【文档说明】《山东中考真题数学》2022年山东省济南市中考数学真题（解析版）.docx，共(30)页，2.011 MB，由envi的店铺上传

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济南市2022年九年级学业水平考试数学试题选择题部分共48分一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.﹣7的相反数是（）A.﹣7B.7C.17D.﹣17【答案】B【解析】【分析】据相反数的性质

，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【详解】解：根据概念，﹣7的相反数是7．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0

的相反数是0．2.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱B.球C.圆锥D.正四棱柱【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视

图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱．故选：A．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．3.神舟十三号飞船在近地点高度200000

m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（）A.53.5610B.60.35610C.63.5610D.435.610【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般

形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：356000＝3.56×105．故选：A．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定

a与n的值是解题的关键．4.如图，//ABCD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A45°B.50°C.57.5°D.65°【答案】B【解析】【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．【详解】解：∵//ABCD，∴∠AEC=∠1（两直线平行

，内错角相等），∵EC平分∠AED，∴∠AEC=∠CED=∠1，∵∠1=65°，∴∠CED=∠1=65°，∴∠2=180°-∠CED-∠1=180°-65°-65°=50°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根

据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案．5.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D..【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把

一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、

既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A.0abB.0ab+C.abD.11++ab【答案】D【解析】【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【详解】解：根据

图形可以得到：320a−−，01b，∴0ab，故A项错误，0ab+，故B项错误，ab，故C项错误，11++ab，故D项错误．故选：D．【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G

时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）A.19B.16C.13D.23【答案】C【解析】【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结

果有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，∴小明和小刚恰好选

择同一个主题的概率为3193=．故选：C．【点睛】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.若m－n＝2，则代数式222mnmmmn−+的值是（

）A.－2B.2C.－4D.4【答案】D【解析】【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：原式mnmnm+−=（）（）•2mmn+＝2（m-n），当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分

式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．9.某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另

一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系【答案】B【解析】【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．【详解】解：

根据题意得：240xy+=，∴240yx=−+，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．10.如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以

大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误．．的是（）A.AF＝CFB.∠FAC＝∠EACC.AB＝4D.AC＝2AB【答案】D【解析】【分析】根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，再由矩形的性质可以

证明AFOCEO△≌△，可得5,AFCEAE===再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．【详解】解：A，根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，,AFCF=故此选项不符合题意．B，如图，由矩形的性质可以证明A

FOCEO△≌△，,AECF=,FAFC=,AEAF=∵MN是AC的垂直平分线，,FACEAC＝故此选项不符合题意．C，5AE＝，5AFAE=＝，在RtABF中3,BF=2222534,ABAFBF=−=−=故此选项不符合题

意．D，358,BCBFFC=+=+=22224845,ACABBC=+=+=4,AB=2.ACAB故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．11.数学活动小组到某广场测量标志性建

筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin220.37，tan220.40，sin580

.85，tan581.60）A.28mB.34mC.37mD.46m【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出58DBAB=，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝A

BDB，∴5tan581.68ABABDBAB==，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABCB，∴tan220.45708ABAB=+，解得：112373AB=m，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．12.抛物线2222yxmxm=−+

−+与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点()11,Mmy−，()21,Nmy+为图形G上两点，若12yy，则m的取值范围是（）A.1m−或0mB.1122m−C.02mD.11m−【答案】D【解析】【分

析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴

在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．【详解】抛物线解析式2222yxmxm=−+−+变形为：22()yxm=−−，即抛物线对称轴为xm=，当x=m-1时，有22(1)1ymm=−−−=，当x=m+1时，有22(1)1ymm=−+−=，设(m-1,1)为A点，(m+1,1)

为B点，即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，当x=0时，有222(0)2ymm=−−=−，∴C点坐标为2(0,2)m−，当x=m时，有22()2ymm=−−=，∴抛物线顶点坐标为(,2)m，∵直线l⊥y轴，∴直线l为22ym=−，∵m-1＜m+1，∴M点在N点左侧，此

