【文档说明】2007年高考试题——数学文（重庆卷）.doc，共(11)页，463.000 KB，由envi的店铺上传

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用

2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：

如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP+=+如果事件A、B相互独立，那么)(·)()·(BPAPBAP=如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率)2,1,0()1()(1nkppCkPknkn，=−=−一、选择题：本大题

共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（A）2（B）3（C）4（D）8（2）设全集U＝|a、b

、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝（A）（B）{a}（C）{c}（D）{a,c}（3）垂直于同一平面的两条直线（A）平行（B）垂直（C）相交（D）异面（4）（2x-1）2展开式中x2的系数为（A）15（B）60（

C）120（D）240（5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的（A）充分必要条件（B）充分但不必要条件（C）必要但不充分条件（D）既不充分也不必要条件（6）下列各式中，值为23的是（A）−15cos15sin2（B）−15s

in15cos22（C）115sin22−（D）+15cos15sin22（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A）41（B）12079（C）43（D）2423（8）若直线1+=kxy与圆122=+yx相交

于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为（A）−72,73（B）−214,72（C）−72,73（D）−214,72（10）设P（3，1）为二次函数)1(2)(2+−−xbax

axxf的图象与其反函数)(1xff−=的图象的一个交点，则（A）25,21==ba（B）25,21−==ba（C）25,21=−=ba（D）25,21−=−=ba（11）设aab+−113和是的等比中项，则a+3b的最大值为（A）1（B）2

（C）3（D）4（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++yx有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A）23（B）62（C）72（D）24二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共

16分，把答案填写在答题卡相应位置上。（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝。（14）已知yxzyyxyx+=+300-632则，的最大值为。（15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英

语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）（16）函数452222)(+++−=xxxxxf的最小值为。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分

，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为5443和，且各次射击相互独立。（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，

（Ⅱ）小问9分）已知函数)2sin(42cos2+−xx。（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限且）。（求afa,53cos=（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。）如题（19）图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠

ABC＝90°，AB=1,BC=23,AA2=2;点D在棱BB1上，BD＝31BB1；B1E⊥A1D，垂足为E，求：题（19）图（Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离；（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。20.（本小题满分12分）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比

为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线xy82=的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。题（21）图（Ⅰ）求抛物

线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。（22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn

满足Sn＞1，且.N,1)2)(1(6=++=naaSnnn（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；（Ⅱ）设数列｛bn｝满足(),112=−nna并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证：.N),3(log1132++naTn＞2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（文史类）答案一、选择题：

每小题5分，满分60分。（1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C（11）B（12）C二、填空题：每小题4分，满分16分。（13）3（14）9（15）288（16）1+22三、解答题：满分74分解：（Ⅰ）设A表示甲

命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝54)(,43=BP，从而甲命中但乙未命中目标的概率为.20354143)()()(=−==BPAPABP（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次

射击中恰好命中l次。依题意有.2,1,0,5154)(.2,1,0,4143)(221221====−−lCBPkCAPlllkkk由独立性知两人命中次数相等的概率为.4825.04001932516169254432

5116154·43·51·54··41·43·51·41)()()()()()()()()(222222231222221100221100＝＝＝+++++++=++CCCCBPAPBPA

PBPAPBAPBAPBAP(18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由Z),(2,202sin−−+kkxkxx即得故f(x)的定义域为.Z,2|R−kkxx（Ⅱ）由已知条件得.54531cos1sin22−−=−=aa

从而)2sin()42cos(21)(+−+=aaaf＝aaacos4sin2sin4coscos21++＝aaaaaaacoscossin2cos2cossin2cos12+=++＝.514)sin(cos2=

+aa（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线由131BBBD=知,341=DB在Rt△A1B1

D中，A2D＝.35341221211=+=+DBBA又因.·21·211111111EBDADBBASDBA==△故B1E=.543534·1·1111==DADBBA（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平

面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为V＝VC-ABDE＝，BC31其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。答（19）图1在Rt△B1ED中，ED=,1516

5434222121=−=−EBDB又因S△B1ED=,·21·2111EFDBDEEB=故EF=.2516E·11=DBDEB因△A1AE的边A1A上的高,2592516111=−=−=EFBAh故S△A1AE＝.259259

