坐标是1，∴四边形ABQC的面积取得最大值时，

点Q与点D不重合，小林猜想不正确．【变式7-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横

坐标为m，当四边形PACB面积最大时，𝑆△𝐵𝑃𝑄𝑆△𝑂𝐴𝑄=14．【分析】先求出A，B坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，再判断当四边形PACB面积最大时点P的坐标（2，3），得到直线PB∥OA；，再求出点Q的坐标，然后用三角形的面积即可得出结论．

【解答】解：对于y=−34x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），∵抛物线y=−38x2+34x+c经过B点，∴c＝3，抛物线的表达式为y=−38x2+34x+3，令y＝0，则−38x2+34x+

3＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴C（﹣2，0），∵S四边形PACB＝S△PAB+S△ACB，S△ABC为定值，∴当SPAB最大时，四边形PACB面积最大，∴平移直线AB至和抛物线相切时，切点即为点P，此时SPAB最大，∴设平行于直线AB且和抛物线相切的直线为y

=−34x+b，联立方程组得{𝑦=−38𝑥2+34𝑥+3𝑦=−34𝑥+𝑏，化简得：−38x2+32x+3﹣b＝0①，∴Δ＝（32）2﹣4×（−38）×（3﹣b）＝0，解得：b=92，把b=92代入①得并化简得：x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x

2＝2，∴y＝3，∴P（2，3），∵B（0，3），∴PB∥OA，设直线OP的表达式为：y＝kx，将点P坐标代入上式并解得：k=32，则直线OP的表达式为：y=32x，联立方程组{𝑦=32𝑥𝑦=−34𝑥+3，解得：x=43，y＝2，即点Q（43，2

），故yQ＝2，则△BPQ的高为3﹣2＝1，∴𝑆△𝑃𝐵𝑄𝑆△𝑂𝐴𝑄=12𝐵𝑃×112𝑂𝐴×2=24×2=14．故答案为：14．【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交

于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；（2）若G为直线DE下方抛物

线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；【分析】（1）先根据点C的坐标，确定c的值，根据抛物线的对称轴为x＝2．得出b的值，即可得出抛物线的解析式；根据OC＝CD，得出点D

的坐标，利用待定系数法即可得直线DE的函数解析式；（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，联立{𝑦=14𝑥2−𝑥+2𝑦=−4𝑥+4，求出点F的横坐标，设点G（t，14t2﹣t+2），则点Q（t

，﹣t+4），GQ=−14t2+2，即可表示出S△GDF=−√24t2+2√2．求出结果即可；【解答】解：（1）∵抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），∴c＝2，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴−𝑏2×14=2，∴b＝﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=

14x2﹣x+2，∵OC＝CD，∴D（0，4），又∵直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），∴{4𝑚+𝑛=0𝑛=4，∴{𝑚=−1𝑛=4，∴直线DE的函数表达式为y＝﹣x+4；（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，如图所示：联立{𝑦=14𝑥2−𝑥+2�

�=−4𝑥+4，解得x1＝2√2，x2＝﹣2√2，∴点F的横坐标为2√2，设点G（t，14t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQ＝﹣t+4﹣（14t2﹣t+2）=−14t2+2，∴S△GDF＝S△GQF﹣S△GQD=12

×（−14t2+2）（2√2−t）−12×（−14t2+2）（﹣t），==12×（−14t2+2）×2√2=−√24t2+2√2．∴当x＝0时，即点G的坐标为（0，2）时，△GDF面积有最大值为2√2【题型

8二次函数在新定义中求最值】【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在

，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．【分析】（1）设函

数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；（2）将点（52，52）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；②由①可知y＝﹣x2+6

x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），∴2x+1＝x，解

得x＝﹣1，∴和谐点为（﹣1，﹣1）；（2）①∵点（52，52）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，∴52=254a+15+c，∴c=−254a−252，∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，

∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c=−254；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，∵函数的最大

值为3，最小值为﹣1；当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，

C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH

都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为18；②

若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）

若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得

面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，5，点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：（1）①如图，画

出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，面积为3×6＝18；故答案为：18，18．②∵M（4，1），N（﹣2，3），∴|xM﹣xN|＝6，|yM﹣yN|＝2．又∵m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．

∴n＝﹣1或5．（2）如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，

4；∴点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；（3）如图，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），∴{𝑎−𝑏+𝑐=1𝑎+𝑏+𝑐=19𝑎+3𝑏+𝑐=3，{𝑎=14𝑏=0𝑐=34，∴y=14x2+34，同理抛物线

经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=−14x2+134，∴抛物线的解析式y=14x2+34或y=−14x2+134．【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．问题发

现：（1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值；问题解决：（2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点

，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，S四边形AB

CD＝S△ADC+S△ABC=12•AC•DE+12•AC•BE=12•AC•BD，因为AC+BD＝12，所以BD＝12AC，代入面积，利用二次函数的性质可求出最大值；（2）由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC

交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，利用勾股定理分别求出DH和FG的长，再利用面积的和差得出结论．【解答】解：（1）∵AD＝CD，AB＝CB，∴BD为线段AC的垂直平分线，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC=12•AC•DE+12•AC•BE=12•AC•BD，∵AC+BD＝12，

∴S四边形ABCD=12•AC•（12﹣AC）=−12（AC﹣6）2+18，∴当AC＝6时，S四边形ABCD的最大值为18．（2）存在，如图，由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD

，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，设DH＝m，则AH＝60﹣m，根据勾股定理可知，EH2＝AH2+AE2＝（60﹣m）2+302，EG2＝m2+602，∵EH＝HG，∴（60﹣m）2+302＝m2+602，解得m＝30．设FG＝n，则EF＝n，BF＝60﹣

n，由勾股定理可得，EF2＝BE2+BF2，即n2＝（60﹣n）2+302，解得n＝50，∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△AEH﹣S△DCH＝60×30−12×30×40−12×30×60−12×30×60＝3000

，综上，存在，当BF＝40，AH＝60时，筝形EFGH的面积最大值为3000平方厘米．【变式8-3】（2022春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x

1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．（1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝5；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的

点P所组成的图形；（3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．【分析】（1）由A与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）利用题中的新定义列出x

与y的关系式，画出相应的图象即可；（3）由条件可得到|x﹣2|+|x﹣1|，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：（1）d（O，A）＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5；故答案为：5；（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足

d（O，P）＝2，∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；（3）∵点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，设N（x，x2﹣1），∵M（1，1），则d（M，N）＝|x﹣1|+|x2﹣1﹣1|＝|x﹣1|+|x2﹣2|，①当x≥√2时，d（M，N）＝x﹣1+x

2﹣2＝x2+x﹣3＝（x+12）2−134，x=√2时，d（M，N）的最小“转角距离”为√2−1；②当1≤x≤√2时，d（M，N）＝x﹣1+2﹣x2＝﹣x2+x+1＝﹣（x−12）2+54，x=√2时，d（M，N）的最小

“转角距离”为√2−1；③当−√2≤x≤1时，d（M，N）＝1﹣x+2﹣x2＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+12）2+134，x＝1时，d（M，N）的最小“转角距离”为1；④当x≤−√2时，d（M，N）＝1﹣x+x2﹣2＝x2﹣x﹣1＝（x−12）2−54，x=−√2时，d（M，N）的最小“转角

距离”为√2+1；综上可知，d（M，N）的最小“转角距离”为√2−1．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com