时分情况讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有121yy==，∴此时不符合题意；第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，由图可知此时M、N点满足12yy=，∴此时不符合题意；第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，或者，由图可知此时M

、N点满足12yy＜，∴此时符合题意；此时由图可知：101mm−+＜＜，解得11m−＜＜，综上所述：m的取值范围为：11m−＜＜，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．非选择

题部分共102分二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）13.因式分解：244aa++=______．【答案】()22a+【解析】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：244aa++=()22a+．故答案为：()22a+．【点睛

】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．【答案】49【解析】【分析】根据题

意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，∴它最终停留在阴影区域的概率是49．故答案为：49【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以

所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．15.写出一个比2大且比17小的整数_____．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】先对2和17进行估算，再根据题意即可得出答案．【详解】解：∵2＜2＜3＜4＜1

75，∴比2大且比17小的整数有2，3，4.故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出2与17是解题的关键．16.代数式32x+与代数式21x−的值相等，则x＝______．【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．【详解】解：∵

代数式32x+与代数式21x−的值相等，∴3221xx=+−，去分母()()3122xx−=+，去括号号3324xx−=+，解得7x=，检验：当7x=时，()()210xx+−，∴分式方程的解为7x=．故答案为：7．【点睛】本题

考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积

是______．的【答案】16【解析】【分析】设小正方形的边长为x，利用a、b、x表示矩形的面积，再用a、b、x表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x，即可求出矩形面积．【详解】解：设小正方形边长为x，矩形的长为()

ax+，宽为()bx+，由图1可得：()()211122222axbxaxbxx++=++，整理得：20xaxbxab++−=，4a=，2b=，2680xx+−=，268xx+=，矩形的面积为(

)()()()242688816axbxxxxx++=++=++=+=．故答案为：16．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．18.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1

”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点()0,0O按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到()11,0O，再将()11,0O绕原点顺时针旋转90°得到()20,1O

−，再将()20,1O−绕原点顺时针旋转90°得到()31,0O−…依次类推．点()0,1经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．的【答案】()1,1−−【解析】【分析】根据题意得出点(

)0,1坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．【详解】解：点()0,1按序列“011011011”作变换，表示点()0,1先向右平移一个单位得到()1,1，再将()1,1绕原点顺时针旋转90°得到()1,1−，再将()1,1−绕原点顺时针旋转90°得到(

)1,1−−，然后右平移一个单位得到()0,1-，再将()0,1-绕原点顺时针旋转90°得到()1,0-，再将()1,0-绕原点顺时针旋转90°得到()0,1，然后右平移一个单位得到()1,1，再将()1,1绕原点顺时针

旋转90°得到()1,1−，再将()1,1−绕原点顺时针旋转90°得到()1,1−−．故答案为：()1,1−−【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．三、解答题（本大题共9个小

题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.计算：1134sin3043−−−++．【答案】6【解析】【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算

即可．【详解】解：1134sin3043−−−++11342123=−++3223=−++6=【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．20.解不等式组：()1,232532.x

xxx−−−①②，并写出它的所有整数解．【答案】13x，整数解为1，2【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．【详解】解不等式①，得3x，解不等式②，得1x，在同一条数轴上表示不等式①②

的解集原不等式组解集是13x，∴整数解为1，2．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．21.已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．

【答案】见解析【解析】【分析】根据菱形的性质得出DADC=，DACDCA=，再利用角的等量代换得出ADECDF=，接着由角边角判定DAEDCF△≌△，最后由全等的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上两点，∴DADC

=，DACDCA=．∵ADFCDE=，的∴ADFEDFCDEEDF−=−，即ADECDF=．在DAE△和DCF中，DADCADECDDACDCFA===，∴DAEDCFASA△≌△（），∴AECF=．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角

形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．22.某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：

a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，5060x，6070x，7080x，8090x，90100x）b：七年级抽取成绩在7080x这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．

c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在6090x的人数是_______，并补全频数分布直方图；（2）表中m

的值为______；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．【答案】（1）38，理由见解析（2）77（3）甲（4）七年级竞赛成