·2·21·211==hAA又因为S△A1BD＝,3234·2·21·21111==DBBA从而S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-.757332259=−所以.1507323·7573·31

··31===BCSV解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则答（19）图2A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0).B1(0,0,2),C1(23,0,2),D(0,0,32

)因此).34,1,0(),0,0,32(),0,1,0(),2,0,0(1121−−==−==DACBABAA设E（23，y0，z0），则)2,,(001−=zyEB，因此.,0·111111EBCBCBEB⊥=从而又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线

。下面求点E的坐标。因B1E⊥A1D，即从而,0·11=DAEB)1(,0)2(3400=−+zy又得∥且,D),2,1,0(11001AEAzyEA−−=)2(,3421100−=−zy联立（1）、（2）,解

得25160=y,25380=z,即=2538,2516,0E，−=2512,2516,01EB。所以5425122516||221=+=EB.（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.下面求

四边形ABDE的面积。因为SABCD＝SABE+SADE，32||,1||==BDAB而SABE＝.25192538·1·21||210＝=zABSBDE＝.75162516·32·21||210＝=yBD故SABCD＝.7573751625

19=+所以.1507323·7573·31||··31===BCSVABDECABCD（20）（本小题12分）解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为−=−=230(m)35.441218＜＜xxxh.故长方体的体积为).230()(m6

9)35.4(2)(3322＜＜xxxxxxV−=−=从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV−=−−=令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜32

时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m

，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。（21）（本小题12分）（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为pxy22=，则82=p，从而.4=p因此焦点)0,2(pF的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2px−=。从而所求准线l的方程为2−=x。答（21）图（Ⅱ）解法一

：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|＝|AC|＝4cos||22cos||2+=++=+aFAppaFApxx解得

aFAcos14||−=，类似地有aFBFBcos||4||−=，解得aFBcos14||+=。记直线m与AB的交点为E，则aaaaFBFAFBFAFAAEFAFE2sincos4cos14cos1421|)||(|212||||||||||||=+−−=−

=+−=−=所以aaFEFP2sin4cos||||==。故8sinsin2·4)2cos1(sin42cos||||222==−=−aaaaaFPFP。解法二：设),(AAyxA，),(BByxB，直线AB

的斜率为aktan=，则直线方程为)2(−=xky。将此式代入xy82=,得04)2(42222=++=kxkxk，故22)2(kkkxxBA+=+。记直线m与AB的交点为),(EEyxE，则22)2(22k

kxxxBAE+=+=，kxkyEE4)2(=−=，故直线m的方程为+−−=−224214kkxkky.令y=0,得P的横坐标44222++−kkxP故akkxFPP222sin4)1(42||=+=−=。从而8sinsin2·4)2cos1(sin42cos|

|||222==−=−aaaaaFPFP为定值。（22）（本小题12分）（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==aaSa，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。又由an+1＝Sn+1-Sn＝)2)(1(61)2)(1(6111++=++++nnnnaaa

a，得an+1-an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。因此an+1-an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。（Ⅱ）证法一：由1)12(=−bna可

解得133log11log−=+=nnabznzz；从而−=+++=133··56·23log21nnbbbTznn。因此23n2·133··56·23log)3(log133+−

=+−+nnaTznzn。令23n2·133··56·23)(3+−=nnxf,则233)23)(53()33(23n33n·5323)()1(+++=++++=+nnnnnnfnf。因079)23)(53()33(22＞+

=++−+nnnn，故)()1(nfnf＞+.特别的12027)1()(＞=fnf。从而0)(log)3log(13＞nfaTnn=+−+，即)3(log132++nnaT＞。证法二：同证法一求得bn及Tn。由二项式定理知

当c＞0时，不等式cc31)1(3++＞成立。由此不等式有333213115112112log13−+++=+nTn−+++13315312312log

2n＞＝)3(log)23(log1323··48·25·2log222+=+=−+nannn。证法三：同证法一求得bn及Tn。令An＝nn33··56·23，Bn＝nn313··67·43+，Cn＝1323··78·45++nn。因1323313133

+++−nnnnnn＞＞，因此2233+=nCBAAnnnn＞。从而32322log133··56·322log13xnAnnT=−=+＞)3(log)23(log2log222+=+=nnnnanCBA。