绩90分及以上人数约为64人【解析】【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解

即可．【小问1详解】解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人，∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人，故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；【小问2详解】解：∵4+

12=16<25，4+12+16>25，∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中，∴第25、26的数据分别为77，77，∴m=7777772+=，故答案为：77；【小问3详解】解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：

甲；【小问4详解】的解：84006450=（人）答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23.已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切

于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）连接OC，欲证明CA＝CD，只要证明CAD

CDA=即可．（2）因为AB为直径，所以90ACB=，可得出三角形CBF为等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解决问题．【小问1详解】证明：连接OC∵CD与O相切于点C，∴OCCD⊥，∴90OCD=，∵30CDA=，∴9060COB

CDA=−=，∵BC所对的圆周角为CAB，圆心角为COB，∴1302CABCOB==，∴CADCDA=，∴CACD=．【小问2详解】∵AB为直径，∴90ACB=，在RtABC中，30CAB=，12

AB=，∴162BCAB==，∵CE平分ACB，∴1452ECBACB==，∵BFCE⊥，∴90CFB=，∴2sin456322BFBC===．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、解直角三角形等知

识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．24.为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲

、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．【答案】（1）甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元（2）当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少

，理由见解析【解析】【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可；（2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗()1

00m−棵，购买两种树苗总费用为W元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元．由题意得，2016128010xyxy+=−=，解得4030xy==，答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．【小问2详解

】设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗()100m−棵，购买两种树苗总费用为W元，由题意得()4030100Wmm=+−，103000Wm=+，由题意得1003mm−，解得25m，因为W随m的增大而增大，所以当25m=时W取得最小值．答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最

少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．25.如图，一次函数112yx=+的图象与反比例函数()0kyxx=的图象交于点(),3Aa，与y轴交于点B

．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P

坐标．【答案】（1）4a=，12k=；（2）①8；②符合条件的点P坐标是()6,2和()3,4．【解析】【分析】（1）将点(),3Aa代入112yx=+，求出4a=，即可得()4,3A，将点()4,3A代入kyx=，即可求出k；（2）①如图，过A作AMx⊥轴于点M，过C作CN

x⊥轴于点N，交AB于点E，求出()2,6C，()2,2E，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设()11,Pxy，()2,0Qx．分情况讨论：ⅰ、当四边形ABQP为平行四边形时，ⅱ、当四边形APBQ为平行四边形时，计算即可．【小问1

详解】解：将点(),3Aa代入112yx=+，得4a=，()4,3A，将点()4,3A代入kyx=，得4312k==，反比例函数的解析式为12yx=．【小问2详解】解：①如图，过A作AMx⊥轴于点M，过C作CNx⊥轴于点N，

交AB于点E，∴AMCN∥，∵ACAD=，∴12AMDACNDC==，∴6CN=，∴1226Cx==，∴()2,6C，∴()2,2E，∴624CE=−=，∴114242822ABCACEBCESSS=+=+=△△△．②分两种情况：设()11

,Pxy，()2,0Qx．ⅰ、如图，当四边形ABQP为平行四边形时，∵点B向下平移1个单位、向右平移2x个单位得到点Q，∴点A向下平移1个单位，向右平移2x个单位得到点P，∴1312y=−=，11262x==，∴()6,2P．ⅱ、如图，当四边形APBQ为平行四边形时，∵点Q

向上平移1个单位，向左平移2x个单位得到点B，∴点A向上平移1个单位，向左平移2x个单位得到点P，∴1314y=+=，11234x==，∴()3,4P．综上所述，符合条件的点P坐标是()6,2和()3,4．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法

求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．26.如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．（1）判断线段BD与CE的数量关系并

给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．【答案】（1）BDCE=，理由见解析（

2）①BEAECE=+；②45BAD=，理由见解析【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到()ABDACESAS△≌△，再由全等三角形的性质求解；（2）①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE得到ADE是等边三角形，由等边三角形的性质和（1）的结论来求解

；②过点A作AGEF⊥于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到BAFDAG=，AGAFADAB=，进而得到BADFAG∽△△，进而求出90ADB=，结合BDCE=，ED＝EC得到BDAD=，再

用等腰直角三角形的性质求解．【小问1详解】解：BDCE=．证明：∵ABC是等边三角形，∴ABAC=，60BAC=．∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE，∴ADAE=，60DAE=，∴BACDAE=，∴BACDACDAEDAC

−=−，即BADCAE=．在ABD△和ACE中ABACBADCAEADAE===，∴()ABDACESAS△≌△，∴BDCE=；【小问2详解】解：①BEAECE=+理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向

旋转60得到AE，∴ADE是等边三角形，∴ADDEAE==，由（1）得BDCE=，∴BEDEBDAECE=+=+；②过点A作AGEF⊥于点G，连接AF，如下图．∵ADE是等边三角形，AGDE⊥，∴1302DAGDAE=

=，∴3cos2AGDAGAD==．∵ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，∴BFCF=，AFBC⊥，1302BAFBAC==，∴3cos2AFBAFAB==，∴BAFDAG=，AGAFADAB=，∴BAFDAFDAGDAF+=+，即BADFAG=，∴BAD

FAG∽△△，∴90ADBAGF==．∵BDCE=，EDEC＝，∴BDAD=，即ABD△是等腰直角三角形，∴45BAD=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相

似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．27.抛物线21164yaxx=+−与x轴交于(),0At，()8,0B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1

，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求12CQPQ+的最大值．【答案】（1），2111644yxx=−+−，t=3，34k=（2）点710,2P−（3）1691

6【解析】【分析】（1）分别把()8,0B代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作PMx⊥轴于点M，根据题意可得2111,644Pmmm−+−，从而得到2111644PMmm=−+，3AMm=−，再根据COAAMP∽△△，可求出

m，即可求解；（3）作PNx⊥轴交BC于点N，过点N作NEy⊥轴于点E，则22111316624444PNmmmmm=−+−−−=−+，再根据PQNBOC∽△△，可得35NQPN=，45PQPN=，然后根据CNECBO∽△△，可得54CNm=，从而得到

1122CQPQCNNQPQCNPN+=++=+，在根据二次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：∵()8,0B在抛物线21164yaxx=+−上，∴11648604a+−=，∴14a=−，∴抛物线解析式为2111644yxx=−+−，当0y=时，2111

6044tt−+−=，∴13t=，28t=（舍），∴3t=．∵()8,0B在直线6ykx=−上，∴860k−=，∴34k=，∴一次函数解析式为364yx=−．【小问2详解】解：如图，作PMx⊥轴于点M，对于21

11644yxx=−+−，令x=0，则y=-6，∴点C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵点P的横坐标为m．∴2111,644Pmmm−+−，∴2111644PMmm=−+，3AMm=−，∵∠CAP=90°，∴90OACPAM+

=，∵90APMPAM+=，∴OACAPM=，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴COAAMP∽△△，∴OAOCPMMA=，∴OAMAOCPM=，即21113(3)6644mmm−=−+

，∴13m=（舍），210m=，∴10m=，∴点710,2P−．【小问3详解】解：如图，作PNx⊥轴交BC于点N，过点N作NEy⊥轴于点E，∵2111,644Pmmm−+−，∴点3,64Nmm−

，∴22111316624444PNmmmmm=−+−−−=−+，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴PQNBOC∽△△，∴PNNQPQBCOCOB==，∵8OB=，6OC=，∴10BC=，∴35NQPN=，45PQP

N=，∵EN⊥y轴，∴EN∥x轴，∴CNECBO∽△△，∴CNENBCOB=，即108CNm=∴54CNm=，∴1131422525CQPQCNNQPQCNPNPNCNPN+=++=++=+，∴2221511131131692244444216CQPQm

mmmmm+=−+=−+=−−+，∴当132m=时，12CQPQ+的最大值是16916．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．获得更多资源请扫码加入享学资源

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